六步法提升初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)圖像的有效教學(xué)

浙江省杭州市豐潭中學(xué) 吳菊云

一、初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)圖像教學(xué)中存在的問題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提到的函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、模型等重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過程，逐步理解和掌握的.函數(shù)性質(zhì)建立在函數(shù)概念上，從直觀到抽象，從模糊到清晰逐漸深入，知識(shí)的掌握和運(yùn)用，也是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從單一到綜合.雖然八年級(jí)時(shí)已經(jīng)學(xué)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)，但大部分學(xué)生還是會(huì)說難，不會(huì)做，對(duì)函數(shù)是什么，學(xué)了有什么用，為什么要畫函數(shù)圖像不明確.

經(jīng)過調(diào)查分析后，我總結(jié)出原因有三：其一，函數(shù)及其圖像的概念模糊，三種表達(dá)方式彼此間孤立無聯(lián)，對(duì)一個(gè)函數(shù)沒有形成有機(jī)的整體的理解；其二，對(duì)函數(shù)圖像的構(gòu)建過程缺少充分的體驗(yàn)；其三，對(duì)數(shù)形結(jié)合這一重要學(xué)習(xí)方法的學(xué)習(xí)不得要領(lǐng).針對(duì)成因，我在二次函數(shù)的圖像的教學(xué)中大膽嘗試，改進(jìn)教學(xué)方式，提出了“六步法”有效教學(xué)策略.

二、六步法概念解析

教學(xué)中教師發(fā)現(xiàn)，畫函數(shù)圖像的第一步驟“列表”很難發(fā)揮出它的作用，致使“數(shù)”與“形”割裂.我認(rèn)為，對(duì)新函數(shù)的性質(zhì)的探究中，最原始的起點(diǎn)也是最重要的方法是“邊取值邊描點(diǎn)”，數(shù)形相結(jié)合地畫出函數(shù)圖像.而“列表”是在函數(shù)圖像和解析式之間架起的一座橋梁，應(yīng)該把它放在一個(gè)更需要它發(fā)揮作用的位置，因此我創(chuàng)新了探究函數(shù)圖像與解析式的關(guān)系的“六步法”，如圖1所示.

圖1

三、六步法二次函數(shù)圖像有效教學(xué)的實(shí)踐

（一）夯實(shí)六步法基礎(chǔ)：函數(shù)與函數(shù)的圖像的概念理解

1.重新審視函數(shù)的意義，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)函數(shù)

（1）函數(shù)的定義：設(shè)在某一變化過程中有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫作自變量.也就是說：變量y，以某一種方式依賴于變量x，即當(dāng)變量x在某一范圍內(nèi)變化時(shí)，變量y也隨著變化，并且有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng).核心詞：“變化、對(duì)應(yīng)、唯一確定”.y是x的函數(shù)描述的是兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系，通俗地理解為：“y跟著x變而變，且能被x確定.”

（2）細(xì)讀精講概念中的核心詞.九年級(jí)學(xué)生已經(jīng)有函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，再加上認(rèn)知水平的發(fā)展，教師講解核心詞“y跟著x變而變”，再舉實(shí)例講述函數(shù)的概念，讓學(xué)生從中感悟.實(shí)例：勻速運(yùn)動(dòng)的行程問題中s=vt.

（Ⅰ）當(dāng)以60千米/時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程s=60t隨時(shí)間的變化而變化；

（Ⅱ）當(dāng)用時(shí)為2小時(shí)不變時(shí)，路程s=2v隨所選速度大小的變化而變化；

當(dāng)其中一個(gè)是常量時(shí)，另外兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，都可以看作任意一個(gè)跟著另一個(gè)的變而變.生活中隨處可見變量和它們的函數(shù)關(guān)系.

（3）“能被x確定”.

對(duì)函數(shù)概念中“唯一確定”這一要素必須要強(qiáng)調(diào)解釋.

函數(shù)是學(xué)生比較難理解和掌握的數(shù)學(xué)概念之一，在教學(xué)中，教師精講核心詞，輔以貼近生活、通俗易懂的實(shí)例，讓學(xué)生再次經(jīng)歷概念的概括，從中感悟.

2.強(qiáng)化函數(shù)圖像的意義，破譯數(shù)形聯(lián)系的“密碼”

畫函數(shù)圖像的關(guān)鍵是理解數(shù)和形是怎樣聯(lián)系的：給出一組自變量和函數(shù)的值在坐標(biāo)系中，橫軸表示自變量，縱軸表示函數(shù)，相應(yīng)地描出橫坐標(biāo)為a、縱坐標(biāo)為b的點(diǎn)（a，b），反過來，點(diǎn)（a，b）的意義就是當(dāng)自變量x=a時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y=b.

例如，氣溫報(bào)告的截圖中，橫坐標(biāo)代表時(shí)間，即自變量的值，縱坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)的氣溫，即函數(shù)值.縱坐標(biāo)代表對(duì)應(yīng)的氣溫，如果當(dāng)天14時(shí)的氣溫為26℃，那么就用點(diǎn)（14，26）來表示；反過來，點(diǎn)（14，26）的實(shí)際意義是當(dāng)天14時(shí)的氣溫為26℃.

然后，教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，反復(fù)多練幾組，體驗(yàn)數(shù)和形的聯(lián)系，進(jìn)行強(qiáng)化.師生總結(jié)：數(shù)形聯(lián)系的破譯“密碼”為點(diǎn)（a，b）.

實(shí)際作圖時(shí)，點(diǎn)描得越多，越接近真實(shí)的圖像.函數(shù)圖像的產(chǎn)生將數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，提供了數(shù)形結(jié)合研究問題的重要方法.

（二）六步法探究y=ax2型二次函數(shù)圖像，數(shù)形聯(lián)系“密碼”畫圖像

二次函數(shù)y=ax2的圖像教學(xué)重點(diǎn)是選擇適當(dāng)?shù)淖宰兞康闹岛拖鄳?yīng)的函數(shù)值來畫函數(shù)圖像，該過程是本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn).在具體操作過程中，要考慮：第一個(gè)該取多大的值呢？第二個(gè)、第三個(gè)呢？它們得從小到大依次排列在表格中，那么相鄰兩組值的間距取多少合適？如果能繼續(xù)取下去，那么取到多少個(gè)值時(shí)能了解到圖像的整體？要解決上述困難，需要引導(dǎo)學(xué)生分析解析式的特征，判斷這些取值的合理性.學(xué)生在取值的過程中，對(duì)如何通過“值與點(diǎn)”對(duì)應(yīng)畫函數(shù)圖的教學(xué)重點(diǎn)聚焦不足.為此，筆者采取了六步法探究y=ax2型二次函數(shù)的圖像，使用數(shù)形聯(lián)系的“密碼”畫圖像.

例如，畫解析式最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x2的圖像.

（1）教師自制的網(wǎng)格坐標(biāo)系中，由學(xué)生自由發(fā)揮，去計(jì)算出各組x、y的對(duì)應(yīng)值，進(jìn)行“描點(diǎn)”.沒有任何限制地開放式取點(diǎn)，學(xué)生自然會(huì)思考如何取點(diǎn)計(jì)算方便，更易描點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)取整計(jì)算方便，點(diǎn)描得越多越準(zhǔn)確.取絕對(duì)值小的x的值，90%以上學(xué)生都能完整地畫出二次函數(shù)y=x2的頂點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)圖像的對(duì)稱性.

圖2

（2）連接各點(diǎn)，解惑釋疑.

此時(shí)他們實(shí)際遇到的困難是：如圖2，①當(dāng)（2，4）和（3，9）兩點(diǎn)距離比較遠(yuǎn)的時(shí)候，不好判斷這兩點(diǎn)之間的點(diǎn)的走向，在連接各點(diǎn)時(shí)增加了難度.這時(shí)，師生一起討論得出，可以在兩點(diǎn)之間再選取（2.5，6.25），同理，（3，9）和（4，16）之間可以再選?。?.5，12.25），…，根據(jù)需要選取出更多處在中間位置的點(diǎn).

②連接頂點(diǎn)和與它相鄰的兩點(diǎn)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)用線段連接，教師鼓勵(lì)他們?cè)陧旤c(diǎn)和相鄰點(diǎn)之間再取一點(diǎn)（0.5，0.25）驗(yàn)證看看.

③學(xué)生通過自己的計(jì)算，描出了9個(gè)甚至以上的點(diǎn)，再進(jìn)行歸納、合情推理，得到了一條光滑曲線，即二次函數(shù)的圖像是一條拋物線.

“描點(diǎn)”時(shí)，學(xué)生直接使用數(shù)形聯(lián)系的“密碼”，“邊取值，邊描點(diǎn)”“邊描點(diǎn)，邊取值”，體驗(yàn)“數(shù)值和點(diǎn)”的一一對(duì)應(yīng)，實(shí)踐數(shù)形結(jié)合的思想方法，化繁為簡(jiǎn)，突出重點(diǎn).

課堂上，教師尤其要注重圖建構(gòu)的過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)動(dòng)手、動(dòng)腦、觀察、歸納、分析、綜合、抽象、概括的形成過程，主動(dòng)獲取知識(shí)的過程需要保障學(xué)生有更多、更充足的時(shí)間去經(jīng)歷和體驗(yàn).

（三）六步法探究a不變時(shí)圖像平移規(guī)律和解析式的關(guān)系

1.六步法研究二次函數(shù)y=ax2+k 的圖像

以y2=為例.

（1）學(xué)生“邊取值、邊描點(diǎn)”，畫出y1=的圖像.

（2）觀察直觀的圖像特征，得：y1的圖像向上平移3個(gè)單位的圖像.

（3）由圖像特征聚焦到點(diǎn)的位置特征，即y1圖像上的每一點(diǎn)圖像上的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

（4）“列表”，觀察表中的數(shù)據(jù)特征來驗(yàn)證點(diǎn)的位置.

找出你剛才描出的兩個(gè)函數(shù)的幾對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，列表分析各對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

圖3

表1

（5）探索表中數(shù)據(jù)的特征和解析式的關(guān)系.

當(dāng)x的值相同時(shí)，y2總比y1大3解析式中的常數(shù)項(xiàng)k2-k1=3.

（6）綜合圖像和解析式的關(guān)系.

y1的圖像的圖像解析式中的常數(shù)項(xiàng)|k2-k1|=3.

類比得出：y3=的圖像可由的圖像向下平移3個(gè)單位得到.最后總結(jié)a不變時(shí)，函數(shù)圖像平移規(guī)律和解析式的關(guān)系：

2.六步法研究二次函數(shù)y=a（x+m）2的圖像

與上下平移規(guī)律類比，得出圖像左右平移規(guī)律和解析式常系數(shù)的關(guān)系.

繼續(xù)畫出y4=（x+2）2的圖像，與上下平移規(guī)律類比，不同之處有以下幾點(diǎn)：

步驟1，學(xué)生在畫函數(shù)y4=（x+2）2的圖像時(shí)，可能會(huì)意識(shí)不到x怎樣取值能得到對(duì)稱點(diǎn)，所以會(huì)出現(xiàn)拋物線不對(duì)稱的情況，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，補(bǔ)全圖形.

圖4

表2

歸納總結(jié)，提升數(shù)形結(jié)合思想：經(jīng)歷了y=ax2+k和y=a（x+m）2圖像的建構(gòu)過程，學(xué)生對(duì)拋物線的對(duì)稱性和平移規(guī)律在“數(shù)和形”兩個(gè)角度有了更深的理解.

圖像上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，是由代入解析式計(jì)算得到的每一組x、y的值所決定的，故當(dāng)a不變時(shí)，拋物線的平移位置反映出了二次函數(shù)頂點(diǎn)式中的常系數(shù)，反過來，頂點(diǎn)式中的常系數(shù)決定了拋物線的平移位置.

3.利用六步法的成果，研究二次函數(shù)y=a（x+m）2+k的圖像

綜合以上二次函數(shù)圖像上下、左右平移規(guī)律和解析式常系數(shù)的關(guān)系，研究y=a（x+m）2+k的圖像，只需直接根據(jù)解析式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)（-m，k），再把拋物線的平移化歸為頂點(diǎn)的平移即可.

四、結(jié)束語

綜上所述，六步法在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)圖像的教學(xué)中有著顯著的教學(xué)效果，通過破譯數(shù)形聯(lián)系的“密碼”，運(yùn)用六步法，對(duì)二次函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)有了清晰的理解.“六步法”是教師多年教學(xué)活動(dòng)中的探索，在今后的教學(xué)中將繼續(xù)打磨，以期更臻成熟.