例談高中數(shù)學(xué)解題技術(shù)

浙江

對(duì)于高考數(shù)學(xué)問題的求解，雖然考生已經(jīng)掌握一些數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，但面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)，仍需要數(shù)學(xué)解題技術(shù)的幫助才能解決.經(jīng)常有一些學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中會(huì)遇到思維痛點(diǎn)，不是不知道知識(shí)本身，也不是不知道具體方法，只是鏈接知識(shí)與方法的數(shù)學(xué)技術(shù)沒有掌握，導(dǎo)致思維受阻.因此，高考數(shù)學(xué)應(yīng)試除了要具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，必備的審題能力與運(yùn)算能力，還需要有把它們鏈接在一起的“數(shù)學(xué)解題技術(shù)”.

一、什么是高考數(shù)學(xué)解題技術(shù)

1.什么是技術(shù)？

技術(shù)是人類為了滿足自身的需求和愿望，按照自然規(guī)律，在長(zhǎng)期利用和改造自然的過程中，積累起來的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、技巧和手段，是人類利用自然改造自然的方法、技能和手段的總和.

2.什么是數(shù)學(xué)技術(shù)？

數(shù)學(xué)的思想和方法與高度發(fā)展的計(jì)算技術(shù)的結(jié)合已經(jīng)形成了技術(shù)，而且是一種關(guān)鍵性的、可實(shí)現(xiàn)的技術(shù)，稱為“數(shù)學(xué)技術(shù)”.在這種技術(shù)中起核心作用的是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵物化為計(jì)算機(jī)的軟件，成為技術(shù)的一個(gè)重要組成部分，從而可以直接地轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力.現(xiàn)在，“高科技本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”的說法已為愈來愈多的人們所認(rèn)同.

3.什么是高考數(shù)學(xué)解題技術(shù)？

高考數(shù)學(xué)解題技術(shù)是在數(shù)學(xué)解題過程中尋找解題方法的一種經(jīng)驗(yàn)與智慧，它不僅要有解題方法作為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)知識(shí)作為鋪墊，而且在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時(shí)，更需要具備符合數(shù)學(xué)邏輯的智慧來找到數(shù)學(xué)解題方法.高考數(shù)學(xué)解題技術(shù)把復(fù)雜的解題過程分解成一些簡(jiǎn)單的基本過程，然后經(jīng)過聯(lián)想、變換、分析、發(fā)現(xiàn)、安排和表達(dá)等一系列十分重要的基本思維過程，所以數(shù)學(xué)解題技術(shù)也是數(shù)學(xué)思維技術(shù).

4.高考數(shù)學(xué)解題技術(shù)與技巧的關(guān)系

技巧是數(shù)學(xué)解題技術(shù)的一部分，技術(shù)就像一個(gè)智慧的系統(tǒng)；技巧只是一個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)分支或一些點(diǎn)，而技術(shù)更像是一個(gè)系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)與鏈接，更加關(guān)注知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.用集合論的觀點(diǎn)看，技巧集是技術(shù)集的子集.

二、高考數(shù)學(xué)應(yīng)試有哪些解題技術(shù)

高考數(shù)學(xué)應(yīng)試有許多數(shù)學(xué)解題技術(shù)，這里介紹其中最常用的一些，通過試題的解析與解讀來解釋，由于涉及數(shù)學(xué)思維的分解與分析，有些只能從表達(dá)形式上解釋.隨著腦科學(xué)的深入研究，會(huì)更加清楚地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)解題技術(shù)的真面目.

1.“1”代換技術(shù)

________.

解析：由于給定的目標(biāo)是一個(gè)二次齊次式，

于是有2sin2x-3sinxcosx+5cos2x

解析：設(shè)A(am，bm)，B(an，-bn)，

此函數(shù)當(dāng)x∈(1,2)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)單調(diào)遞減，因此所求取值范圍是(7，9].

解讀：這是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的問題，在關(guān)鍵性一步(*)利用了“1”代換技術(shù)，使問題順利求解.

“1”代換技術(shù)，就是“無中生有”出“1”，然后利用公式或給定的信息進(jìn)行變形或運(yùn)算的技術(shù)，“1”代換技術(shù)在三角函數(shù)變換和代數(shù)式變形中起到十分重要的作用，“1”代換技術(shù)體現(xiàn)著一種優(yōu)化意識(shí)，簡(jiǎn)潔意識(shí)，它是一種黏合劑.

2.函數(shù)構(gòu)造技術(shù)

解析：設(shè)任意x1,x2∈(0,+∞)，x1

由已知條件，F(xiàn)(x1)—F(x2)=x1f(x1)—x2f(x2)>0，所以F(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，

解讀：當(dāng)挖掘出信息“sinxf′(x)-cosxf(x)”時(shí)，從導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則角度去構(gòu)造函數(shù)是一個(gè)智慧點(diǎn)，也是解決問題的關(guān)鍵.對(duì)函數(shù)f(x)、f′(x)以及F(x)的性質(zhì)的研究是基本功，一是單調(diào)性研究，二是奇偶性判斷.根據(jù)對(duì)F(x)性質(zhì)的研究，畫出F(x)的草圖，再利用“f(x)=F(x)sinx”求不等式f(x)<0的解集.

構(gòu)造函數(shù)要充分通過給定信息的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)，與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)或與另一函數(shù)相配對(duì)，或構(gòu)造新的函數(shù)幫助尋找求解思路.函數(shù)構(gòu)造技術(shù)在高等數(shù)學(xué)中也起著非常重要的作用.

3.圖形構(gòu)造技術(shù)

解析：挖掘代數(shù)結(jié)構(gòu)中幾何意義，由余弦定理可得

x2+xy+y2=x2+y2-2xycos120°=12

z2+zx+x2=z2+x2-2xzcos120°=22

在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,

由原題條件可知，PA=x，PB=y，PC=z是原方程的一組解，

將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△A1P1C，所以△PP1C為正三角形，所以A1,P1,P,B共線，則x+y+z=PA+PB+PC=A1B，由∠A1CB=∠P1CA1+60°+∠BCP=∠PCA+60°+∠BCP=60°+30°=90°，△A1BC為直角三角形，

解讀：此解法就是根據(jù)給定方程組的代數(shù)結(jié)構(gòu)“x2+xy+y2=1”發(fā)現(xiàn)“幾何關(guān)系”，通過構(gòu)造幾何圖形來實(shí)現(xiàn)突破.

圖形構(gòu)造技術(shù)：能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中，借助圖形的性質(zhì)和變換(平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn))發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；能夠描述簡(jiǎn)單圖形的位置關(guān)系、度量關(guān)系及其特有性質(zhì)，方程組變量間的結(jié)構(gòu)與余弦定理的結(jié)構(gòu)間的聯(lián)系是條件挖掘的著力點(diǎn)；能夠通過圖形直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題，能夠用圖形描述和表達(dá)熟悉的數(shù)學(xué)問題，啟迪解決這些問題的思路，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的方法.

4.綜合分解技術(shù)

例4.(2018·浙江卷·8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

解讀：?jiǎn)栴}核心是理解線線角、線面角、面面角的概念與特點(diǎn).分析從哪個(gè)角入手研究，如何將綜合問題分解比較，是很重要的.

思維鏈分解1：認(rèn)識(shí)四棱錐——正四棱錐，所以頂點(diǎn)S在底面ABCD上的射影是底面正方形的中心；

思維鏈分解2：∠SEO就是直線SE與平面ABCD所成的角θ2，BE是平面ABCD內(nèi)的一條直線，由線面角的最小角特征，得θ2≤θ1；

思維鏈分解4：過O作AB的平行線，分別交BC，AD于點(diǎn)P，Q，過E作AB的垂線，交PQ于點(diǎn)H，則∠SHE為直角；

思維鏈分解5：根據(jù)異面直線所成角定義，θ1=∠SEH，則

又SO≤SH，EN=OM，所以tanθ3≤tanθ1，因此θ3≤θ1，選擇D.

綜合分解技術(shù)就是高考數(shù)學(xué)解題時(shí)，將題設(shè)信息按照一定的順序逐步分解到一個(gè)個(gè)基本的單一的概念或方法上.是認(rèn)清問題的本質(zhì)，化綜合為簡(jiǎn)單，化復(fù)雜為單一的思維過程.

三、如何掌握高考數(shù)學(xué)解題技術(shù)

1.關(guān)注知識(shí)鏈接

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不僅要了解數(shù)學(xué)知識(shí)本身的內(nèi)涵與外延，而且還要關(guān)注知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)系與鏈接方式，因?yàn)閿?shù)學(xué)解題技術(shù)的核心要點(diǎn)就是鏈接，在學(xué)習(xí)中積累鏈接的智慧點(diǎn)是聰明之舉，教學(xué)中教師也要引導(dǎo)或指明學(xué)生關(guān)注鏈接的要義，使學(xué)生掌握.

2.實(shí)踐數(shù)學(xué)技術(shù)

任何一門技術(shù)都需要多次的實(shí)踐才能掌握，所以在介紹數(shù)學(xué)解題技術(shù)的要點(diǎn)后，最重要的是體驗(yàn).編制變式題組，讓學(xué)生實(shí)踐，并糾正錯(cuò)誤，直到熟練掌握.

3.強(qiáng)化技術(shù)意識(shí)

數(shù)學(xué)解題技術(shù)的應(yīng)用有一個(gè)前提，就是面對(duì)復(fù)雜信息時(shí)，運(yùn)用技術(shù)的意識(shí)要強(qiáng)，善于分析技術(shù)的前置條件，明確數(shù)學(xué)解題技術(shù)的操作程序.