最優(yōu)投資組合問題的數(shù)學(xué)模型

李成博　宓穎　衣國洋　黃小宇

摘要：本文研究的是投資者在1年內(nèi)，不考慮交易費(fèi)的情況下，對市場資產(chǎn)（如股票、債券、……）進(jìn)行選擇，并優(yōu)化所選投資，從而獲得最優(yōu)投資組合，以實(shí)現(xiàn)投資目標(biāo)的問題。首先，運(yùn)用馬柯維茨均值-方差模型建立針對市場上n種資產(chǎn)的最優(yōu)投資組合模型。其次，運(yùn)用Excel對所給股票數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，根據(jù)在問題1給出的最優(yōu)投資組合模型，求解出投資組合的有效前沿。最后確定最優(yōu)投資組合的投資項(xiàng)目數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)的變化之間的關(guān)系。

Abstract： This paper studies investors' choice of market assets （such as stocks， bonds， and so on） within one year without considering transaction fees， and optimizes the selected investments to obtain the optimal portfolio to achieve the investment objectives. First， the Markowitz mean-variance model is used to establish an optimal portfolio model for n assets on the market. Secondly， the Excel is used to randomly sample the stock data， according to the optimal portfolio model given in question 1， solve the effective frontier of the portfolio. Finally， the relationship between the number of investment projects in the optimal portfolio and the changes in risk is determined.

關(guān)鍵詞：資產(chǎn)組合;收益率;風(fēng)險(xiǎn);有效前沿;最優(yōu)解

Key words： portfolio;rate of return;risk;effective frontier;optimal solution

中圖分類號：F224.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2019）28-0241-02

0? 引言

投資者對市場上不同資產(chǎn)（如股票、債券、…）進(jìn)行選擇，并對所選資產(chǎn)進(jìn)行投資組合優(yōu)化，這樣在降低投資風(fēng)險(xiǎn)同時，獲得較高的投資收益，因而研究這類問題具有重大的實(shí)際意義。

本文主要研究以下兩個問題。

問題1? 在各資產(chǎn)的平均收益和風(fēng)險(xiǎn)已知的前提下建立最優(yōu)投資組合模型。

問題2? 根據(jù)2013年資產(chǎn)數(shù)據(jù)求出投資組合的有效前沿，研究最優(yōu)投資組合的投資項(xiàng)目數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)的變化之間的關(guān)系。

1? 模型假設(shè)

①投資期間社會無政策較大變化，經(jīng)濟(jì)發(fā)展形勢穩(wěn)定。

②投資期限為1年，期間不撤資或追加投資。投資期間的交易費(fèi)用不計(jì)。

③不考慮投資比率系數(shù)為負(fù)的問題，由于負(fù)的投資比例意味著賣空相應(yīng)的證券，考慮不允許賣空的情況。

2? 模型的建立與求解

2.1 問題1

投資者期望在最大化期望收益率的同時，最小化由方差度量的風(fēng)險(xiǎn)，從而達(dá)到投資目的。投資組合優(yōu)化選擇問題是一個優(yōu)化問題，建立優(yōu)化模型求解。

從圖中可看到風(fēng)險(xiǎn)隨著組合規(guī)模的擴(kuò)大而降低。當(dāng)組合規(guī)模由1個增至10個時，組合風(fēng)險(xiǎn)的減少程度最大。當(dāng)組合中股票數(shù)由10個繼續(xù)增加，組合風(fēng)險(xiǎn)的減少程度逐漸降低。這表明并不是投資數(shù)目越大，越能有效的規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。我們需要適當(dāng)?shù)倪x取投資數(shù)目，進(jìn)而使得在獲得較大收益率的同時，投資風(fēng)險(xiǎn)較小。從圖像上看，投資數(shù)目在10個左右為宜。

3? 模型的分析與評價(jià)

3.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

①本模型采用了數(shù)學(xué)工具，對模型的求解非常的嚴(yán)密，具有很高的科學(xué)性。

②本模型與實(shí)際聯(lián)系較為緊密，因此具有很高的實(shí)用價(jià)值。

③模型中有詳細(xì)的數(shù)據(jù)求解過程，各項(xiàng)數(shù)據(jù)真實(shí)可靠，可信度較高。

3.2 模型的缺點(diǎn)

模型中的股票選取隨機(jī)性較大，和實(shí)際還存在偏差。

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