連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度與分布函數(shù)

常娟

摘? 要：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的定義，討論連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度與分布函數(shù)的互求問(wèn)題。結(jié)合實(shí)例分析給出結(jié)論：（1）對(duì)于一維連續(xù)型隨機(jī)變量，當(dāng)分布函數(shù)的非連續(xù)導(dǎo)數(shù)點(diǎn)是有限個(gè)時(shí)，只要將概率密度補(bǔ)充適當(dāng)?shù)亩x，即可滿足要求。（2）對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，當(dāng)分布函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在有限條光滑曲線上不連續(xù)時(shí)，只要將概率密度補(bǔ)充適當(dāng)?shù)亩x，即可滿足要求。

關(guān)鍵詞：連續(xù)性隨機(jī)變量? 分布函數(shù)? 概率密度

中圖分類號(hào)：O212 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2019）08（b）-0188-02

Abstract： In probability theory and mathematical statistics， according to the definition of continuous random variables， the mutual problem of probability density and distribution function of continuous random variables is discussed. Combined with the example analysis， the conclusion is given：（1）For one-dimensional continuous random variables， when the non-continuous derivative points of the distribution function are finite， the probability density can be supplemented with appropriate definitions to meet the requirements.（2）For two-dimensional continuous random variables， when the second-order mixed partial derivatives of the distribution function are discontinuous on the finite strip smooth curve， the probability density can be supplemented with appropriate definitions to meet the requirements.

Key Words： Continuous random variable; Distribution function; Probability density

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)有連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度與分布函數(shù)互求問(wèn)題。但是在概率論的教材及參考書中，涉及到已知分布函數(shù)求概率密度的內(nèi)容比較少，初學(xué)者往往沒(méi)有正確理解相關(guān)的概念及性質(zhì)，在應(yīng)用上產(chǎn)生一定的偏差，算出錯(cuò)誤的結(jié)果。因此本文討論了連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和分布函數(shù)的互求問(wèn)題。

1? 一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度與分布函數(shù)的互求問(wèn)題

1.1 已知一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度求分布函數(shù)

設(shè)X是一維連續(xù)型隨機(jī)變量，X的概率密度與分布函數(shù)分別為f（）與F（），則由概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)得：分布函數(shù)是概率密度的積分上限函數(shù)，即[1]。

例1 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為：

求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（）[2]。

解：（1）當(dāng)<0時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間（-∞，）內(nèi)，有概率密度f(wàn)（）=0，所以。

（2）當(dāng)0≤<2時(shí)，根據(jù)單積分具有積分區(qū)間的可加性，有：

（3）當(dāng)≥2時(shí)，根據(jù)單積分具有積分區(qū)間的可加性，有：

即隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（）為：

1.2 已知一維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)求概率密度

設(shè)X是一維連續(xù)型隨機(jī)變量，X的概率密度與分布函數(shù)分別為f（）與F（），則由概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)得：在概率密度函數(shù)f（）的連續(xù)點(diǎn)處有F′（）=f（）。

對(duì)于一維連續(xù)型隨機(jī)變量，真正有實(shí)際意義的是概率密度的積分，概率密度的積分得到的是隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間上取值的概率，因此要求密度函數(shù)必須可積，但是可積函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)，所以概率密度函數(shù)f（）不一定連續(xù)。

一般來(lái)說(shuō)，概率密度的不連續(xù)點(diǎn)只有有限個(gè)，改變概率密度在有限個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值不影響分布函數(shù)F（）的取值，因此并不在乎改變概率密度在有限個(gè)點(diǎn)處的值。有鑒于此，在概率密度的連續(xù)點(diǎn)處有F′（）=f（）;在概率密度的不連續(xù)點(diǎn)處，只要將概率密度適當(dāng)補(bǔ)充定義（取非負(fù)實(shí)數(shù)）即可。

例2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：

求隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)（）。

解：在概率密度的連續(xù)點(diǎn)處有

（1）當(dāng)<1時(shí)，F(xiàn)（）=0在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)得F′（）=f（）=0。

（2）當(dāng)1<

（3）當(dāng)>e時(shí)，F(xiàn)（）=e在區(qū)間（e，+∞）內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)得F′（）=f（）=0。

（4）當(dāng)=1，=e時(shí)，F(xiàn)（）不可導(dǎo)，但是可以補(bǔ)充概率密度在個(gè)別點(diǎn)處的值，為了概率密度的表達(dá)式簡(jiǎn)單整齊，所以指定f（1）=0，f（0）=0。即隨機(jī)變量X的概率密度為f（），則：

2? 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度與分布函數(shù)互求問(wèn)題

2.1 已知二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度求分布函數(shù)

設(shè)（X，Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，（X，Y）的概率密度與分布函數(shù)分別為f（，y）與F（，y），則由概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)得：分布函數(shù)是概率密度的二重積分，

即[3]。

例3 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為

求隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)F（，y）。

解：根據(jù)，則：

（1）由二重積分具有積分區(qū)域的可加性，當(dāng)>0，y>0時(shí)，有：

（2）當(dāng)，y不屬于第一象限時(shí)，則有：

即隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)F（，y）為：

2.2 已知二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)求概率密度

設(shè)（X，Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，（X，Y）的概率密度與分布函數(shù)分別為f（，y）與F（，y），則由概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)得：在概率密度函數(shù)f（，y）的連續(xù)點(diǎn)（，y）處有。

對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，真正有實(shí)際意義的是概率密度的積分，概率密度的二重積分得到的是隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)域上取值的概率。因此要求密度函數(shù)可積，但是二元可積函數(shù)不一定是二元連續(xù)函數(shù)，所以概率密度函數(shù)f（，y）不一定連續(xù)。

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度只在有限條光滑曲線上不連續(xù)，改變概率密度在有限條光滑曲線上的函數(shù)值并不影響分布函數(shù)F（，y）的取值，因此并不在乎改變概率密度在有限條光滑曲線上的值。有鑒于此，在概率密度的連續(xù)點(diǎn)處有;在概率密度的不連續(xù)點(diǎn)處，只要將概率密度適當(dāng)補(bǔ)充定義（取非負(fù)實(shí)數(shù)）即可。

例4 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為

求隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度f(wàn)（，y）。

解：因?yàn)镕（，y）的二階混合偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)，即當(dāng)-∞<，y+∞時(shí)，有：

例5 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為：

求隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度f(wàn)（，y）。

解：因?yàn)镕（，y）的二階混合偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)，即當(dāng)-∞<，y+∞時(shí)，有：

例6 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為：

求隨機(jī)變量的概率密度。

解：（1）當(dāng)>0，y>0時(shí)，F(xiàn)（，y）的二階混合偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)，即當(dāng)>0，y>0時(shí)，有：

（2）當(dāng)<0或者>0，y<0時(shí)，有F（，y）=0，則：

（3）當(dāng)≥0，y=0或者=0，y≥0時(shí)，為了概率密度的表達(dá)式簡(jiǎn)單整齊取f（，y）=0。即隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度f(wàn)（，y）為：

參考文獻(xiàn)

[1] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].4版.北京：高等教育出版社，2008：42-44.

[2] 陳燦.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2013：27-28.

[3] 張國(guó)華.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2014：51-53.