特殊化是解函數(shù)方程的思維主線

現(xiàn)行人教版教材高中《數(shù)學(xué)》必修1中有道這樣的試題：已知f(x)=3x,求證：(1)f(x)·f(y)=f(x+y)；(2)f(x)÷f(y)=f(x-y)。這道試題是讓驗(yàn)證f(x)是指定函數(shù)方程的解。那么,什么是函數(shù)方程?如何解函數(shù)方程呢?所謂函數(shù)方程就是含有未知函數(shù)的等式,使函數(shù)方程成立的函數(shù)叫函數(shù)方程的解,求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無(wú)解的過(guò)程叫解函數(shù)方程。函數(shù)方程是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題,它不存在一般性解法,特殊解法往往帶有抽象性、靈活性、技巧性和創(chuàng)造性,因此函數(shù)方程一直走紅于自主招生題和競(jìng)賽題。

要從一元、二元或者多元函數(shù)方程中解出一元函數(shù)解,就必須設(shè)法把多元函數(shù)方程化歸為一元函數(shù)方程,即對(duì)已知函數(shù)方程特殊化、具體化、明顯化和簡(jiǎn)單化是解函數(shù)方程的思維主線。特殊化需要通過(guò)代換、減元、化歸來(lái)實(shí)現(xiàn)。代換法是解函數(shù)方程的共性思想方法,是解函數(shù)方程的關(guān)鍵點(diǎn)、著力點(diǎn)和聚力點(diǎn),根據(jù)代換對(duì)象、方法、技巧和側(cè)重點(diǎn)的不同,代換法又分為多種特殊解法。

1.待定系數(shù)法,用設(shè)定的函數(shù)式代換未知函數(shù),把函數(shù)方程變?yōu)榇鷶?shù)方程或方程組求待定系數(shù)。

例1若f(x)為多項(xiàng)式函數(shù),且f(x+1)+f[f(x-1)]=2x+3,求f(x)。

解：由已知可設(shè)f(x)=ax+b,則f(x+1)+f[f(x-1)]=a(x+1)+b+a[a(x-1)+b]+b=(a+a2)x+a-a2+ab+2b=2x+3,所以得a=b=1。所以f(x)=x+1。

2.賦值法,即用適當(dāng)?shù)臄?shù)代換函數(shù)方程中的變量。我們常常通過(guò)賦值法把函數(shù)方程變?yōu)榇鷶?shù)方程求指定的函數(shù)值。

例2已知f(x)是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù),且xf(x+1)=(x+1)f(x),則

解：令得因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以得令x=得,所以令得所以令x=0,得f(0)=0。于是

3.代換法,是解函數(shù)方程最重要的方法,用新變量代換函數(shù)方程中的原變量。

例3若f(x)和g(x)都是定義在R上的函數(shù),且方程x-f[g(x)]=0有實(shí)數(shù)解,則g[f(x)]不可能是()。

解：設(shè)x0滿(mǎn)足x0-f[g(x0)]=0,即f[g(x0)]=x0。令g(x0)=y0,則f(y0)=x0,所以g[f(y0)]=g(x0)=y0,這說(shuō)明方程g[f(x)]-x=0至少有一個(gè)實(shí)根y0。對(duì)選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),方程無(wú)實(shí)根,故選B。

用取正整數(shù)的變量n代換函數(shù)方程中的某些變量,把函數(shù)方程變?yōu)檫f推公式,求出通項(xiàng)公式即得所求函數(shù)的方法,通常稱(chēng)為遞推法。例如,已知f(x)滿(mǎn)足f(1)≠0,且f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2+xy,求f(x),x∈N*。