多方分層遠(yuǎn)程態(tài)制備*

彭家寅

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199

1 引言

量子糾纏是量子力學(xué)和量子信息理論中的重要概念，量子信息處理中許多最迷人之處都來源于糾纏的性質(zhì)[1]。一方面，糾纏會(huì)引起非局域關(guān)聯(lián)，這與現(xiàn)實(shí)的經(jīng)典理論相悖[2]。另一方面，它也可用作量子信息處理中新的物理資源，如量子密碼學(xué)[3]、量子對(duì)話[4]、量子密集編碼[5]、量子計(jì)算[6]等。1993年，Bennett等人[7]首次提出了一種稱為隱形傳態(tài)的非常有趣的量子方法，它允許人們通過雇傭Einstein-Podolsky-Rosen（EPR）對(duì)作為量子通道，將一個(gè)單個(gè)粒子未知量子態(tài)安全地、忠實(shí)地從一個(gè)發(fā)送者傳輸給一個(gè)遠(yuǎn)程的接收者，而無需將該態(tài)本身在空間中直接物理傳送。此后，相關(guān)研究工作被廣泛報(bào)道，并在理論[8-16]和實(shí)驗(yàn)[17-18]方面都取得了重大進(jìn)展。作為隱形傳態(tài)的一種變體，遠(yuǎn)程態(tài)制備（remote state preparation，RSP）[19-20]這個(gè)新概念被提出來了，在這種新協(xié)議中，利用與量子隱形傳態(tài)相同的量子信道就可能以比隱形傳態(tài)更小的經(jīng)典通信成本去遠(yuǎn)程制備一個(gè)已知量子態(tài)（通常稱該態(tài)為目標(biāo)態(tài)）。然而，在RSP中，欲被制備的量子態(tài)之所有信息都暴露給發(fā)送者。為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，聯(lián)合遠(yuǎn)程量子態(tài)制備（joint remote state preparation，JRSP）[21]被提出了。它主要處理如下情景的問題：被制備量子態(tài)的全部信息由位于不同地點(diǎn)的兩個(gè)或更多的發(fā)送者共享，遠(yuǎn)程的接收者必須與所有發(fā)送者合作才能制備目標(biāo)態(tài)。自2000年P(guān)ati[19]提出以Bell態(tài)為信道的第一個(gè)RSP協(xié)議以來，以不同量子態(tài)為信道的許多RSP 和JRSP 協(xié)議被提了出來，如Brown 態(tài)[22]、EPR 對(duì)[23]、GHZ（Greenberger-Horen-Zeilinger）態(tài)與GHZ 型態(tài)[24-25]、W 態(tài)與W 型態(tài)[26]、八粒子團(tuán)簇態(tài)[27]、高維態(tài)[28]等。

到目前為止，幾乎所有關(guān)于多方RSP 和JRSP 協(xié)議都限制在對(duì)稱的情形，其所有的接受者都以相同能力重構(gòu)發(fā)送者的原始秘密態(tài)。更一般的RSP 或JRSP 方案應(yīng)該涉及不同參與者的權(quán)力之間的不對(duì)稱，其中只有參與者的特定子集可以通過合作來恢復(fù)秘密量子態(tài)。最近，Shukla等人[29]討論分層量子通信問題，并提出了分層聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備協(xié)議，其中發(fā)送者在空間分離的其他發(fā)送者和若干代理商之間分配量子態(tài)，并按代理商重構(gòu)發(fā)送者的原始量子態(tài)之能力對(duì)代理商們進(jìn)行分層。高層的代理商不需要幫助就能恢復(fù)發(fā)送者發(fā)送的量子態(tài)，而低層的代理商需要其他所有代理商合作的情況才能重構(gòu)原始秘密態(tài)[30]。2011年，Wang等人[9]提出了一個(gè)以多粒子糾纏態(tài)為信道的多方分層量子信息分裂之方案，其代理商被分為兩層，每層的代理商之人數(shù)原則上是任意的。雖然文獻(xiàn)[30]提出了一個(gè)以五粒子團(tuán)簇態(tài)為信道的非對(duì)稱五方JRSP 協(xié)議，但還沒有對(duì)這個(gè)非對(duì)稱問題進(jìn)行深入的研究，特別地，至今還未見多方非對(duì)稱的RSP協(xié)議的報(bào)道。

本文基于Wang 等人[9]和Shukla 等人[30]的思想，提出了一個(gè)利用多粒子糾纏信道和經(jīng)典通信的多方不對(duì)稱RSP 方案，它包含兩層的代理商S1={Bob1,Bob2,…,Bobn}和S2={Cindy1,Cindy2,…,Cindym}。為了恢復(fù)發(fā)送方（Alice）的單量子秘密狀態(tài)，Bob們中的任何人需要其他Bob們和Cindy們中的任何一人的協(xié)作，而Cindy 們中任何人則需要所有其他代理商的協(xié)作。也就是說，不同層的代理商具有不同的權(quán)限來恢復(fù)目標(biāo)狀態(tài)，這種類型的RSP 稱為分層遠(yuǎn)程態(tài)制備。值得注意的是代理商的協(xié)作是基于單量子測量和經(jīng)典通信，它們不需要進(jìn)行任何非局域操作。

2 多方分層遠(yuǎn)程態(tài)制備

假設(shè)發(fā)送者Alice 打算幫助她的代理商Bob1,Bob2,…,Bobn,Cindy1,Cindy2,…,Cindym制備一個(gè)任意單粒子態(tài)：

被Alice、Bob們和Cindy們預(yù)先分享的量子信道是如下一個(gè)(1+n+m)-粒子的圖態(tài)。

其中，粒子A屬于Alice，粒子Bi屬于Bobi(i=1,2,…,n),粒子Cj屬于Cindyj(j=1,2,…,m)。對(duì)每個(gè)粒子Bi和Ci(i≠1)都施行一個(gè)Hardamard門運(yùn)算。

它可將式（2）的圖態(tài)變成如下形式[34]：

為了使方案成功的概率為1，接下來的處理就是機(jī)智的，因?yàn)椴捎昧饲梆仠y量策略。具體地說，在這一步中，Alice 的正確行動(dòng)主要取決于前一步的測量結(jié)果。即，當(dāng)Alice的測量結(jié)果為時(shí)，她需要對(duì)粒子A′施行如下酉運(yùn)算：

換言之，利用基：

和基：

分別將式（8）表示成：

值得注意的是，在第二次測量中，Alice使用了前向反饋測量技術(shù)。也就是說，測量粒子A′的基的選擇本質(zhì)上分別取決于先前對(duì)粒子A的測量結(jié)果。從等式（11）知，在Alice 對(duì)粒子A和A′的測量后，她的代理商們的粒子將塌陷為下列態(tài)之一：

更詳細(xì)地，Alice對(duì)粒子A和粒子A′的測量結(jié)果PMA和PMA′及代理商們的塌陷態(tài)S之間的關(guān)系如表1。

Table 1 Relation between measurement results and collapse states表1 測量結(jié)果與塌陷態(tài)之關(guān)系

非克隆定理[30-32]只允許一個(gè)量子處于秘密態(tài)，因此n+m個(gè)代理中的任何一個(gè)，但不是全部，都可以恢復(fù)這個(gè)態(tài)。

首先，假定代理商們同意Bob1去恢復(fù)Alice 的原始秘密態(tài)。利用Wang 等人[9]的表示方法，可以將態(tài)和態(tài)表示為：

這里T是一個(gè)整數(shù)，表示的整數(shù)部分，=T！/K！(T-K)！(K=2k,2k+1)是組合系數(shù)，表示包括K個(gè)“-”和T-K個(gè)“+”的全部對(duì)稱態(tài)，例如由等式（13）知，除Bob1外的所有n-1個(gè)Bob和Cindy們中的任意一個(gè)人（不失一般性，假設(shè)為Cindy1）就能協(xié)助Bob1去成功恢復(fù)Alice 的原始秘密態(tài)。具體地，Bob1外的所有n-1 個(gè)Bob 都利用基去測量他們的粒子。同時(shí)，Cindy1利用基去測量他的粒子C1，并將他們的測量結(jié)果通知Bob1。為了重構(gòu)Alice的秘密態(tài)，Bob1需要對(duì)自己粒子B1執(zhí)行一個(gè)適當(dāng)?shù)挠线\(yùn)算，這個(gè)酉運(yùn)算來自集合，其中I為恒等算子，而σx、σy、σz為Pauli算子。令VC和VS1分別表示Cindy1和Bob們獲得的測量結(jié)果之值，那么記VS=VC⊕VS1,⊕為模2的加法。當(dāng)然，態(tài)集被編碼為值“0”，而被編碼為值“1”。Bob1的恢復(fù)算子U與Alice、Cindy1及其余Bob們的測量結(jié)果(PMA,PMA′,VS)之間的關(guān)系見表2。

Table 2 Relation among operator U and PMA、PMA′and VS表2 算子U 與PMA、PMA′和VS 間的關(guān)系

現(xiàn)在，考慮代理商們支持Cindy1重構(gòu)Alice 的原始秘密態(tài)利用文獻(xiàn)[9]的表示方法，態(tài)和態(tài)可以表示為：

從上式可知，Cindy1能重構(gòu)Alice 的原始秘密態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)n個(gè)Bob 和其他m-1 個(gè)Cindy 都用基去測量他們的粒子，并播報(bào)其測量結(jié)果。換言之，Cindy1需要其他所有的代理商的幫助才能恢復(fù)Alice的原始秘密態(tài)為此，Cindy1需要對(duì)自己的粒子C1執(zhí)行酉運(yùn)算集合{H,σxH,iσyH,σzH}中之一，這里H是Hardamard門。令分別表示Bob們和其余Cindy們獲得測量結(jié)果的值，那么Cindy1的恢復(fù)算子U同Alice和其他代理商的測量結(jié)果(PMA,PMA′，)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見表3。

Table 3 Relation among PMA PMA′,, and U表3 PMA PMA′、、 與U 的關(guān)系

Table 3 Relation among PMA PMA′,, and U表3 PMA PMA′、、 與U 的關(guān)系

綜合上述分析，可以得到這樣的結(jié)論：對(duì)于重構(gòu)Alice的原始秘密態(tài)而言，Bob們中任何人僅需要Cindy們的任何一個(gè)人和其他Bob們的幫助就可以完成任務(wù)；而Cindy們中的任何人則需要所有的Bob和其余的全體Cindy 之幫助才能完成量子任務(wù)。因此代理商們獲得Alice 的秘密態(tài)的權(quán)限被分層，所有Bob們相對(duì)于所有Cindy們來說處于高層位置。這個(gè)結(jié)果可以如下理解：Alice進(jìn)行兩次單粒子測量后，測量結(jié)果為，而Bob 們和Cindy們的單粒子密度矩陣分別為：

3 討論與結(jié)論

多方的RSP 方案對(duì)于一般的量子分布式計(jì)算和量子網(wǎng)絡(luò)通信非常重要，JRSP 協(xié)議的安全性高于RSP協(xié)議。因此自然會(huì)問，本文的HRSP（hierarchical remote state preparation）方案是否可以修改為分層JRSP 方案（hierarchical joint remote state preparation，HJRSP）。事實(shí)上，考慮以下情景：假設(shè)發(fā)送方Alice1和Alice2與她們的(n+m)個(gè)代理商Bob1，Bob2，…，Bobm，Cindy1，Cindy2，…，Cindym事先共同分享等式（4）中(2+n+m)-粒子的圖態(tài)，其中粒子A屬于Alice1，粒子A′屬于Alice2，粒子Bj屬于Bobj(j=1,2,…,n)，粒子Cj屬于Cindyj(j=1,2,…,m)。為了幫助代理商中的任一人制備秘密態(tài)，Alice1利用等式（6）中的基對(duì)其粒子進(jìn)行投影測量，并公布她的測量結(jié)果。收到Alice1的信息后，Alice2采用前饋測量策略對(duì)自己粒子執(zhí)行等式（9）、等式（10）中的酉運(yùn)算U1或U2，并公布測量結(jié)果。剩下的任務(wù)只需與第2章的相應(yīng)工作重復(fù)就行了。通過這種方式，得到了多層分層JRSP協(xié)議。

現(xiàn)在，來討論本文方案抵抗一些竊聽攻擊的安全問題。由于非克隆定理[31-32]和糾纏成對(duì)性[30]，竊聽者竊聽秘密態(tài)的唯一辦法是采取攔截-重發(fā)攻擊。尤其是竊聽者截獲從Alice 發(fā)送給所有Bob 們和所有Cindy 們的所有粒子(B1,B2,…,Bn,C1,C2,…,Cm)（因?yàn)锽ob們或Cindy們中的哪一個(gè)將擁有秘密狀態(tài)在協(xié)議之前沒有指定），然后把假粒子（記B′1,B′2,…,B′n,C′1,C′2,…,C′m）發(fā)給Bob們或Cindy們。為了盡可能地保持Bob們和Cindy們之間的量子相關(guān)性，竊聽者可以在圖態(tài)中準(zhǔn)備(n+m)個(gè)偽量子位。

然而，Alice 和她的代理們之間的量子關(guān)聯(lián)被破壞了。Alice和代理們通過對(duì)他們自己或接收的量子位進(jìn)行適當(dāng)?shù)木钟驕y量，就能很容易地檢測這種攻擊。例如，他們都選擇單粒子計(jì)算基礎(chǔ)作為測量基礎(chǔ)，在竊聽者的攻擊下，Alice和代理們的測量結(jié)果之間就會(huì)沒有相關(guān)性。然而，在無竊聽的情況下，Alice的測量結(jié)果總是與Bob們的測量結(jié)果相關(guān)，而與Cindy們的測量結(jié)果相反。由于糾纏是成對(duì)的，因此總是可以通過檢查量子糾纏信道的量子相關(guān)性來檢測竊聽攻擊[33]。為了檢查安全性，將會(huì)犧牲部分糾纏信道。事實(shí)上，大多數(shù)量子通信協(xié)議都需要使用量子相關(guān)，并犧牲部分糾纏信道來檢查針對(duì)竊聽者的攔截的安全性。

在Wang 等人[9]和Shukla 等人[30]的工作基礎(chǔ)上，提出了多方分層的遠(yuǎn)程態(tài)制備協(xié)議，其中代理們分為兩個(gè)層次（S1和S2），兩個(gè)層次的代理人數(shù)原則上可以是任意的。該方案中的大量參與者對(duì)于本文協(xié)議在分布式量子計(jì)算和量子網(wǎng)絡(luò)通信中的應(yīng)用是非常有意義的。在本文協(xié)議中，S1層的代理商比S2層的代理商具有更強(qiáng)的恢復(fù)Alice 秘密態(tài)的能力，且這個(gè)多方HRSP方案可以被修改為分層JRSP協(xié)議。本文中提出的協(xié)議也是安全的，防止竊聽，并且可視為是對(duì)常規(guī)（對(duì)稱）RSP 和JRSP 方案的補(bǔ)充[18-29]。與現(xiàn)有非對(duì)稱量子信息分裂方案[12]和需要多粒子集體操作的分層量子通信方案[29]相比，本文方案不涉及非局部操作（多粒子操作）。作為本文方案中量子信道的圖態(tài)是量子信息科學(xué)中非常重要的量子資源[9],它的制備也是所給出的HRSP 和HJRSP 方案物理實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵。據(jù)文獻(xiàn)[34]的工作，通過線性光學(xué)技術(shù)可以有效地產(chǎn)生圖態(tài)。此外，在量子秘密分發(fā)過程中使用前向反饋測量技術(shù)確保了本文協(xié)議成功的概率為1。