楊孝英

（長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130012）

關(guān)鍵字：復(fù)變函數(shù)積分；教學(xué)方法；教學(xué)實(shí)踐

復(fù)變函數(shù)論作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要分支，在數(shù)學(xué)的其他分支（如微分方程、概率論）以及其他學(xué)科（如流體力學(xué)、理論物理）有著重要的應(yīng)用。復(fù)變函數(shù)論已經(jīng)成為理工科專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程。復(fù)變函數(shù)的積分是復(fù)變函數(shù)論的主要內(nèi)容之一。復(fù)變函數(shù)的積分是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具，解析函數(shù)的很多性質(zhì)都是通過復(fù)變函數(shù)的積分證明的。對(duì)于復(fù)變函數(shù)的積分的學(xué)習(xí)主要掌握兩個(gè)方面：一是對(duì)復(fù)變函數(shù)積分的定義的理解；二是如何利用不同的積分計(jì)算公式來計(jì)算積分。

一、通過類比的方法深入的理解復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程之一，在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過程中，通過和高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行類比，找出相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。不僅可以激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的熱情還可以促進(jìn)學(xué)生更好的理解復(fù)變函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。分析比較這兩門課程的內(nèi)容之間的聯(lián)系和不同，不僅可以為復(fù)變函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供參考，更重要的是，學(xué)生從比較中認(rèn)真研究了復(fù)變函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。這樣的教法思路和課堂教學(xué)方法真正達(dá)到了學(xué)生和教師的互動(dòng)，提高了課堂教學(xué)效果。在復(fù)變函數(shù)的課堂教學(xué)過程中，教師可以把與本次課堂相關(guān)的高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)作為復(fù)習(xí)內(nèi)容，然后再引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的新的知識(shí)點(diǎn)，類比相同點(diǎn)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)不同之處。例如，復(fù)變函數(shù)的極限的定義和單變量的實(shí)變函數(shù)極限的定義在形式上完全一致，這是相同點(diǎn)；而復(fù)變函數(shù)的極限要求變量沿著任意方向趨向與固定點(diǎn)的極限都存在且相同。顯然復(fù)變函數(shù)極限的要求更高，這是與高等數(shù)學(xué)中極限概念的不同點(diǎn)。在教學(xué)過程中，重點(diǎn)指出這個(gè)不同點(diǎn)。這樣做的主要目的是為了避免學(xué)生照搬高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容、理解錯(cuò)誤等情況的發(fā)生。

從復(fù)變函數(shù)積分的定義來看，和實(shí)積分一樣，都是分割、取近似值、求和、取極限的思路。復(fù)變函數(shù)的積分建立在復(fù)平面上，相當(dāng)于兩個(gè)二元的實(shí)積分，保持了實(shí)積分的大部分性質(zhì)，如線性性、絕對(duì)值不等式、連續(xù)必可積等。而黎曼積分中的牛頓-萊布尼茲公式在復(fù)變函數(shù)積分中，只是對(duì)于解析函數(shù)在單連通區(qū)域上才成立。實(shí)函數(shù)的積分中值定理不能直接推廣到復(fù)變函數(shù)的積分上來。在復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法上，解析函數(shù)的積分計(jì)算更加靈活多樣。在課堂教學(xué)的過程中，通過與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的類比，指出相同點(diǎn)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)不同之處。充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。

二、合理的使用積分公式計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)變函數(shù)的積分一般通過以下幾種方法來計(jì)算：1.積分的定義，化積分曲線為參數(shù)方程進(jìn)而計(jì)算積分；2.牛頓-萊布尼茲公式；3.公式其中n 為正整數(shù)，c為以z0為圓心，r 為半徑的圓周；4.柯西積分定理；5.復(fù)合閉路定理；6.柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式；7.留數(shù)定理。對(duì)于這些公式如何使用，具體的問題應(yīng)該選擇哪個(gè)公式來計(jì)算，這是學(xué)生經(jīng)常提出的問題。

方法1 和方法2 一般是用來求解當(dāng)積分曲線為不封閉曲線的積分。當(dāng)被積函數(shù)解析并且很容易求出原函數(shù)的時(shí)候，使用方法2 計(jì)算積分，否則使用方法1。

當(dāng)積分曲線為封閉曲線，一般使用方法3 至方法7 來計(jì)算。其中方法3 和方法4 是比較簡(jiǎn)單的情形，在計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分時(shí)，首先判斷是否滿足這兩種方法的條件，如果滿足直接套用公式即可。如果不滿足這兩種方法的條件，我們進(jìn)一步判斷被積函數(shù)在積分曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)部不解析點(diǎn)的個(gè)數(shù)。如果只有一個(gè)不解析點(diǎn)，考慮使用方法6；如果有多個(gè)不解析點(diǎn)，使用方法5 或者方法7。方法5 和方法7 有什么區(qū)別？如何判斷使用哪個(gè)方法計(jì)算積分更簡(jiǎn)單？這是在復(fù)變函數(shù)積分教學(xué)中經(jīng)常使學(xué)生感到困惑的地方。

如果被積函數(shù)具有或者可以化為形式：

其中z1，z2，zk為被積函數(shù)f(z)在積分曲線c 的內(nèi)部的不解析點(diǎn)，g(z)在曲線c 上及其內(nèi)部是解析函數(shù)。此時(shí)選擇使用方法5。例如計(jì)算積分，其中曲線c 為包含了0 和1的簡(jiǎn)單正向閉曲線。此問題由于被積函數(shù)的兩個(gè)不解析點(diǎn)：0和1 都在積分曲線c 的內(nèi)部，并且可化為形式?(1)。因此，在曲線c 的內(nèi)部分別以0 和1 為圓心做兩個(gè)互不相交也互不包含的正向圓周，然后使用方法5 計(jì)算該積分。此問題也可以利用方法7，先計(jì)算在不解析點(diǎn)處的留數(shù)，然后利用公式得到積分的值。

如果被積函數(shù)在積分曲線c 的內(nèi)部有多個(gè)不解析點(diǎn)，但是不具有(1)的形式，使用方法7 計(jì)算積分。例如計(jì)算積分，被積函數(shù)在曲線│z│=5 內(nèi)有四個(gè)不解析點(diǎn)，并且在這四個(gè)點(diǎn)處的留數(shù)都為-1，由方法7 可知，此積分的值為-8πi。因此，復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算可以選用不同的計(jì)算公式，在課堂教學(xué)過程中必須分析每個(gè)計(jì)算公式的適用范圍，以及采用不同方法計(jì)算同一個(gè)復(fù)變函數(shù)積分的優(yōu)劣。

三、利用Matlab 編程計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分

對(duì)于復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算，在理解了積分計(jì)算的理論知識(shí)之后，可以讓學(xué)生將這些抽象的概念和繁瑣的計(jì)算用Matlab 來實(shí)現(xiàn)。例如用留數(shù)定理來計(jì)算積分，此時(shí)直接調(diào)用Matlab 信號(hào)處理工具箱中的函數(shù)residue 來計(jì)算留數(shù)，進(jìn)而計(jì)算積分的值。還可以用符號(hào)運(yùn)算來編程計(jì)算。這么做不僅可以把復(fù)雜的復(fù)變函數(shù)的理論進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐，還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的積極性，從而達(dá)到了更好的教學(xué)效果。