三個學業(yè)水平劃分下邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)

洪永棋

摘要：新版《普通高中數(shù)學課程標準》（以下簡稱《標準》）明確提出，邏輯推理是得到數(shù)學命題，建立數(shù)學知識體系的重要方法，是數(shù)學嚴謹性的基礎(chǔ)保證，是人們在數(shù)學活動中進行交流的基本思維品質(zhì)，是依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。高中數(shù)學教師要立足課堂教學，以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，落實立德樹人根本任務，促進學生學習能力的提升。

關(guān)鍵詞：學業(yè)水平;邏輯推理素養(yǎng);變式訓練

數(shù)學邏輯推理主要包含從特殊到一般的推理和從一般到特殊的推理兩類。發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng)，不僅可以讓學生學會

有邏輯的思考問題，而且能使學生在各種不同的環(huán)境中把握事物之間的聯(lián)系，理清各種復雜情景下的事物發(fā)展本質(zhì)，提高學生有條理的思考問題的能力，培養(yǎng)具有理性精神的思維品質(zhì)。本文從拋物線焦點弦性質(zhì)進行變式教學：從代數(shù)性質(zhì)到幾何性質(zhì)變式;再到對例題進行變式教學：從代數(shù)性質(zhì)的應用到具有幾何意義的題目變式;最后對題目中的數(shù)字進行變式，從常數(shù)到參數(shù)變式。通過變式教學，引導學生深度學習，整體把握知識體系，從而提升學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)，完成邏輯推理素養(yǎng)三個水平的培養(yǎng)。

1拋物線焦點弦性質(zhì)的教學

過拋物線焦點的直線與拋物線相交兩點A，B，線段AB叫做拋物線的焦點弦。因為焦點弦過拋物線焦點，所以出現(xiàn)了不少特殊的性質(zhì)。通過對拋物線焦點弦性質(zhì)的探究性教學及其變式教學，可以達到從不同的角度培養(yǎng)學生不同學業(yè)水平的邏輯推理能力和素養(yǎng)。例如：

已知過拋物線y2=2px（p>0）的焦點的直線交拋物線于A、B兩點。

拋物線焦點弦還有其它性質(zhì)，通過聯(lián)立拋物線方程與焦點弦方程，得出以焦點弦兩端點的相應坐標積及坐標和的結(jié)論，這些學生比較容易操作，接著，讓學生由坐標和的結(jié)論推導焦點弦長以及弦長最小值，到此，稍作停頓，讓學生整理一下新的知識點，接著由焦點弦長可看成|FA|和|FB|的和，引導學生自主探究|FA|和|FB|的差或積或其它更好的形式，從而得出|FA|和|FB|的調(diào)和平均這個結(jié)論，至此，探究達到第一個高潮，學生在探究的過程中數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)得到不斷提升。以上，從代數(shù)的角度，探究了焦點弦兩端點坐標的情況。下面，再從幾何的角度探究，計算出一些數(shù)量關(guān)系后再結(jié)合幾何圖形來觀察幾何性質(zhì)，是很自然的，進而，引導學生進入一個新的探究領(lǐng)域。

這樣就可以想到直角三角形，想到射影定理，想到點在以DE為直徑的圓上，點又在焦點弦上，所以得到圓和焦點弦相切。再引導學生思考以焦點弦為直徑作圓，能否得到什么相切的情況？

所以，以焦點弦AB為直徑的圓和準線相切于點N（DE的中點）。還有其它相切嗎？過焦點弦端點A和B分別作拋物線的切線，此時，切線的交點還在準線上嗎？

這種從不同角度完成對拋物線焦點弦性質(zhì)的探究性學習方式，達到了讓學生能夠在較為熟悉的情境中，用不同的數(shù)學邏輯方法發(fā)現(xiàn)數(shù)量或者圖形性質(zhì)等教學效果，有利于培養(yǎng)學生的探究能力，從而提升和發(fā)展學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)。

2拋物線焦點弦例題的變式教學

教師通過關(guān)聯(lián)的情境變式教學，不僅能培養(yǎng)學生從特殊到一般的推理能力，而且能促使學生在相關(guān)聯(lián)的情境中，達到發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題等能力提高的目的，有效地地提升了學生的邏輯推理素養(yǎng)。

第（1）-（4）題主要應用前面推導的拋物線焦點弦的代數(shù)性質(zhì)，第（4）題承上啟下，既有代數(shù)解法又有幾何解法，進而得出第（5）-（8）題這些具有幾何意義（如面積、垂直、軌跡方程、最值等）的變式。通過變式，引導學生形成知識網(wǎng)絡(luò)，促進學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展。教學時，可先對某一變式重點探究，其余變式作為課后作業(yè)讓學生自主探究。

我們選取第（4）題中的變式進行重點探究，創(chuàng)設(shè)問題情境：你有幾種方法求解這個變式？有了探究的情境，學生可以直接運用焦點弦性質(zhì)，如解法二;也可以選擇幾何法，如解法一;有的學生還會想到代數(shù)法，如解法三。由此可見，讓學生先自主探究，再合作交流，就可以發(fā)現(xiàn)一題的多種解法，提高學生運用所學知識進行分析問題以及解決問題的能力。

《標準》指出，邏輯推理素養(yǎng)水平一：能夠在熟悉的數(shù)學情境中，用歸納法、類比法，發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系或圖形關(guān)系;邏輯推理素養(yǎng)水平二：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題，并準確地數(shù)學語言予以表述，能夠?qū)εc學過的知識有關(guān)聯(lián)的數(shù)學命題，用準確的數(shù)學語言表述、論證;

邏輯推理素養(yǎng)水平三：能夠在綜合的情境中，用數(shù)學的眼光找到合適的研究對象，提出有意義的數(shù)學問題。所以，如果學生可以用其中一種解法解決本題，依據(jù)滿意原則，可以認為達到邏輯推理素養(yǎng)水平一的要求;如果學生可以綜合運用幾種解法，

聯(lián)系幾何與代數(shù)，依據(jù)滿意原則，可以認為達到邏輯推理素養(yǎng)水平二的要求;如果學生能夠構(gòu)建過渡性命題、完成命題的抽象過程，并且論證途徑清晰、推理過程表述嚴謹，依據(jù)加分原則，可以認為達到邏輯推理素養(yǎng)水平三的要求。下面是一些構(gòu)建形式：由解法一發(fā)現(xiàn)如果只求直線的斜率，則不需要用到拋物線

這里，我們還可以引導學生自己再去變式，如已知直線斜率求分比，或再添加其中一段焦半徑的長，求拋物線方程等。

學生為此結(jié)論的發(fā)現(xiàn)感到十分喜悅，更是從中體驗到了探究的樂趣，引導學生通過探究而獲得知識，并形成知識體系，使學生的數(shù)學學習其樂無窮。

3對數(shù)學教學的啟示

上述拋物線焦點弦變式教學及發(fā)展數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的過程，對數(shù)學教學有如下啟示：首先，要重視挖掘有關(guān)數(shù)學內(nèi)容對發(fā)展學生素養(yǎng)方面可能的推動與貢獻。《標準》根據(jù)數(shù)學學科特點凝練出的六個數(shù)學核心素養(yǎng)，是與具體的數(shù)學內(nèi)容相聯(lián)系的。為此，挖掘數(shù)學內(nèi)容對數(shù)學核心素養(yǎng)的貢獻，是利用數(shù)學的內(nèi)在力量實現(xiàn)立德樹人的正道。其次，要選擇、設(shè)計與數(shù)學學科內(nèi)容特征、數(shù)學核心素養(yǎng)相對應的學習方式?？傊?，我們應該盡可能地以數(shù)學課程內(nèi)容為載體，組織合適的現(xiàn)實情境或數(shù)學情境，從中概括出數(shù)學對象的一般特征，促進學生數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)的發(fā)展，完成課程標準中提出的學業(yè)質(zhì)量的要求，落實立德樹人根本任務。

參考文獻

[1]教育部.普通高中數(shù)學課程標準[M].人民教育出版社，2003.

[2]龔浩生.讓學生積極主動有序有效地探究--"拋物線焦點弦的性質(zhì)的探究"課實錄及評注[J].中學數(shù)學研究，2008（11）：7-11.