模式耦合快速求逆稀疏貝葉斯MIMO雷達成像*

胡仁榮，童寧寧，何興宇，陳 橋

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安 710051)

0 引言

MIMO雷達成像目標(biāo)回波信號通常表現(xiàn)出稀疏性。壓縮感知技術(shù)能在欠采樣條件下恢復(fù)稀疏信號

y=Ax+w

(1)

A∈RM×N(M?N)為采樣矩陣，x表示N維稀疏信號，w表示噪聲，其均值為0，方差為σ2。然而在許多的MIMO雷達成像場景中，目標(biāo)回波稀疏信號在距離維和方位維都會表現(xiàn)出連續(xù)性結(jié)構(gòu)[1]。因此大量算法被提出來研究塊稀疏信號恢復(fù)問題，比如Block-OMP[2]、混合l2/l1范數(shù)最小化[3]、模式耦合稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(pattern-coupled sparse bayesian learning, PCSBL)[4]等。前兩類算法需要先驗獲取目標(biāo)塊結(jié)構(gòu)信息，后者通過系數(shù)耦合的方法在不需要先驗信息的情況下能夠有效靈活的獲取潛在的塊結(jié)構(gòu)信息。但其主要的缺點是每次的迭代都要計算復(fù)雜矩陣逆運算，隨著信號維數(shù)的增加，計算量越來越大，從而很難應(yīng)用到實際場景中。文獻[5]提出了快速求逆稀疏貝葉斯算法，其方法是找到一個松弛明顯下界，利用該方法，能將迭代過程中復(fù)雜矩陣求逆轉(zhuǎn)化為對角矩陣求逆，從而大大降低運算量。

文中將模式耦合稀疏貝葉斯算法與快速求逆稀疏貝葉斯算法結(jié)合，提出基于模式耦合快速求逆稀疏貝葉斯(pattern-coupled fast inverse-free sparse bayesian learning, PC-IFSBL)算法，并將其應(yīng)用到MIMO雷達成像中，該算法在降低運行時間的同時實現(xiàn)了塊稀疏信號高效恢復(fù)。

1 MIMO雷達線陣收發(fā)分置回波信號模型

文中采用收發(fā)分置的MIMO雷達線形陣列建立信號模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。發(fā)射陣列和接收陣列分別為It個發(fā)射陣元和Mr個接收陣元組成的均勻線陣，陣元間距分別為dt和dr。以第一個發(fā)射陣元為坐標(biāo)原點建立三維坐標(biāo)系，令收發(fā)陣列所在平面為X-Y平面，發(fā)射線陣為Y軸。分別用Ti和Rm表示第i個發(fā)射陣元和第m個接收陣元所在位置，坐標(biāo)原點為T0。

圖1 收發(fā)分置MIMO雷達陣列模型

(2)

式中：fc為載波頻率，T表示子脈沖長度，且發(fā)射信號STi(t)滿足

(3)

在匹配濾波之后，第i個發(fā)射陣元的發(fā)射信號經(jīng)目標(biāo)上的散射中心p散射后被第m個接收陣元接收的回波信號為

(4)

式中：αi(t)是發(fā)射波形的自相關(guān)函數(shù)，τp,i,m=(TiP+PRm)/c是回波延時，TiP和PRm分別表示第i個發(fā)射陣元和第m個接收陣元到散射中心P的距離，c為波速。

假設(shè)目標(biāo)上的任意一點為參考點O，且指定O為相對坐標(biāo)系的原點，那么P點在該相對坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(Px,Py)，且相對坐標(biāo)(Px,Py)不隨目標(biāo)的平動而變化。雷達的發(fā)射信號為窄帶信號波形時，低距離分辨率可以保證不同接收陣元接收到的不同發(fā)射陣元的信號主瓣在一個距離分辨單元中，因此式(4)可近似為

(5)

式中λ為發(fā)射信號的波長。以參考點O為相位中心，則相位補償后回波信號可表示為

(6)

根據(jù)文獻[7]的引理和文獻[8]中的近似，最終可得到包含D個散射中心的目標(biāo)回波信號為

(7)

式中:σp=ζp(-j2π(OP)T(T0O/T0O+OR0/OR0)/λ)，(xp,yp)為包含目標(biāo)散射中心P的位置信息(Px,Py)的位置參數(shù)。

2 模式耦合快速求逆稀疏貝葉斯算法

2.1 模式耦合稀疏貝葉斯模型

文獻[4]提出了一種基于模式耦合稀疏貝葉斯分層模型，這種模型下x服從高斯先驗分布

(8)

式中：

(9)

假定α0=0，αn+1=0對應(yīng)端點x1和xn。β為系數(shù)xi與其相鄰系數(shù)xi+1和xi-1之間相關(guān)性的參數(shù)，其中0≤β≤1。通過β將相鄰系數(shù)的超參數(shù)聯(lián)系到一起，實現(xiàn)塊稀疏信號的精確重構(gòu)。

根據(jù)傳統(tǒng)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)，使用伽馬分布作為超參數(shù){αi}的超先驗

(10)

式中參數(shù)a,b的選擇在文獻[4]中已經(jīng)給出。

假設(shè)噪聲方差已知，通過貝葉斯推理，得到信號x的后驗分布為:

p(x|α,y)∝p(x|α)p(y|x)

(11)

式中p(x|α)由式(8)給出，而

(12)

顯然，p(x|α,y)服從高斯分布，其均值和方差為:

(13)

式中:D為對角矩陣，其第i個對角元素為(αi+βαi+1+βαi-1)。

文獻[4]利用期望最大化(expectation-maximization，EM)算法[9]實現(xiàn)了超參數(shù){αi}的估計。則信號x的最大后驗估計就等于它的后驗分布的均值μ，即

(14)

綜上可以看出，每次迭代更新計算均值μ時，都涉及到N×N維矩陣逆運算。

2.2 快速求逆稀疏貝葉斯模型

(15)

(16)

結(jié)合模式耦合稀疏貝葉斯聯(lián)合參數(shù)估計思想，令Λ的第i個分量Λi=αi+βαi+1+βαi-1，通過β將相鄰參數(shù)聯(lián)系起來，從而得到基于快速求逆模式耦合稀疏貝葉斯(pattern-coupled fast inverse-free sparse bayesian learning, PC-IFSBL)算法進行計算更新。

若獲取到超參數(shù){αi}，則信號x的最大后驗估計就等于它的后驗分布的均值μ，即

x=μ

(17)

歸納上述分析過程，得出基于PC-IFSBL算法的MIMO雷達成像步驟為：

2)根據(jù)超參數(shù)α(t+1)計算式(16),根據(jù)式(17)得到新估計的雷達信號x(t+1)；

4)根據(jù)估計的雷達信號重構(gòu)出目標(biāo)像。

3 仿真與結(jié)果分析

仿真目標(biāo)為波音747點散射模型，如圖2所示，機長18 m、翼展16 m，由300個散射中心點組成，目標(biāo)散射中心的散射系數(shù)隨機設(shè)置，以發(fā)射陣列第一個陣元T0作為測量坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，以參考相位中心點O為相對坐標(biāo)系原點。

圖2 散射點模型

線陣收發(fā)分置MIMO雷達的陣列排布如圖1所示，設(shè)發(fā)射陣列包含It=25個陣元，陣元間距為dt=8m，第一個發(fā)射陣元T0在真實坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(0,0,0)m，發(fā)射陣列的單位方向矢量ei=(0,1,0)；接收陣列包含Mr=25個陣元，陣元間距dr=8m，第一個接收陣R0在真實坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(0,5 000,0)m，接收陣列的單位方向矢量em=(1,0,0)。采用線陣時，預(yù)設(shè)參考點O在真實坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(1 000,2 000,5 000)m。發(fā)射信號為一組正交序列調(diào)制的窄帶信號，發(fā)射載頻fc=10 GHz，信號帶寬為0.5 MHz。線形陣列的無模糊成像范圍為[-ll,ll]，ll=cR0/(2dtfc)，根據(jù)以上設(shè)置的仿真條件可知ll=20.539 6m，2ll大于目標(biāo)尺寸，可以進行成像。

分別用SBL,PCSBL,IFSBL,PC-IFSBL算法對散射點模型進行成像，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同算法成像灰度圖

對每個算法的運行時間記錄如下：

tSBL=1.016 635s,tPCSBL=0.970 744s

tIFSBL=0.521 929s,tPC-IFSBL=0.517 745s

可以發(fā)現(xiàn)PC-IFSBL算法運行時間比傳統(tǒng)貝葉斯算法運行時間縮短近一倍。

采用圖像熵(image entropy, IE)指標(biāo)量化成像效果，比較成像質(zhì)量，定義圖像熵：

(18)

式中：G表示目標(biāo)圖像，Sum{·}表示圖像中元素值的和值。圖像熵可以反映圖像中目標(biāo)的聚集特征，熵值IE越低能量聚焦性能越好。根據(jù)式(18)對圖3的各成像圖計算相應(yīng)的灰度熵，可得

IESBL=1.345 9,IEPCSBL=1.3375

IEIFSBL=1.345 7,IEPC-IFSBL=1.314 4

可以發(fā)現(xiàn)PC-IFSBL算法熵值最低，較傳統(tǒng)貝葉斯算法更能實現(xiàn)區(qū)域高效重構(gòu)。

4 結(jié)論

MIMO雷達成像時，傳統(tǒng)稀疏貝葉斯算法無法實現(xiàn)塊稀疏信號重構(gòu)，而模式耦合稀疏貝葉斯算法利用實現(xiàn)塊稀疏信號的高效重構(gòu)，但算法迭代過程中需要進行復(fù)雜的矩陣逆運算，文中所提算法在大大降低運算時間的同時還能高效的實現(xiàn)目標(biāo)連續(xù)區(qū)域高效重構(gòu)，進而更好的用于實際成像場景。