多項(xiàng)式的伴侶矩陣的應(yīng)用

曾慶怡

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005）

中學(xué)數(shù)學(xué)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系就是耳熟能詳?shù)腣ieta(韋達(dá))定理，這個(gè)定理常見的應(yīng)用是在已知方程的解未知的條件下，求做與已知方程根有某種關(guān)系的另一個(gè)方程以及相應(yīng)的計(jì)算問(wèn)題.對(duì)于次數(shù)高于2次的根與系數(shù)的關(guān)系問(wèn)題，在大學(xué)高等代數(shù)教材中有相應(yīng)的結(jié)果.

設(shè)f(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0是數(shù)域F上的首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，而α1,α2,…,αn是f(x)的全部復(fù)根，則：

對(duì)于多項(xiàng)式的根的相應(yīng)的式子的計(jì)算問(wèn)題［1-3］，當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的次數(shù)比較高的時(shí)候，計(jì)算量是比較大的，但是如果用高等代數(shù)的相應(yīng)知識(shí)來(lái)解決就要快捷很多.筆者整理了部分高校的考研試題，利用多項(xiàng)式的伴侶矩陣的性質(zhì)解決這類問(wèn)題.

1 問(wèn)題介紹

問(wèn)題1：設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn是有理系數(shù)多項(xiàng)式g(x)在復(fù)數(shù)域上的全部根，問(wèn)對(duì)任意有理系數(shù)多項(xiàng)f(ξi)一定是有理數(shù)？證明你的結(jié)論(北京大學(xué)2012年高等代數(shù)考研試題).

問(wèn)題4：設(shè)1,a1,a2,…,a2n是多項(xiàng)式x2n+1-1在復(fù)數(shù)域上C的全部根，證明北京師范大學(xué)1988年高等代數(shù)考研試題).

問(wèn)題6：設(shè)x1,x2,x3是多項(xiàng)式f(x)=5x3-6x2+7x-8的三個(gè)根，求的值(昆明理工大學(xué)2007年考研真題).

問(wèn)題7：設(shè)f(x)是首項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是1的n次整系數(shù)多項(xiàng)式，f(x)的全部復(fù)根是α1,α2,…,αn，證明對(duì)任意整數(shù)k是整數(shù).

這7個(gè)問(wèn)題看似是多項(xiàng)式的根的問(wèn)題，但是每個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式一定是某個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式，這個(gè)矩陣就是多項(xiàng)式的伴侶矩陣.而多項(xiàng)式的根就是這個(gè)伴侶矩陣的特征值，于是多項(xiàng)式的根的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為伴侶矩陣的特征值的問(wèn)題.利用矩陣的特征值的相關(guān)性質(zhì)，可以解決上述問(wèn)題，而且比純粹用多項(xiàng)式的方法簡(jiǎn)單快捷.

2 多項(xiàng)式的伴侶矩陣的應(yīng)用

命題1 設(shè)f(x)是數(shù)域F上首項(xiàng)系數(shù)為1的n(n≥1)次多項(xiàng)式，則f(x)一定是數(shù)域F上某個(gè)n階矩陣的特征多項(xiàng)式［1］.

證是數(shù)域F上的n次多項(xiàng)式.取：

則容易計(jì)算有：

矩陣A就是多項(xiàng)式f(x)的伴侶矩陣，而多項(xiàng)式f(x)的根就是A的特征值.f(x)的所有根的和就是矩陣A的跡tr(A)，而所有根的積就是A的行列式|A|.

設(shè)λ是A的任意特征值，則對(duì)任意正整數(shù)k,Ak的特征值就是λk，于是對(duì)任意非零多項(xiàng)式g(x),g(A)的特征值就是g(λ).因?yàn)锳是有理數(shù)域上的矩陣，Ak還是有理數(shù)域上的矩陣，因此tr(Ak)也是有理數(shù)，解決了問(wèn)題(2).

問(wèn)題(1)，(3)的解答：

證問(wèn)題(1)，一定是有理數(shù).不失一般性可設(shè)g(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1.由命題1存在有理數(shù)域上的n階矩陣A使得g(x)為A的特征多項(xiàng)式，因此ξ1,ξ2,…,ξn為A的全部特征值.對(duì)任意有理系數(shù)多項(xiàng)式f(x),f(A)的特征值是 f(ξ1),f(ξ2),…,f(ξn).而 f(A)是有理數(shù)域上的矩陣是有理數(shù).

問(wèn)題(3)，a未必是有理數(shù)，a2一定是有理數(shù).令g(x)=x2-2，則g(x)的兩個(gè)根是都不是有理數(shù).

由命題1，設(shè)A是g(x)伴侶矩陣，而ξ1,ξ2,…,ξn就是的全部特征值，因此對(duì)任意正整數(shù)k,Ak的特征值是一定是有理數(shù).考慮以下有理數(shù)域上的行列式：

等式左邊是一個(gè)有理數(shù)域上的行列式，其值是有理數(shù)，因此a一定是有理數(shù).因?yàn)橐虼?b 是有理數(shù).

問(wèn)題(4)的解答：

證令 g(x)=x2n+x2n-1+…+x+1，則 x2n+1-1=(x-1)g(x)，從而 a1,…,a2n就是 g(x)的全部根.令 α=(1,1,…,1)T∈R2n-1，則g(x)的伴侶矩陣是因此a,…,a就是A的全部特征值，從而E-A的特征值是1-a,1-12n2n-11a2,…,1-a2n，而這些特征值的乘積就是|E2n-1-A|.于是：

問(wèn)題(5)的解答：

證設(shè)A是f(x)的伴侶矩陣，x1,…,xn就是A的特征值，從而的特征值就是A2，因此A2的特征多項(xiàng)式g(x)就是以為根的多項(xiàng)式.

如果a0≠0，則f(x)的每個(gè)根非零，A可逆，而A-1的特征值就是因此A-1的特征多項(xiàng)式h(x)是所求的多項(xiàng)式.

例1 設(shè)f(x)=x3+2x2+3x+1,x1,x2,x3為f(x)的根，求作以為根的多項(xiàng)式g(x)；以及以為根的多項(xiàng)式h(x).

解因?yàn)閒(x)的伴侶矩陣A是：

簡(jiǎn)單計(jì)算可得A2的特征多項(xiàng)式是g(x)=x3+2x2+5x-1，而A-1的特征多項(xiàng)式h(x)=x3+3x2+2x+1.

問(wèn)題(6)的解答：

解所求式子整理后變成，按照根與系數(shù)的關(guān)系可以求的這個(gè)式子的值，只是在計(jì)算的時(shí)候計(jì)算量比較大，這個(gè)問(wèn)題采取伴侶矩陣的辦法計(jì)算比較簡(jiǎn)單.

顯然x1,x2,x3是多項(xiàng)式的根，g(x)的伴侶矩陣是：

于是x1,x2,x3就是A的特征值，從而：

問(wèn)題7的解答：

證令A(yù)為f(x)的伴侶矩陣，則A是整數(shù)矩陣，α1,α2,…,αn是A的特征值，從而對(duì)任意正整數(shù)的特征值.由于A是整數(shù)矩陣，Ak也是整數(shù)矩陣，因也是整數(shù).

因?yàn)閨A|=(-1)n，所以A-1=|A|-1A*也是整數(shù)矩陣，這里A*是A的伴隨矩陣，而A-1的特征值是是整數(shù).于是對(duì)任意正整數(shù)k,A-k=(A-1)k是整數(shù)矩陣，從而

3 結(jié)語(yǔ)

首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式f(x)根的相關(guān)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為f(x)的伴侶矩陣的特征值的相應(yīng)問(wèn)題，利用伴侶矩陣的相應(yīng)結(jié)果解決多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，這種辦法有時(shí)候比用單純的多項(xiàng)式理論解決來(lái)的簡(jiǎn)單快捷.當(dāng)然，這要求讀者本身要對(duì)多項(xiàng)式與其伴侶矩陣方面的知識(shí)點(diǎn)要能融會(huì)貫通.