方程實根問題類析

江西

孫春生

(作者單位：江西省吉水中學)

方程實根問題涉及方程實根(函數(shù)零點)的個數(shù)、各實根之和以及參數(shù)的取值范圍等，常要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、周期性及函數(shù)圖象的對稱性等性質(zhì)，利用函數(shù)零點存在性定理，結合數(shù)形結合、分類與整合、函數(shù)與方程和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想來解決.此類題型經(jīng)常出現(xiàn)在試卷客觀題的最后一道題中，有一定的難度，能綜合考查學生的抽象概括能力與直觀想象核心素養(yǎng)，受到各類考試命題人的青睞.

一、形如f(x)=m的方程實根問題

( )

A.6 B.7

C.8 D.9

【思路分析】本題要先畫出f(x)的圖象，利用函數(shù)圖象的對稱性得出x3+x4的值，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)得x1x2=x1+x2，代入要求的式子，即可解決問題.

即有(x1-1)(x2-1)=1，則x1x2=x1+x2，

【評析】解決此類分段函數(shù)的零點問題，需要畫出相應分段函數(shù)的圖象，并通過圖象的對稱性和函數(shù)的性質(zhì)來解決問題.本題對基本初等函數(shù)的圖象的畫法要求比較高.

二、形如f(x)=g(x)的方程實根問題

【思路分析】本題將函數(shù)周期性和奇偶性等性質(zhì)融為一體，需要利用相關性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結合來解決問題.

解：如圖，作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，

要使關于x的方程f(x)=g(x)有8個不同的實數(shù)根，

【評注】本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的奇偶性與周期性，要求在作圖時關注性質(zhì)及區(qū)間的端點值，注意直線與曲線的交點與切點，正確畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合思想來解決問題.

三、形如f(f(x))=a的方程實根問題

( )

A.(1，3] B.[1，3]

(3)當m<0時，作出f(x)的函數(shù)圖象，如圖所示：

【評注】對于y=f(f(x))-a的零點問題，一般要先設內(nèi)函數(shù)f(x)=t，解出相應的t的值，然后再利用函數(shù)y=f(x)與y=t的圖象交點來解決問題.

四、形如f(g(x))=a的方程實根問題

【思路分析】本題要設內(nèi)函數(shù)x2-x=t，作出函數(shù)y=f(t)的圖象，通過中間變量t的轉(zhuǎn)換，利用函數(shù)圖象的交點來解決.

【評注】此類題常用換元法設內(nèi)函數(shù)，通過中間變量(既是內(nèi)函數(shù)的函數(shù)值，又是y=f(t)的自變量)來解決問題.在解題過程中，要注意將方程實根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.

五、形如f2(x)+af(x)+b=0的方程實根問題

【思路分析】引入中間變量m=|f(x)|，畫出函數(shù)y=|f(x)|的大致圖象，通過觀察，要得到12個不同的實根，可得m的范圍及m的個數(shù)，再通過m2+tm+1=0在指定范圍內(nèi)實根個數(shù)求出參數(shù)t的范圍.

解：由函數(shù)的解析式可知f′(x)=x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1，

由f′(x)>0得x>1或x<-3，即函數(shù)在(-∞,-3)，(1,+∞)單調(diào)遞增,

由f′(x)<0得-3

【評注】此類問題往往根據(jù)條件限制，先由m=|f(x)|得出中間變量m的范圍，再轉(zhuǎn)化為二次方程f2(x)+af(x)+b=0的根的分布問題.

六、形如的方程實根問題

( )

A.2 B.3

C.4 D.5

解：由xf(x)-1=0得xf(x)=1，

當x=0時，方程xf(x)=1不成立；

當4

作出h(x)的圖象，由圖象知兩個函數(shù)圖象有3個交點，即方程實根的個數(shù)為3，故選B.

【評注】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵，難點是利用函數(shù)遞推性質(zhì)求不同區(qū)間的函數(shù)表達式.