探究數(shù)學(xué)概念與公式的“四層次”構(gòu)成

河南

周 超

(作者單位：河南省南陽(yáng)市第二十九中學(xué))

“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的”(李邦河)，學(xué)好數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)概念與公式，但是概念與公式的掌握是不容易的，有經(jīng)驗(yàn)的老師采取編制口訣和形象化等手段來(lái)讓學(xué)生加深印象，但實(shí)際效果卻不是很好.

筆者在多年的教學(xué)過(guò)程中通過(guò)觀察，并思考發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)數(shù)學(xué)概念與公式都由“四層次”構(gòu)成.第一層次是來(lái)源背景；第二層次是結(jié)構(gòu)特征；第三層次是變化形式；第四層次是靈活應(yīng)用.學(xué)生如果按照這“四層次”構(gòu)成來(lái)探究數(shù)學(xué)概念與公式，有利于加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握.

平時(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，很多學(xué)生對(duì)概念與公式的認(rèn)識(shí)僅停留在第二層次，甚至對(duì)公式結(jié)構(gòu)特征的記憶也是似是而非.原因是很多學(xué)生輕視或忽視對(duì)數(shù)學(xué)概念和公式的研究與掌握，總是認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是做題目，甚至認(rèn)為會(huì)做題就行，數(shù)學(xué)概念和公式模糊地知道就行了.學(xué)好數(shù)學(xué)是要適當(dāng)多做題目，但是概念不清、公式不熟必然影響解題思路和解題速度.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)了六大核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象.這六大素養(yǎng)的養(yǎng)成都與數(shù)學(xué)概念與公式的掌握密不可分.下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)探究一下，如何根據(jù)數(shù)學(xué)概念與公式的“四層次”構(gòu)成來(lái)分析，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)概念與公式的理解.

一、單調(diào)性，是學(xué)好數(shù)學(xué)的“攔路虎”

單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，是平時(shí)考試和高考的熱點(diǎn).而對(duì)許多學(xué)生來(lái)說(shuō)，函數(shù)的單調(diào)性的題目做起來(lái)會(huì)有困難.無(wú)論是用單調(diào)性定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，還是單調(diào)性定義的變化形式以及靈活應(yīng)用，都是我們的“攔路虎”.我們可以嘗試用“四層次”構(gòu)成來(lái)探究.

第一層次來(lái)源背景:在我們生活的環(huán)境中，單調(diào)性無(wú)處不在，例如太陽(yáng)東升西落，股市升降變化，汛期水位漲落，甚至人體自身各項(xiàng)指標(biāo)浮動(dòng)(比如情緒、智力、體力等)都與單調(diào)性有關(guān).而單從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看單調(diào)性，主要是從函數(shù)圖象的升降中體現(xiàn)的數(shù)量變化.

第二層次結(jié)構(gòu)特征:一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1f(x2))，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(或減函數(shù)).

第三層次變化形式:單調(diào)性定義的三要素:

①自變量x1,x2的大小關(guān)系；

②函數(shù)值f(x1),f(x2)的大小關(guān)系；

③單調(diào)性(增函數(shù)或減函數(shù)).

根據(jù)三要素順序重組變化產(chǎn)生三種典型題目:

(1)由①②?③是用定義證明；

(2)由①③?②是比較大小.比如:構(gòu)造指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)比較大小；

(3)由②③?①是解抽象函數(shù)不等式.

(2)構(gòu)造單調(diào)函數(shù)求不等式中參數(shù)的范圍.

(3)利用函數(shù)單調(diào)性求最值.

( )

A.(0,+∞) B.(-∞,0)

C.(2,+∞) D.(-∞,-2)

【答案】D.

【例2】函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(1)=-1，則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是

( )

A.[-2,2] B.[-1,1]

C.[0,4] D.[1,3]

【答案】D.

二、等差數(shù)列，變與不變的魔法元素

在小學(xué)的奧數(shù)課里，在七年級(jí)數(shù)學(xué)的第一課找規(guī)律里，都有等差數(shù)列的影子.

第一層次來(lái)源背景:等差數(shù)列是一種常見的數(shù)列.等差現(xiàn)象廣泛存在于生活中，例如鞋碼的大小、堆放的鋼管和電影院里的座位號(hào)等，都是從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù).

第二層次結(jié)構(gòu)特征:等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，an+1-an=d,an=a1+(n-1)d，首項(xiàng)a1、公差d、項(xiàng)數(shù)n、第n項(xiàng)an.

第三層次變化形式:等差數(shù)列通項(xiàng)公式的四種變化形式如下:

a1=an-(n-1)d;

an=am-(n-m)d;

從上各式都是通項(xiàng)公式的變形，雖然形式不同，但都是對(duì)通項(xiàng)公式的等價(jià)變換.

第四層次靈活應(yīng)用:

(1)等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)

(2)對(duì)稱項(xiàng)的性質(zhì)

若m,n,k,p,q∈N*,且m+k=p+q=n+1.

則a1+an=a2+an-1=am+ak=ap+aq；

(3)通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次式an=an+b.(a、b是常數(shù))；

(4)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)；

【例4】記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3=0，a6+a7=14，則S7=________.

【答案】14.

三、兩角和的正切函數(shù)，合作才能共贏

在兩角和差的三角函數(shù)里，正切函數(shù)沒(méi)有正弦余弦活躍，但是涉及正切函數(shù)的題目，式子變化相對(duì)復(fù)雜，解起來(lái)有一定的難度.

第一層次來(lái)源背景:正切函數(shù)定義，同角三角函數(shù)關(guān)系，非特殊角化為特殊角.

第二層次結(jié)構(gòu)特征:兩角和的正切由α與β正切的和與積構(gòu)成.

tan(α+β)-tanα-tanβ=tan(α+β)tanαtanβ(α,β為任意角).

第三層次變化形式:

(3)(誘導(dǎo)公式)

tan(π+α)=tanα;

tan(2π-α)=-tanα.

(4)tan(α+β+γ)

第四層次靈活應(yīng)用:

(1)由α+β=45°，推得(1+tanα)(1+tanβ)=2.

推廣:(1+tan1°)·(1+tan2°)·(1+tan3°)…(1+tan43°)·(1+tan44°)=222.

(2)在△ABC中，

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

( )

C.1 D.3

【答案】C.

求證:α+β=135°.

【答案】證明略.

( )

【答案】D.

四、向量的投影，排疑解難的“大俠”

第一層次來(lái)源背景：(1)兩向量的夾角定義；(2)兩向量數(shù)量積幾何意義的需求.

第二層次結(jié)構(gòu)特征:向量b在向量a上的投影|b|cosθ(θ為向量a，b夾角).

第四層次靈活應(yīng)用:(1)證明正弦定理;(2)幾何概率面積之比.

( )

【答案】D.

【例11】已知a=(2,0),b(-1,2),則b在a方向上的投影為________.

【答案】-1.

【例12】在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,∠ABC=30°，D為BC的中點(diǎn).

五、正弦定理，邊角對(duì)應(yīng)見真情

三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，又是內(nèi)容最豐富的多邊形，三角形的知識(shí)直觀地告訴人們“簡(jiǎn)單就是豐富”這個(gè)真理.

第一層次來(lái)源背景：三角形的邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之比相等是三角形固有的關(guān)系.

因?yàn)镃=90°，sinC=1，

這個(gè)優(yōu)美的關(guān)系式對(duì)等邊三角形也成立，對(duì)其他的任意三角形是否成立呢？

第三層次變化形式:

(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

(3)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(R為三角形外接圓半徑).

第四層靈活應(yīng)用:(1)邊化角，角化邊；

(2)A

(3)與三角形面積的關(guān)系:

S△ABC=2R2sinAsinBsinC.

【例14】在△ABC中，滿足acosB=bcosA，則△ABC的形狀為

( )

A.直角三角形 B.銳角三角形

C.鈍角三角形 D.等腰三角形

【答案】D.

【例15】在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,則sinA∶sinB∶sinC等于

( )

A.6∶5∶4 B.7∶5∶3

C.3∶5∶7 D.4∶5∶6

【答案】B.

六、基本不等式，變大變小廣思路

第一層次來(lái)源背景:

若a,b∈R,則(a-b)2≥0.

即a2+b2≥2ab.

第三層次變化形式:

(2)2(a2+b2)≥(a+b)2；

第四層次靈活應(yīng)用:(1)湊定值求最值;

(2)利用化“1”的思想.

【答案】1.

【答案】4.

【答案】(-∞,4].