一種同時滿足攻擊角度和時間的航跡規(guī)劃方法*

姚冬冬，王曉芳，田 震

(北京理工大學宇航學院， 北京 100081)

0 引言

隨著戰(zhàn)爭向信息化發(fā)展，單枚導彈作戰(zhàn)模式已很難滿足當前復雜的作戰(zhàn)任務需求，多導彈協(xié)同作戰(zhàn)成為導彈作戰(zhàn)的新趨勢[1]。如果多枚導彈能夠在同一時刻從不同方向攻擊目標，則能大大提高導彈的突防能力和對目標的打擊能力[2]。航跡規(guī)劃是實現(xiàn)這一復雜協(xié)同作戰(zhàn)任務的核心，因此，研究同時具有攻擊時間和攻擊角度約束的協(xié)同航跡規(guī)劃方法具有重要的意義[3]。

針對具有攻擊角度約束的航跡規(guī)劃問題，文獻[4-5]提出了一種由目標出發(fā)并反向搜索獲得控制點的方法，實現(xiàn)了攻擊角度的約束。對于多飛行器飛行時間協(xié)同的問題，文獻[6-7]基于期望航跡長度改進了代價函數(shù)，獲得了與期望距離相差較小的航跡。文獻[8]同時考慮了攻擊時間和攻擊角度約束，設計了多導彈協(xié)同航跡。但仍存在計算方式復雜、人為因素較多、搜索效率較低等不足。

對于多飛行器之間避免碰撞問題，文獻[9]通過設置節(jié)點之間安全距離的方式，保證了航跡規(guī)劃中的飛行安全。但這種方式約束性過強，會使協(xié)同航跡搜索區(qū)域變小，并給攻擊角度的實現(xiàn)帶來困難。文獻[10]則提出了一種基于Voronoi圖的可交叉航跡規(guī)劃。

稀疏A*算法(SAS)作為一種高效的啟發(fā)式算法，因為其解具有全局最優(yōu)性，被廣泛應用在航跡規(guī)劃領域和礦井搜索、災區(qū)救援等場合[11-13]。

文中同時考慮多導彈攻擊時間和攻擊角度的約束，基于SAS算法設計了能夠躲避環(huán)境威脅、避免彈間碰撞且從指定方向同時攻擊目標的航跡，并對航跡進行了平滑處理。通過仿真驗證了算法的有效性。

1 滿足攻擊角度約束的單彈航跡規(guī)劃

1.1 A*算法和SAS算法基本原理

A*算法是一種經(jīng)典的啟發(fā)式搜索算法。從起點開始進行節(jié)點擴展，將每個可行節(jié)點進行代價賦值，選取全局代價最小的一點繼續(xù)搜索直至目標點，其代價函數(shù)為

f(n)=g(n)+h(n)

(1)

式中：n表示當前節(jié)點，g(n)表示在狀態(tài)空間中從起始節(jié)點到當前節(jié)點的實際代價值，h(n)表示從當前節(jié)點到目標節(jié)點的估計代價值，稱為啟發(fā)函數(shù)。

SAS算法是在A*算法的基礎上的一種改進算法。保持代價函數(shù)形式不變，將飛行器的機動約束和任務約束加入到搜索算法中，對搜索空間進行了精簡，提高了搜索效率。一般的，算法有兩點變化。

1)搜索方式。增加了如飛行最短航跡段、最小轉(zhuǎn)彎角等約束，將節(jié)點擴展方式從“九宮格”搜索變?yōu)樯让嫠阉鳎鐖D1所示。

圖1 搜索方式變化

2)航跡的收斂。在A*搜索下，地圖被柵格化，目標被設置在某一柵格內(nèi)。而當前節(jié)點與每一個擴展節(jié)點都相鄰，因此航跡一定會收斂到目標點。而在稀疏A*搜索下，搜索空間經(jīng)過修剪，目標位置不一定能夠恰好與擴展節(jié)點重合，因此要設定相應的搜索結(jié)束條件。對于導彈攻擊目標的情況，則要求航跡最終到達目標點。

1.2 基于飛行約束和軌跡光滑的節(jié)點擴展

在節(jié)點擴展時考慮飛行器的約束是稀疏A*算法的一個基本步驟。根據(jù)幾何關系和飛行約束有

(2)

式中:v為導彈運動速度，nmax為可用過載，g為重力加速度，dmin為最小航跡長度，表示導彈在改變姿態(tài)時必須直飛的距離，φmax為最大轉(zhuǎn)彎角。

為了得到可飛航跡，需要對航跡段進行平滑處理。假設導彈在轉(zhuǎn)彎處按照可用過載飛行，那么得到的平滑航跡將會是一段圓弧。為了實現(xiàn)連續(xù)的兩段轉(zhuǎn)彎，搜索的步長dmin至少為最小航跡長度的兩倍，如圖2所示。

圖2 步長選取示意

1.3 具有攻擊角度約束的航跡規(guī)劃方法

文中采用單控制點下改進代價函數(shù)的搜索方式，高效快速地滿足了航跡的攻擊角度約束。

導彈以指定角度攻擊目標的示意圖如圖3。圖中，T為目標點，θd為期望攻擊角度，Δφ為進入目標方向角范圍，當沒有控制點時，Δφ是一個很小的范圍。圖3(a)表示單純角度約束，這種方式程序上實現(xiàn)比較容易，但是效率很低、時間長。為解決此問題，加入了單控制點來實現(xiàn)攻擊角度約束。

控制點選取方式如圖3(b)所示，以目標T初始點，按照攻擊角度反向延伸一個步長d的距離，得到控制點C。將得到的控制點作為新的目標點。這樣，既擴大了收斂時角度約束，提高搜索效率，又滿足了角度約束。根據(jù)文獻[4]，過多控制點會降低搜索效率，文中只選取單控制點。

圖3 角度約束方式

改進代價函數(shù)方式如下：代價函數(shù)f(n)中，實際代價值g(n)保持不變,而啟發(fā)函數(shù)h(n)則同時考慮預估長度代價和預估角度代價，其表達式為：

(3)

式中:l為當前節(jié)點到目標點直線距離，θ表示當前航跡段航向角度，l*、θ*分別為歸一化參考數(shù)值。

2 多彈協(xié)同航跡規(guī)劃方法

多彈協(xié)同航跡是指：每個導彈在滿足自身約束的單條航跡基礎上，生成的滿足協(xié)同約束的多條航跡。文中的協(xié)同約束包括攻擊時間、攻擊角度和彈間避碰。通過上一節(jié)，可以得到具有攻擊角度約束的單條航跡，本節(jié)則實現(xiàn)了同時滿足攻擊時間、攻擊角度和避碰約束的航跡協(xié)同。

2.1 時間協(xié)同方式

假設各枚導彈運動速度相同且保持不變，那么時間協(xié)同的問題可以對應為航跡長度協(xié)同的問題。先通過前文提出的航跡規(guī)劃方式獲得每一條導彈的路徑；考慮最短航跡無法再進行縮短，選取其中最長的一條作為參考航跡并獲得期望長度ld；然后對其它航跡重新進行順序規(guī)劃，最終得到同時滿足角度和時間約束的協(xié)同航跡。

通過改進代價函數(shù)來實現(xiàn)長度協(xié)同。為了同時滿足角度和長度要求，將代價函數(shù)f(n)分為角度代價和航程代價兩個部分，其表達式為:

(4)

2.2 節(jié)點擴展過程中的碰撞檢測與避碰

在協(xié)同航跡擴展過程中，必須考慮彈間的避撞。令航跡不交叉是一種常見的處理方式[9]，這種方式實現(xiàn)容易且具有較好的避撞效果。但在實際情況中，航跡不交叉的約束性較強，會減小搜索空間。事實上，即使航跡交叉，兩枚導彈不同時到達交叉點，也不會發(fā)生碰撞。基于這種情況，同時考慮時空因素，對碰撞進行檢測。

文中的避撞方案為：在進行節(jié)點擴展時，若當前航跡段與已有航跡相交，兩條航跡到達交點的時間間隔應大于設定的安全時間間隔，即Δt≤|t1-t2|；若時間間隔小于Δt，則舍棄該段航跡。這樣就實現(xiàn)了航跡之間時空上的避撞。由于導彈速度不變，安全時間間隔可以等效為安全距離Δl。

圖4 航跡碰撞檢測

2.3 算法流程

整個算法流程如下：

1)初始化算法參數(shù)；

2)求出每條航跡的攻擊角度控制點，根據(jù)式(3)修改代價函數(shù)；

3)搜索得到具有攻擊角度約束的多條航跡；

4)選取其中最長一條得到其他航跡參考長度；

5)根據(jù)式(4)修改代價函數(shù)，并在節(jié)點擴展中加入碰撞檢測與躲避措施；

6)依次搜索得到同時滿足攻擊角度和攻擊時間的多條協(xié)同航跡。

3 仿真分析

仿真在MATLAB環(huán)境下進行。4枚導彈協(xié)同攻擊固定目標，目標的位置為(0 km,15 km)，4枚導彈的初始位置、發(fā)射角以及設定的理想攻擊角度如表1所示。導彈速度均為300 m/s，可用過載為5。

表1 導彈發(fā)射條件

根據(jù)節(jié)點擴展規(guī)律，取步長為0.6 km，轉(zhuǎn)彎角為18°，每步擴展3個節(jié)點。設安全距離為0.3 km，對應安全時間間隔為1 s。

假設戰(zhàn)場中有5個威脅，并將其等效為圓模型，威脅布局如表2。

表2 威脅位置

采用具有攻擊角度約束的航跡規(guī)劃方法，得到4枚導彈的航跡如圖5所示。

圖5 具有攻擊角度約束的4枚導彈航跡

由仿真結(jié)果可知，每枚彈都能夠按照要求的攻擊角度擊中目標，達到了角度上的協(xié)同。每一條航跡都是在滿足角度約束下，能夠完成躲避威脅的最短航跡。這4枚導彈對應的航跡長度分別為17.142 km、17.184 km、17.184 km和18.575 km。最長和最短航跡相差了1.43 km，對應時間約為4.8 s，顯然無法達到時間協(xié)同的效果。與此同時，第2、3條航跡交于(0,6.44 km)這一點，且到達時間都是在出發(fā)后的第21.7 s，明顯這兩條航跡是不安全的。

根據(jù)文中使用的時間協(xié)同方式，選取最長的一條(第4條)航跡作為參考航跡，采用修改后的代價函數(shù)和節(jié)點時空避撞擴展方法再次進行航跡規(guī)劃，得到結(jié)果如圖6。

圖6 時間和角度協(xié)同航跡

對比圖5和圖6可以看出，為了達到長度上的協(xié)同，前3枚彈會在航跡規(guī)劃的初期適當?shù)乩@行以擴展航跡長度。最終這4條航跡的長度分別為，18.495 km、18.465 km、18.465 km、18.575 km，最長和最短航跡相差0.11 km，對應時間約為0.367 s。在一定誤差范圍內(nèi)可以認為實現(xiàn)了時間上的協(xié)同。再關注航跡交叉點，第2、3條航跡交于點(0.33 km,1.43 km)，導彈2從起始點到交叉點的距離為4.89 km，導彈3從起始點到交叉點的距離為4.16 km，空間上相差了0.73 km，時間上相差了2 s，滿足飛行安全要求，實現(xiàn)了航跡之間的避撞效果。

最后對航跡段進行平滑處理，得到可飛行航跡如圖7。在航跡轉(zhuǎn)彎處，用圓弧代替折線段使軌跡平滑。軌跡平滑對航跡長度改變很小，可以忽略其對整個長度的影響。同時，安全時間間隔的設置也避免了其對碰撞時間產(chǎn)生的影響。仿真結(jié)果表明該算法能夠有效地獲得滿足角度和時間約束航跡。

圖7 平滑軌跡

4 結(jié)論

文中基于稀疏A*算法提出一種多導彈在飛行過程中能夠滿足躲避威脅區(qū)、避免彈間碰撞、攻擊末端角度和攻擊時間要求的協(xié)同航跡規(guī)劃方法。首先通過增加單控制點和改進代價函數(shù)相結(jié)合的方法獲得了滿足攻擊角度約束的航跡。然后，假設導彈速度相同，將攻擊時間等效為航跡長度，選取多枚導彈滿足角度約束航跡中最長的航跡作為參考航跡，重新設置其他導彈的代價函數(shù)并進行搜索，在搜索過程中進行多彈航跡的時空安全性判斷與重置處理，最終得到同時滿足攻擊時間和攻擊角度約束且能避免彈間碰撞的多導彈協(xié)同航跡。最后，將得到的折線航跡進行平滑處理，進一步得到了多導彈可飛航跡。該方法為多導彈的協(xié)同飛行提供了較強的技術(shù)支撐。