探析磁場區(qū)域最小面積問題

浙江

帶電粒子(重力不計)在單一磁場中只受洛倫茲力時會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，磁場區(qū)域范圍與粒子的偏轉(zhuǎn)情況相關(guān)聯(lián)。磁場區(qū)域的最小面積是指既能滿足粒子偏轉(zhuǎn)要求的同時又是區(qū)域面積的極值。依據(jù)題給條件和問題情境，一般可以分成兩類如表所示。

表 磁場區(qū)域最小面積問題分類

第Ⅰ類 已知規(guī)則圖形的磁場區(qū)域最小面積

規(guī)則形狀一般以圓、矩形和正三角形等具有嚴格對稱性的圖形為磁場邊界，這些邊界在題目中已經(jīng)給定。研究的一般是某一粒子的運動情況，即使有一系列不計重力速度不同的粒子，在解決實際問題時，我們通常也以速度最大(半徑最大)的粒子為研究對象來確定粒子的軌跡。在研判粒子運動軌跡的基礎(chǔ)上，確定弧長類別，并用已知規(guī)劃圖形來擬合弧長，從而確定磁場區(qū)域，求解面積大小，其基本思路如圖1所示。需要注意的是，由于題設(shè)條件的不同，運動軌跡可能是優(yōu)弧也可能是劣弧，這在確定區(qū)域圖形時會略有區(qū)別，如圖2所示的虛線為規(guī)則區(qū)域的范圍邊界。

圖1 已知規(guī)則圖形磁場區(qū)域最小面積求解思路

甲 圓形磁場

乙 矩形磁場

丙 正三角形磁場

丁 矩形磁場

戊 正三角形磁場

由于運動軌跡為劣弧時，最大弦長就是進出磁場軌跡兩點間連線，而運動軌跡為優(yōu)弧時最大弦長則是軌跡本身的直徑，因此在具體處理時，如甲、乙、丙所示的軌跡為劣弧時，進出磁場的兩點a、b連線為圓形磁場直徑或矩形、正三角形的一條邊；軌跡為優(yōu)弧時，弦長為a、b連線在矩形、正三角形的一條邊上，而圓形磁場則為軌跡圓本身起止點連線。

【例1】如圖3所示的平行板間存在相互垂直的勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應(yīng)強度B1=0.40 T，方向垂直紙面向里，電場強度E=2.0×105N/m。緊靠平行板右側(cè)邊緣xOy坐標系的第Ⅰ象限內(nèi)，有垂直紙面的正三角形勻強磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強度B2=0.25 T。一帶電荷量q=8.0×10-19C，質(zhì)量m=8.0×10-26kg的正離子從P點射入平行板，沿中線PQ做直線運動，穿出平行板后從y軸坐標為0.2 m的Q點垂直y軸射向正三角形區(qū)域，離子最終通過x軸時的速度方向與x軸正方向夾角為60°，離子不計重力，求正三角形磁場區(qū)域的最小面積。

圖3

【解析】離子在平行板間受到一對平衡的豎直向下的電場力和豎直向上的洛倫茲力作用，沿中線勻速直線運動，可確定離子運動的速度，進入第Ⅰ象限后，在洛倫茲力作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)。

(1)確定粒子運動軌跡。因正三角形磁場的方向未知，磁場方向存在垂直紙面向外和向內(nèi)兩種情況，對應(yīng)粒子運動為順時針和逆時針。

(2)區(qū)分軌跡弧長類別。判知粒子順時針轉(zhuǎn)動為劣弧，逆時針轉(zhuǎn)動為優(yōu)弧。

(3)擬合已知規(guī)劃圖形。根據(jù)數(shù)學(xué)知識，用正三角形擬合軌跡，如圖4所示，以實線表示粒子運動軌跡，以虛線正三角形表示所求磁場區(qū)域范圍。

垂直紙面向外

垂直紙面向里

(4)數(shù)學(xué)知識處理最小面積

①磁場方向垂直紙面向外

②磁場方向垂直紙面向里

第Ⅱ類 未知待定圖形的磁場區(qū)域最小面積

一系列速度大小或方向不同的帶電粒子進入磁場區(qū)域發(fā)生偏轉(zhuǎn)，需要依據(jù)題設(shè)要求，提取粒子在單一磁場中的運動模型，結(jié)合臨界、極值和隱含等條件進行判斷，勾勒磁場區(qū)域圖形，確定最小面積。該問題解決的基本思路如圖5所示。

圖5 未知圖形磁場區(qū)域最小面積求解思路

該問題中的磁場區(qū)域邊界一般來源于圖形組合：粒子運動軌跡與滿足要求的特征點集合。由于部分邊界由特征點累積，因此射入的粒子一般會是速度不同的粒子束，分析特征點集合構(gòu)成的圖形是問題解決的關(guān)鍵。不同的運動模型特征點集合構(gòu)成的圖形不同，模型確定圖形也就相應(yīng)確定，因此構(gòu)建粒子運動模型就成了問題處理的著手點和突破點。

圖6

【例2】如圖7所示，豎直平面內(nèi)的虛線MO與水平線PQ相交于O點，二者夾角θ=30°，MO左側(cè)為無場區(qū)，右側(cè)某個區(qū)域存在磁感應(yīng)強度為B，垂直紙面向里的勻強磁場，O點處在磁場邊界上。現(xiàn)有一群質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v(0

圖7

圖8

【解析】如圖8所示建立坐標系xOy。

(1)構(gòu)建粒子運動模型：速度大小不同，方向確定的粒子由同一點射入時，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后變成平行粒子束射出，屬于磁聚焦中直線邊界匯聚模型，首先確定直線邊界方程。

由題意知，粒子在軌跡的最高點離開磁場，速度方向平行PQ向左。任一速度的粒子軌跡最高點設(shè)為N(x,y)。在直角三角形OAB中可知

(y-r)2+x2=r2①

y-r=-xtan30° ②

(3)確定磁場區(qū)域圖形：如圖8所示，磁場區(qū)域圖形由最大半徑軌跡圓弧與直線邊界構(gòu)成。

(4)數(shù)學(xué)處理最小面積：磁場區(qū)域面積為扇形NBO與等腰三角形NBO的面積之差。

【拓展】若粒子在第Ⅰ象限內(nèi)以速度v0由O點射入磁場，其它條件均不變，求磁場區(qū)域的最小面積。

【解析】(1)構(gòu)建粒子運動模型：速度大小相同，方向在某一角度范圍內(nèi)的粒子由同一點射入時，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后變成平行粒子束射出，屬于磁聚焦中圓形邊界匯聚模型，首先要確定圓形邊界方程。

設(shè)任一速度方向軌跡最高點為N(x,y)

在直角三角形OAB中，(y-r)2+x2=r2

以(0,r)為圓心，以r為半徑的一段圓弧，即為圓形磁場邊界，也為各粒子軌跡最高點的集合。

(2)甄別臨界、極值、隱含等條件：因粒子僅向第Ⅰ象限發(fā)射，故沿x、y正方向發(fā)射的粒子是磁場區(qū)域的部分邊界。

(3)確定磁場區(qū)域圖形：如圖9所示，磁場區(qū)域的邊界在第Ⅰ象限內(nèi)是沿x軸正方向射出粒子的半圓，在第Ⅱ象限內(nèi)是沿y軸正方向射入粒子的四分之一圓弧與射向第Ⅰ象限(除x、y正方向)粒子軌跡最高點的組合。

圖9

(4)數(shù)學(xué)處理最小面積

磁場的最小面積

【延伸】圓形邊界與直線邊界的磁聚焦模型與最小面積的整合問題，處理時的關(guān)鍵是識別并確定模型滿足的方程。在磁場區(qū)域確定時，要考慮到粒子的速度方向和大小的范圍，考慮到有界磁場的邊界因素，兩個磁場區(qū)域的邊界一般都是由臨界圓弧與軌跡最高點的集合組合而成。