分解構(gòu)圖揭示結(jié)構(gòu)：讓新定義題思維可見
——以中考新定義考題教學(xué)為例

江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)常青初級(jí)中學(xué) 夏茂紅

中考新定義考題是近年來(lái)熱點(diǎn)題型，各地在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中都會(huì)增加課時(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)應(yīng)對(duì)，但有時(shí)新定義選題雜亂，同一節(jié)課所選新定義之間關(guān)聯(lián)不緊，影響了復(fù)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成，不利于學(xué)生對(duì)同一類型新定義問(wèn)題的深刻理解.筆者最近有機(jī)會(huì)開設(shè)一節(jié)新定義專題復(fù)習(xí)課，精心選取了兩道結(jié)構(gòu)近似的新定義考題，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)，發(fā)現(xiàn)新定義的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，取得了較好的教學(xué)效果，本文梳理該課的教學(xué)過(guò)程，供研討.

一、新定義專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)記錄

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到封閉圖形W的“極化距離”D（P，W）定義如下：

任取圖形W上一點(diǎn)Q，記PQ長(zhǎng)度的最大值為M，最小值為m（若點(diǎn)P與Q重合，則PQ=0），則“極化距離”D（P，W）=M-m.

（1）如圖1，正方形ABCD以原點(diǎn)O為中心，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3）.

①點(diǎn)O到線段AB的“極化距離”D（O，AB）=_______，點(diǎn)K（5，3）到線段AB的“極化距離”D（K，AB）=_______.

②記正方形ABCD為圖形W，點(diǎn)P在y軸上，且D（P，W）=3，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）圖形W為圓心T在x軸上、半徑為4的圓，直線y=x+1與x軸、y軸分別交于F、G兩點(diǎn)，若線段FG上任一點(diǎn)P都滿足2＜D（P，W）＜6，試探究圓心T的橫坐標(biāo)t的取值范圍.

圖1

圖2

教學(xué)記錄：第（1）問(wèn)比較簡(jiǎn)單，只要對(duì)照新定義，不難得出答案.①3-3，6.②先排除點(diǎn)P在正方形ABCD外部的情況，接著設(shè)點(diǎn)P（0，y），如圖2，由新定義，可連接PC，極化距離是PC-PQ，根據(jù)勾股定理，PC=.又PC=PQ+3=6-y，于是可得方程解得y=1.于是根據(jù)對(duì)稱性，可確認(rèn)點(diǎn)P為（0，1）或（0，-1）.

（2）學(xué)生普遍感覺(jué)無(wú)從下手，找不到解題出發(fā)點(diǎn).教學(xué)時(shí)我們先引導(dǎo)學(xué)生想清條件“線段FG上任一點(diǎn)P都滿足2＜D（P，W）＜6”，分開思考“2＜D（P，W）＜6”這個(gè)條件如何理解，在半徑為4的圓內(nèi)部，哪個(gè)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)滿足呢？等到學(xué)生想清，原來(lái)是以T為圓心，半徑分別為1和3的同心圓組成的圓環(huán)內(nèi)部所有點(diǎn)都是滿足條件的點(diǎn)，于是可以構(gòu)造圖形分析（如圖3～6），這個(gè)圓環(huán)與線段FG有公共點(diǎn)時(shí)，就是符合要求的.于是可分析出相應(yīng)的圓T的圓心的橫坐標(biāo)的范圍是

圖3

圖4

圖5

圖6

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)A和圖形M，若圖形M上存在兩點(diǎn)P、Q，使得AP=3AQ，則稱點(diǎn)A是圖形M的“3倍點(diǎn)”.

（1）若圖形M為線段BC，其中點(diǎn)B（-2，0）和C（2，0），試分析三個(gè)點(diǎn)D（-1，2）、E（-1，1）、F（0，2）中，哪個(gè)點(diǎn)是線段BC的“3倍點(diǎn)”.

（2）以原點(diǎn)為圓心、4為半徑的⊙O，探究直線y=-x+2上⊙O的“3倍點(diǎn)”的橫坐標(biāo)x0的取值范圍.

（3）設(shè)直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)H、G，⊙T的半徑為4，圓心T是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，分析線段GH上是否存在⊙T的“3倍點(diǎn)”.如果存在，畫圖并分析圓心T的橫坐標(biāo)t的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

教學(xué)記錄：（1）畫出圖形，不難分析出點(diǎn)E符合要求；

（2）主要是分析出兩個(gè)同心圓（半徑分別為2、8）組成的“圓環(huán)”內(nèi)部的點(diǎn)符合要求，進(jìn)一步構(gòu)造圖形分析，如圖7，

圖7

圖8

以2為半徑的圓與x軸的正半軸、y軸的正半軸恰交于（2，0）、（0，2）兩點(diǎn)，正好對(duì)應(yīng)著直線y=-x+2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)B、A，而以8為半徑的大圓與直線y=-x+2交于M、N兩點(diǎn)，可見被半徑為2、8的圖組成的圓環(huán)“圈住”的直線y=-x+2的兩段線段AM、BN，只要分析出這4個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得答案，即

（3）理解起來(lái)有點(diǎn)難度，在圖7的基礎(chǔ)上，我們畫出直線y=-x+1，觀察同心圓O（半徑分別為2、8）組成的圓環(huán)與線段GH是沒(méi)有公共點(diǎn)的，現(xiàn)在將這個(gè)“圓環(huán)”沿x軸方向左右平移，可以得到4處臨界狀態(tài)（如圖9～12），從而得到

圖9

圖10

圖11

圖12

回顧反思：上面兩道例題講評(píng)過(guò)程中（主要是最后一問(wèn)），需要先引導(dǎo)學(xué)生想清辨明兩個(gè)同心圓，然后左右平移這組同心圓，觀察“圓環(huán)”與線段是否存在公共點(diǎn)情況，找出4個(gè)臨界位置，從而得出圓心所在位置橫坐標(biāo)的取值范圍.

二、關(guān)于新定義考題的教學(xué)思考

1.通過(guò)構(gòu)圖將抽象、晦澀的思路生動(dòng)、形象地揭示出來(lái)

像本文關(guān)注的這類新定義考題，到了最后一問(wèn)的思路都非常抽象、晦澀，如果只是滿足于簡(jiǎn)單的講解思路、列式得出方程、求出解集，則多數(shù)學(xué)生往往不知所云.這就需要教師在課前對(duì)問(wèn)題的思路要有深刻的理解，對(duì)學(xué)生理解的關(guān)鍵點(diǎn)、障礙點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)要有精準(zhǔn)的研判.在此基礎(chǔ)上，要努力通過(guò)構(gòu)圖（對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題通過(guò)分解構(gòu)圖），將抽象、晦澀的思路生動(dòng)、形象地揭示出來(lái)，促進(jìn)學(xué)生更好地理解.在上文例1、例2的最后一問(wèn)構(gòu)圖時(shí)，我們將不同臨界情形都進(jìn)行了構(gòu)圖，幫助學(xué)生理解如何確定臨界位置，以及在這種位置下如何求解相應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值范圍.在構(gòu)圖過(guò)程中，教師還需要向?qū)W生傳遞排除干擾的策略，比如，對(duì)于一些無(wú)關(guān)的線條或圖形區(qū)域，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)局部圖形進(jìn)行放大或縮?。梢苑Q之為“縮放技術(shù)”），以便對(duì)問(wèn)題的思路獲得更理想的視覺(jué)效果.

2.較難問(wèn)題講評(píng)要通過(guò)同類鏈接促進(jìn)學(xué)生深刻理解

新定義問(wèn)題往往都處于一份試卷中的把關(guān)題位置，這時(shí)如果就題論題、淺層次講評(píng)（核對(duì)答案或抄寫解題步驟），學(xué)生對(duì)這些較難題的理解難以走向深處，需要我們?cè)谥v評(píng)之前精心準(zhǔn)備、認(rèn)真?zhèn)湔n.除了上面提及的要將抽象、晦澀的思路盡可能生動(dòng)、形象地揭示出來(lái)，還可通過(guò)同類問(wèn)題的鏈接講評(píng)或同類跟進(jìn)再練，來(lái)促進(jìn)學(xué)生深刻理解，這也是上文我們?cè)谥v評(píng)時(shí)選用兩道同類例題的教學(xué)立意.當(dāng)然，同類問(wèn)題的選擇也是一個(gè)教研難點(diǎn)，更多的是靠教師“進(jìn)入題?！边M(jìn)行大量解題，遴選出相同結(jié)構(gòu)的習(xí)題進(jìn)行同類鏈接，而不能只是“形似質(zhì)異”，即形式上相同，而問(wèn)題的結(jié)構(gòu)或解題的關(guān)鍵步驟都“風(fēng)馬牛不相及”.

三、寫在后面

解題研究是不少教師的愛好，然而從解題研究走向解題教學(xué)研究卻沒(méi)有得到一些教師的充分重視，從一些教輔資料或公眾號(hào)文章能看出有些教師在解法研究上用功很多，但有些“一題多解”是否適合直接進(jìn)入課堂是值得商榷的，一是因?yàn)檎n堂教學(xué)時(shí)間有限，二是有些解題涉及更多的“高一級(jí)結(jié)論”，并不適合簡(jiǎn)單向?qū)W生進(jìn)行推介，讓學(xué)生記住這些結(jié)論，會(huì)加重學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，因?yàn)閿?shù)學(xué)解題教學(xué)最關(guān)鍵的是要倡導(dǎo)“回到定義”的“更初等的解法”，想來(lái)，這也是積極踐行“數(shù)學(xué)，根本上是玩概念，不是玩技巧”（李邦河院士語(yǔ)）.