注重應用問題，提升數(shù)學素養(yǎng)
——對五年新課程標準全國卷Ⅱ理科概率與統(tǒng)計應用題的分析與思考

甘肅

高中學習的“概率與統(tǒng)計”是大學統(tǒng)計學的基礎，有承上啟下的作用，是新課改后每年高考命題的熱點和必考題之一.在實際應用方面的考查，它成為考查學生實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神的良好素材.高考怎么考？通過分析高考真題，反饋學生學習中存在的問題，透視命題信息，以便對癥下藥，科學高效地備考.

一、高考新課程卷Ⅱ理科概率與統(tǒng)計試題的特點

1.五年全國新課程標準全國卷Ⅱ理科試題分布

年份題號題型題材立意考查內(nèi)容2015(3)選擇題柱形圖數(shù)據(jù)分析(15)填空題二項式定理二項展開式系數(shù)的性質(zhì)(18)解答題莖葉圖莖葉圖、平均數(shù)、概率2016(5)選擇題計數(shù)原理、組合分步計數(shù)原理、組合(10)選擇題幾何概型隨機模擬求幾何概型(18)解答題概率、分布列條件概率、隨機變量的分布列、期望2017(6)選擇題計數(shù)原理、組合分步計數(shù)原理、排列組合(13)填空題二項分布二項分布的方差(18)解答題列聯(lián)表用樣本估計總體2018(8)選擇題古典概型等可能事件的概率(18)解答題線性回歸分析線性回歸直線方程2019(5)選擇題統(tǒng)計中數(shù)字特征的含義用樣本估計總體的數(shù)字特征(13)填空題統(tǒng)計問題頻率分布中的加權(quán)平均值(18)解答題概率求隨機變量的概率

2.試題特點

(1)題型穩(wěn)定、題量穩(wěn)定.“整體穩(wěn)定，適度創(chuàng)新”，每年題量為“兩小一大”三道題或“一小一大”兩道題，其中兩道為概率或統(tǒng)計題.

(2)分值穩(wěn)定、難度穩(wěn)定.分值為22分或17分，難度中等或中等偏易，如2018年、2019年第18題分別考查了“線性回歸直線方程”和“隨機變量取值的概率”，從2007年開始，此類試題經(jīng)過13年發(fā)展逐步穩(wěn)定，并成為高考卷中的主流應用題.

(3)基礎性強，思想方法滲透性強.重視基本概念、基本公式與方法.注重分類與整合、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、特殊與一般和統(tǒng)計與概率的數(shù)學思想.

(4)試題背景熟悉.縱觀五年高考試題，其背景概括起來有“用戶對產(chǎn)品的滿意度、續(xù)保人購買保險、淡水養(yǎng)殖、環(huán)境基礎設施投資、乒乓球比賽結(jié)果和場次的安排等”，這樣的試題緊密結(jié)合社會實際和貼近學生生活實際，并賦予時代氣息，充分考慮不同學生群體思維的差異，提高了學生對數(shù)學價值的認識，體現(xiàn)了“數(shù)學建?！钡群诵乃仞B(yǎng)，發(fā)揮了思想教育功能，在數(shù)學教育和評價中落實立德樹人的根本任務.

二、試題解析及反思

例1.(2015·全國卷Ⅱ理·18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：

A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

(Ⅰ)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；

A地區(qū)B地區(qū)456789

(Ⅱ)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意

記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求C的概率.

評注：第(Ⅰ)問通過畫莖葉圖，從平均數(shù)和方差的本質(zhì)上考查學生對圖表數(shù)據(jù)的處理能力和對統(tǒng)計思想的理解；第(Ⅱ)問把事件C看作是兩個互斥事件的和，以B地區(qū)用戶的滿意度等級為分類標準，簡記為A>B，即一類是B地區(qū)用戶不滿意但A地區(qū)用戶滿意或非常滿意，另一類是B地區(qū)用戶滿意和A地區(qū)用戶非常滿意.也可以以A地區(qū)用戶的滿意度等級為分類標準，將事件C分為兩個互斥事件的和求概率.

問題：不會畫第(Ⅰ)問的莖葉圖或不識圖，即不會通過莖葉圖回答問題；第(Ⅱ)問以圖表形式給出條件概率，看起來一目了然，但由于平時不常見，不清楚事件之間的關(guān)系，無形中增加了難度，部分同學感覺到無從下手.另外對事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”，沒有將其分成兩個互斥事件的概率之和，不能正確地進行分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸困難，對圖表理解不透.

反思：對統(tǒng)計和概率題，先通過對數(shù)據(jù)的處理畫出莖葉圖，觀察數(shù)據(jù)平均值和波動的大小，體現(xiàn)“多想少算”，更多地強調(diào)對概念的理解、識圖，以及根據(jù)統(tǒng)計圖獲取信息和對數(shù)據(jù)處理的能力.對于求解復雜事件(互斥與獨立事件交互)的概率，一定要提高學生的思維水平與求解的路徑.

例2.(2016·全國卷Ⅱ理·18)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下：

一年內(nèi)出險次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05

(Ⅰ)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；

(Ⅱ)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；

(Ⅲ)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

評注：與2008年大綱版全國卷Ⅱ類似，以保險為題材，貼近生活實際，具有一定時代背景，主要考查學生的互斥事件概率、條件概率的求解和隨機變量分布列，考查閱讀理解能力與運用數(shù)學模型解決實際問題的能力.

問題：理解困難，等價轉(zhuǎn)換困難，審題馬虎，對關(guān)鍵詞“保費比基本保費高出60%”的理解出錯，以至無法轉(zhuǎn)換為在“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”條件下，求“一續(xù)保人在一年內(nèi)出險次數(shù)為4次或5次以上”的概率，對條件概率掌握不好.求平均保費就是求本年度保費變量X的數(shù)學期望，理解了這點，一切問題迎刃而解.

反思：對文字和圖表的閱讀，無法對應起來，致使不能列式求解計算.“問題引導學習”應當成為基本的教學原則,即通過提出恰當?shù)?、適度的啟發(fā)性問題，引導學生思考和探索，經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流和反思等理性思維基本過程，切實改進學生的學習方式，培養(yǎng)問題意識，孕育創(chuàng)新精神.

例3.(2017·全國卷Ⅱ理·18)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(Ⅰ)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率；

(Ⅱ)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

(Ⅲ)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).

附：

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

評注：以海水養(yǎng)殖水產(chǎn)為題材，考查用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，獨立性檢驗原理，涉及獨立事件概率公式、數(shù)據(jù)平均數(shù)、方差的計算和用頻率分布直方圖估計中位數(shù)，關(guān)鍵在于認真分析頻率分布直方圖.

問題：讀懂頻率分布直方圖難度不大，以頻率估計概率都能理解，但計算中粗心致錯非常遺憾；難點是利用頻率分布直方圖求中位數(shù)(中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的)；正確填寫2×2的列聯(lián)表是在獨立性檢驗中得出正確判斷的關(guān)鍵.

反思：以養(yǎng)殖水產(chǎn)為題材，貼近生活實際，所用數(shù)學知識(計數(shù)和概率)也不復雜，重點培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析能力，數(shù)學建模中識圖、讀圖和用圖是必須掌握的方法.利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題做出合理的推斷和預測.獨立性檢驗就是考查兩個分類變量是否有關(guān)系，并能較為準確地給出這種判斷的可信度，隨機變量的觀測值K2值越大，說明“兩個變量有關(guān)系”的可能性越大.利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應注意掌握求解方法和異同點，特別要掌握中位數(shù)的求法.

例4.(2018·全國卷Ⅱ理·18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖.

(Ⅰ)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；

(Ⅱ)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

評注：本題采用真實數(shù)據(jù)，增強了試題情境的真實性和可靠性，第(Ⅰ)問是已知回歸直線方程，可以直接將數(shù)值19和9代入求得待定要求下的預測值；充分考查學生的圖形識別能力，數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學知識在生活中的應用.

問題：計算時粗心致錯；第(Ⅱ)問看圖分析和總結(jié)，有些同學選模型①還是模型②莫衷一是，最后就隨便選了一個或者做的時候感覺時間越長越穩(wěn)定，就選擇了模型①.其實根據(jù)折線圖知從2000年到2009年與從2010年到2016年是兩個有明顯區(qū)別的直線，且從2010年到2016年的增幅明顯高于從2000年到2009年的增幅，因此用模型②得到2018年的預測值更加可靠.

反思：本題是以環(huán)境基礎設施投資額為背景的一道開放性題目，采用真實數(shù)據(jù)，設計的問題將所學數(shù)學知識與經(jīng)濟社會發(fā)展相結(jié)合，具有很強的現(xiàn)實意義，難度不大，但對學生的語言表述和邏輯說理能力要求較高，不容易得滿分.學生普遍反映看似簡單做起來又覺得難，看答案覺得不太難，但又做不上.所以平時要多練文字敘述量較大，內(nèi)容也比較豐富的材料閱讀應用題，如何建立數(shù)學模型以及如何利用選擇的數(shù)學模型解決實際問題，要在“熟化”上多下功夫.做題的時候要細心，不能馬虎大意輕視題目.

例5.(2019·全國卷Ⅱ理·18)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.

(Ⅰ)求P(X=2)；

(Ⅱ)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

評注：以乒乓球比賽結(jié)果和場次的安排提出問題，要求考生應用概率的有關(guān)知識和數(shù)學方法分析解決體育問題.讀懂題目，理解實際問題中蘊含的數(shù)學意義是解題的關(guān)鍵.試題難度不大，但要求考生準確規(guī)范表達是十分重要的.

問題：概括起來有三點：(1)對“X=2,X=4”所對應的事件理解不全面、不到位；(2)對換發(fā)球時甲贏的概率混淆不清；(3)第(Ⅱ)問沒有明確“X=4且甲獲勝”是相互獨立事件，X=4又為彼此互斥事件.

反思：明確對離散型變量取值時，把變量數(shù)字特征“X=2,X=4”轉(zhuǎn)化為具體、明白的基本事件的概率很關(guān)鍵，但教學中幫助學生理解變量對應的事件是什么和由哪些基本事件構(gòu)成，不能把事件過程一帶而過.

三、學習困惑及原因分析

1.對概念理解不到位，一知半解

對概率與統(tǒng)計概念理解不清、領(lǐng)悟不深.在列舉基本事件時，出現(xiàn)重復或遺漏；混淆“有序”與“無序”的區(qū)別；不注意“有放回”與“無放回”的區(qū)別.在求離散型隨機變量的分布列時，一是寫錯變量ξ可能的取值，或?qū)嶒灥慕Y(jié)果遺漏(重復)而導致概率求錯，所以得分率較低；二是不能把變量的取值轉(zhuǎn)化為某事件發(fā)生的概率，自己弄不明白變量取某一值時對應的事件是什么，沒有找到概率模型，抽象思維差；三是看不明白統(tǒng)計圖表，解讀不透徹，不會借助頻率分布直方圖估算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，不善于從圖表信息中提煉數(shù)據(jù)關(guān)系，導致在數(shù)字特征的含義與求解、有序與無序的界定等問題方面出錯.統(tǒng)計案例是高考命題一大亮點，學生不會閱讀、心態(tài)浮躁是目前數(shù)學教學中普遍存在的一個突出問題.

2.計算錯誤比較普遍

在求解過程中運用公式和方法都正確，但出現(xiàn)非智力因素的計算錯誤很普遍，如線性回歸方程中系數(shù)的求解，獨立性檢驗統(tǒng)計量K2的計算等.另外求分布列時將概率不約為簡分數(shù)、馬虎、筆誤和答非所問等現(xiàn)象很嚴重.

3.規(guī)范性欠佳，文字表達差

在對實際問題進行數(shù)學抽象、用數(shù)學語言表達問題時存在格式不規(guī)范和文字表達不流暢的問題.對于概率問題，語言的嚴謹性不夠，閱讀能力欠缺，使得解題過程不嚴密、不完整，如求概率時，缺少對事件必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件，只有干巴巴的數(shù)字符號和列式，文字表達捉襟見肘，這樣會出現(xiàn)常規(guī)失分.

4.理性思維不夠

對概率與頻率的關(guān)系及對等可能事件的理解不到位，概率與統(tǒng)計的教學目的是使學生體會概率與統(tǒng)計的基本思想.處理數(shù)據(jù)、制訂方案，培養(yǎng)學生基于數(shù)據(jù)表達顯示問題的意識，形成通過數(shù)據(jù)認識事物的思想品質(zhì).

四、命題趨勢探討

今后高考命題仍然會圍繞古典概型與幾何概型、概率與統(tǒng)計題的綜合應用、概率與統(tǒng)計案例的綜合應用三個方面進行考查，以真實情境和考生所熟悉、貼近的生活為背景，在考查閱讀理解能力、語言表達能力、概括能力與運用數(shù)學模型解決實際問題的能力的同時，強調(diào)實踐能力立意，突出文化底蘊與學科素養(yǎng)導向，將基礎性和創(chuàng)新性作為重點要求，理性思維作為重點目標，延續(xù)“穩(wěn)中求變，變中創(chuàng)新”的風格，落實“五育”方針，體現(xiàn)數(shù)學原理和方法在解決問題中的價值和作用.

五、概率與統(tǒng)計教學實施的策略及備考建議

1.回歸教材，一題多變

教材是學習數(shù)學基礎知識和形成基本技能的“藍本”，是高考試題的重要知識載體.高考試題的特點是“源于課本，寓于現(xiàn)實”.復習階段必須按《考試說明》的要求，以教材的例題和習題為素材，深入淺出，舉一反三，對知識加以類比、延伸和拓展，在領(lǐng)悟教材知識與高考試題的內(nèi)在聯(lián)系及對典型例題的變式上狠下工夫，力求對教材內(nèi)容融會貫通，只有這樣，才能“以不變應萬變”，達到事半功倍的效果.

2.重視閱讀，捕捉信息

概率與統(tǒng)計結(jié)合題，無論是直接描述，還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖和圖表等信息進行描述，都需要靜下心來耐心閱讀，將條件言簡意賅地呈現(xiàn)出來，并從中提煉出需要的信息，找出關(guān)鍵信息，將其用數(shù)學語言表達出來.引導學生閱讀教材，要求學生在“初讀”中整體感知知識內(nèi)容，了解考向目標；在“細讀”中分清主次，去粗存精；在“精讀”中找出關(guān)鍵信息，重點突破；在“熟讀”中建立模型，找到求解方法.

3.重視數(shù)學思想方法的滲透

概率統(tǒng)計中的數(shù)形結(jié)合思想常使統(tǒng)計問題直觀化、形象化，尤其對文科考生，由于降低對概率計算的要求，常需要用列表或畫圖的形式列舉基本事件的個數(shù)，從而進行概率計算；分類討論思想常用于數(shù)據(jù)采集、分類計數(shù)及概率計算；化歸與轉(zhuǎn)化思想常使復雜的概率事件變得簡單，易于計算，起到化繁為簡的作用.因此，在解答概率與統(tǒng)計問題時，分清關(guān)系，列出式子，用數(shù)學語言準確作答是解答概率問題的有效手段.

4.重視對高考主觀題的研究

從近五年概率與統(tǒng)計解答題來看，都有較強的實際背景，以能力立意，對閱讀理解、推理分析和數(shù)據(jù)運算的能力要求都比較高，對數(shù)據(jù)中隱含信息和特征的圖表的考查是重點，其特點是綜合性強，思維量大，設問不落俗套.因此，在高三復習中，應廣泛聯(lián)系社會生活中的實際問題，加強統(tǒng)計圖表的識別、繪制和應用的訓練，提高靈活運用圖表信息做出統(tǒng)計推斷和決策的能力.

5.加強思維訓練，提高語言表達的準確性

學生在解答概率與統(tǒng)計問題時，不能準確地使用文字語言表達解題的過程，但是適當?shù)奈淖直硎鲇质潜匾?，這是學習概率與統(tǒng)計的一個難點.因此，在復習該部分內(nèi)容時，應重視概率與統(tǒng)計的“特定”語言的思維訓練，提高運用數(shù)學語言準確、清晰和流暢表達的水平.

6.重視案例教學過程，培養(yǎng)思維能力

通過案例注重統(tǒng)計的過程，讓學生經(jīng)歷“收集數(shù)據(jù)——整理數(shù)據(jù)——分析數(shù)據(jù)——做出推斷”的數(shù)據(jù)處理過程，不斷加深對概率與統(tǒng)計的理解，培養(yǎng)學生數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).《普通高中數(shù)學課程標準》(2017年版)中明確提出：“強調(diào)數(shù)學與生活以及其他學科的聯(lián)系，提升學生應用數(shù)學解決實際問題的能力,同時注重數(shù)學文化的滲透.”因此，在案例教學中，要讓學生多實踐、多動手操作、多分析和多思考，從中發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，親身體驗案例情景，以激發(fā)興趣，并深刻體會數(shù)學來源于生活又服務于生活.