預給極點的二元向量連分式插值

孫思夢 趙前進

（安徽理工大學數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院 安徽淮南 232001）

在工程實踐和自然科學等研究領域中，我們經(jīng)常會遇見有極點的奇異函數(shù)和大量的無規(guī)則的數(shù)據(jù)的計算問題。連分式有理插值無疑是為這些問題的近似解提供了有效的解決途徑之一。前人在研究這方面做了巨大貢獻[1-13]。文獻[5]給出了二元對角向量有理插值，在主對角線和副對角線上進行二元向量值有理插值，分別給出了兩種計算方法：一是直接計算二元對角向量值有理插值，二是通過Samelson逆計算的一種特殊的初等運算，構造出一種矩陣算法。文獻[6]是給出的二元向量有理插值在矩形網(wǎng)格上充要條件的問題。即根據(jù)給定的數(shù)據(jù)解方程組，直接檢驗出相關插值的存在性，從而構造出對應的二元向量值有理插值的表達式，利用二元分支向量值連分式和二元向量值有理插值函數(shù)的Samelson逆，得出的表達式與傳統(tǒng)的二元分支向量值連分式相比更直接。

一、向量的廣義逆

設R2中的點集為Πm，n對應的d維向量集為

=(V*為V的共軛向量)

||為向量的模

則可驗證出向量V→的Samelson逆向量所具有的性質：

二、二元非張量積型連分式插值

二元有理插值是一元有理插值問題的擴展，同時它比一元有理插值的情形繁瑣的多。而且二元多項式P(x，y)=pijxiyj的次數(shù)，可有兩個不同的定義，一個是另一個是分別關于x和y定義次數(shù)。這樣多項式的集合分別是Pk和Pm，n。在討論插值問題時應該明白是在什么情況下的插值。

設f(x，y)為定義在平面有界區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，{x0，x1，…}和{y0，y1…}為實數(shù)或復數(shù)點列，求二元有理分式函數(shù)其中N(x，y)∈Pn，M(x，y)∈Pm，使之滿足插值條件0，1，…n1；j=0，1…n2)。

插值系數(shù)滿足ci=φ0，…i=φ[x0，…，xi；y0，…，yi]，i=0，1…，n

其中系數(shù)算法如下：

三、預給極點的二元向量連分式插值

設向量(x0，y0)，(x1，y1)，…，(xn，yn)是在區(qū)間[a，b]上的n+1個不同的插值節(jié)點，v(i)=v(xi，yi)，i=0，1，…，n是被插值向量函數(shù)v(x，y)在這些節(jié)點處對應的向量值。

Ω=是向量值函數(shù)v(x，y)的預給極點，v(x，y)預給的p(p=個極點用(aj，bj)(j=1，2，…，s)表示，重數(shù)記作kj(j=1，2，…，s)。根據(jù)Berrut提出的處理預給極點的重心有理插值方法[13]，如下：

進而得到預給極點的二元向量有理插值

四、數(shù)值例子

對應函數(shù)值分別為：

顯然重數(shù)d(x，y)=(x-1)2+(y-1)2，則=d(xi，yi)f(xi，yi)，i=0，1，2，3

基于向量的Samelson逆，根據(jù)上文中的二元非張量積型連分式系數(shù)的算法算出系數(shù)：

得到二元非張量積型連分式插值函數(shù)為：

從而

利用文獻[3]中陳歡歡提供的二元對角向量值有理插值計算方法，選取五個插值節(jié)點(x0，y0)=(0，0)，(x1，y1)=(0.5，0.5)，(x2，y2)=(0.75，1.25)，(x3，y3)=(1.25，0.75)，(x4，y4)=(1，1)其中f(x)在(1，1)處的向量值是無窮大。基于Samelson逆計算出滿足插值條件的二元向量有理插值函數(shù)

兩種插值方法分別在點(0.75，0.95)和 (0.85，0.95)處進行誤差比較如表1所示。

表1 兩種插值方法的誤差對比

由表1中的誤差分析比較結果來看，本文中所給出的非張量積型插值函數(shù)方法構造出的插值顯然在極點(x，y)=(1，1)然附近相對誤差較小，而且極點的重數(shù)保持不變，說明了本文所給出方法的可行性。

五、結語

本文研究的是預給極點的二元連分式插值，方法是通過預給極點的位置和重數(shù)，將預給極點的向量值插值轉化為無預給極點的向量值插值，然后基于Samelson逆分別構造出一個二元向量非張量積型插值函數(shù)和一個二元對角向量值有理插值，不僅有預給的極點，而且極點保持了原有的重數(shù)，并且通過數(shù)值例子，比較兩類插值算法的相對誤差，二元非張量積型插值函數(shù)的相對誤差更小，說明了其算法的有效性。