全國(guó)名校不等式測(cè)試題（A 卷）

河南省鄭州七中 陳紅周

編者的話：強(qiáng)化對(duì)核心考點(diǎn)的演練、注重對(duì)經(jīng)典題型的歸納，是學(xué)好數(shù)學(xué)的秘訣，基于此，本刊編輯部特開設(shè)此欄目，希望同學(xué)們能認(rèn)真練習(xí)。

一、選擇題

20.某加工廠采購(gòu)的原料的用途包括：由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品。甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10 小時(shí)，可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元。乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)，可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元。甲、乙兩車間每天至多完成70箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過(guò)480小時(shí)，甲、乙兩車間每天獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為( )。

A.甲車間加工原料10 箱，乙車間加工原料60箱

B.甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱

C.甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱

D.甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱

22.規(guī)定符號(hào)“☉”表示一種運(yùn)算，定義：(a，b均為正實(shí)數(shù))。若1☉k＜3，則k的取值范圍為( )。

A.1＜k＜4 B.0＜k＜1

C.-1＜k＜0 D.0＜k＜2

23.若a，b，c為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是( )。

A.若a＞b，則ac2＞bc2

B.若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2

C.若a＜b＜0，則

D.若a＜b＜0，則

24.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為( )。

A.-5 B.1 C.2 D.3

26.若關(guān)于x的不等式x2+ax-2＞0在區(qū)間[1，5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

27.一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集為，則ab的值為( )。

A.-6 B.6 C.-5 D.5

28.設(shè)m，n∈R，給出下列結(jié)論：①m＜n＜0?m2＜n2；②ma2＜na2?m＜n；③其中正確的結(jié)論有( )。

A.①④ B.②④

C.②③ D.③④

29.若M=x2+y2+1，N=2(x+y-1)，則M與N的大小關(guān)系為( )。

A.M＞NB.M＜N

C.M=ND.不能確定

30.若集合A={x|ax2-ax+1＜0}=?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

A.0＜a＜4 B.0≤a＜4

C.0＜a≤4 D.0≤a≤4

34.已知二次函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z)，且函數(shù)f(x)在(-2，-1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則不等式f(x)＞1 的解集為( )。

A.(-∞，-1)∪(0，+∞)

B.(-∞，0)∪(1，+∞)

C.(-1，0)

D.(0，1)

35.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組若x，y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是( )。

A.14 B.16 C.17 D.19

36.小王從甲地到乙地的時(shí)速為a，從乙地到甲地的時(shí)速為b，且a＜b，其全程的平均時(shí)速為v，則( )。

37.實(shí)數(shù)α，β是方程x2-2mx+m+6=0的兩根，則(α-1)2+(β-1)2的最小值為( )。

38.設(shè)a＞0，b＞1，若a+b=2，則的最小值為( )。

39.設(shè)x，y滿足約束條件且z=x+ay的最小值為7，則a的值為( )。

A.-5 B.3

C.-5或3 D.5或-3

二、填空題

40.已知集合A={x|x2-16＜0}，B={x|x2-4x+3＞0}，則A∩B=____。

41.某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6 萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元。要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是____。

42.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足的最大值是_____。

43.已知直線過(guò)點(diǎn)(1，2)，則2a+b的最小值為____。

45.若x，y滿足約束條件則z=x+3y的最小值是____，最大值是_____。

46.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，有下列命題：①若a＞b，則ac＜bc；②若ac2＞bc2，則a＞b；③若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，則⑤若，則a＞0，b＜0。

其中是真命題的是_____(寫出所有真命題的序號(hào))。

47.若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是_____。

48.若正數(shù)a，b滿足ab≥a+b+3。則a+b的取值范圍是____。

49.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4＜0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

50.若不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈(0，1]恒成立，則a的最小值為____。

51.若x，y滿足不等式則的取值范圍是_____。

52.已知x∈R+，不等式，x+，…，可推廣為，則a的值為_____。

53.不等式的解集為____。

54.設(shè)a+b=2，b＞0，則的最小值為_____。

55.若關(guān)于x的不等式(2x-1)2＜ax2的解集中整數(shù)恰好有3 個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

56.已知a，b∈R，且a-3b+6=0，則的最小值為____。

57.已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是_____。

58.若關(guān)于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____。

59.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足：若A(2，0)，則的最大值是_____。

三、解答題

60.記函數(shù)的定義域?yàn)锳，g(x)=lg［(x-a-1)(2a-x)］(a＜1)的定義域?yàn)锽。

(1)求A；

(2)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

圖1

61.如圖1 所示，某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m 寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m 寬的空地。求當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積是多少。

62.解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1＜0。

63.已知函數(shù)f(x)=ax2+a2x+2ba3，當(dāng)x∈(-∞，-2)∪(6，+∞)時(shí)，f(x)＜0；當(dāng)x∈(-2，6)時(shí)，f(x)＞0。

(1)求a，b的值；

64.某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產(chǎn)品P、Q，該廠的生產(chǎn)能力是月產(chǎn)P產(chǎn)品最多2 500件，月產(chǎn)Q產(chǎn)品最多1 200件；而且組裝一件P產(chǎn)品要4個(gè)A、2個(gè)B，組裝一件Q產(chǎn)品要6個(gè)A、8個(gè)B；該廠在某個(gè)月能用的A零件最多14 000 個(gè)，B零件最多12 000個(gè)。已知P產(chǎn)品每件利潤(rùn)1 000 元，Q產(chǎn)品每件2 000 元，欲使月利潤(rùn)最大，需要組裝P、Q產(chǎn)品各多少件?最大利潤(rùn)多少萬(wàn)元?

65.圍建一個(gè)面積為360 m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 m 的進(jìn)出口。已知舊墻的維修費(fèi)用為45 元/m，新墻的造價(jià)為180元/m。設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x(單位：m)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位：元)。

(1)將y表示為x的函數(shù)；

(2)試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最少，并求出最少總費(fèi)用。

66.設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，a=

(1)試比較a，c的大??；

(2)若p=1，試證明：以a，b，c為三邊長(zhǎng)一定能構(gòu)成三角形；

(3)若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，不等式a+b＞c恒成立，試求p的取值范圍。

67.函數(shù)f(x)=x2+ax+3，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍。

68.如圖2，公園有一塊邊長(zhǎng)為2 的等邊三角形ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上。

圖2

(1)設(shè)AD=x(x≥0)，ED=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

(2)如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，則DE的最小值應(yīng)為多少?如果DE是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，則DE的最大值應(yīng)為多少?

69.設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，已知a+b+c=0，且f(0)＞0，f(1)＞0。

求證：(1)方程f(x)=0有實(shí)根。

(2)a＞0，且

(3)方程f(x)=0 在(0，1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。