基于梯形極點約束執(zhí)行器的容忍區(qū)間

魏一丹，王福忠，姚 波，何 新

（1.沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，遼寧 沈陽 110034；2.沈陽工程學院 基礎教學部，遼寧 沈陽 110136）

在線性系統(tǒng)可靠控制理論中，能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定并使極點配置在目標區(qū)域內是控制理論的研究內容之一，但是將極點配置做到精確卻較難實現(xiàn)。文獻［1］介紹了線性系統(tǒng)區(qū)域穩(wěn)定可靠控制的設計方法；文獻［2］和文獻［3］分別給出了條形區(qū)域、圓盤區(qū)域不確定項容忍區(qū)間的分析；文獻［4］介紹了部分扇形區(qū)域極點配置的可靠控制；文獻［5］設計了梯形區(qū)域極點配置靜態(tài)輸出反饋可靠控制器，并以此為基礎，給出了線性系統(tǒng)區(qū)域極點配置的充分條件；文獻［6-7］給出了線性系統(tǒng)區(qū)域極點配置的理論依據(jù)；文獻［8-9］在考慮傳感器故障和執(zhí)行器故障的前提下將極點配置在指定區(qū)域內，但是在實際控制設計系統(tǒng)中，可靠反饋控制器能量消耗較大，性能指標有所下降，因此考慮系統(tǒng)冗余度的問題進入了人們的研究領域；文獻［12］給出了基于極點配置容忍區(qū)間的概念；文獻［13-14］提出了系統(tǒng)硬件冗余度的算法，在以線性系統(tǒng)為前提的條件下，經(jīng)研究可以給出一個滿足區(qū)域穩(wěn)定的可靠控制器。綜上所述，對于區(qū)域極點約束下容忍區(qū)間的分析具有一定的研究意義。

本文在線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋梯形區(qū)域極點配置問題的基礎上，設計執(zhí)行器第i條通道信號增益偏差，提出線性系統(tǒng)執(zhí)行器容忍區(qū)間的概念，通過某條信號通道對系統(tǒng)極點配置的影響，得到容忍區(qū)間的算法。

1 問題描述

考慮線性系統(tǒng)：

對于線性系統(tǒng)（1），設計狀態(tài)反饋控制器：

當系統(tǒng)執(zhí)行器第i條通道出現(xiàn)信號偏差時，即執(zhí)行器的單一通道增益偏差模型為

此時，閉環(huán)系統(tǒng)為

考慮增益偏差模型，線性系統(tǒng)（1）的閉環(huán)系統(tǒng)為

圖1 垂直條形區(qū)域D(h1,h2)

引理 1.1［10］：矩陣A的所有特征值，均配置在由h1、h2組成的垂直條形區(qū)域D(h1,h2)（如圖1所示)內的充要條件是：存在正定對稱的矩陣X，使得下式成立。

圖2 扇形區(qū)域D2θ

引理1.2［10］：矩陣A的所有特征值，均配置在夾角為2θ的扇形區(qū)域D2θ（如圖2所示）內的充要條件是：存在正定對稱的矩陣X，使得下式成立。

圖3 梯形區(qū)域D

引理 1.3［11］：存在增益矩陣K，使得執(zhí)行器的極點配置到D(h1,h2)、D2θ的公共區(qū)域D（如圖3所示）內的充要條件是：存在正定對稱矩陣X和矩陣P，使得下列線性矩陣不等式組(LMIs)成立：

2 主要結果

定理1：對于閉環(huán)系統(tǒng)（5），在D(h1,h2)、D2θ相交的梯形區(qū)域D中，執(zhí)行器第i條增益偏差容忍區(qū)間為的充要條件是fi1、fi2為式（10）的解。

證明：考慮線性系統(tǒng)（1）執(zhí)行器第i條通道信號增益偏差，利用引理1.3［11］解得執(zhí)行器狀態(tài)反饋控制器K，設計閉環(huán)系統(tǒng)矩陣Ac()fi=A+BMiK，其特征值為

若所有極點到x左半軸的最大距離ljmax＜|xij| tanθ，并且極點到左右邊界的最大距離limax＜|t-hτ|，lijmax=max | lij|，j=1,2…,n，那么系統(tǒng)所有極點在執(zhí)行器第i條通道信號偏差時仍處于梯形區(qū)域內；當ljmax＞ | xij| tanθ或limax＞ | t-hτ|時，系統(tǒng)在執(zhí)行器第i條通道出現(xiàn)信號偏差時，部分（或全部）極點已跳出梯形區(qū)域；當 ljmax= | xij| tanθ，limax= | t-hτ|時，則為邊界狀態(tài)，即部分（或全部）極點在梯形邊界上。

3 數(shù)值仿真

考慮如下系統(tǒng)：

設定系統(tǒng)的第2條通道信號增益容忍區(qū)間為( )0.4,1.3。由定義可知，系統(tǒng)極點配置在h1=-6，h2=-2，圓心角為π3的梯形區(qū)域內的狀態(tài)反饋矩

陣如下：

可將此閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到D(h1,h2)、D2θ的梯形區(qū)域D中。圖4描述的是執(zhí)行器在第2條通道信號增益偏差的容忍區(qū)間內，閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在梯形區(qū)域內。

圖4 第2條通道信號增益偏差容忍區(qū)間

現(xiàn)在考慮對系統(tǒng)添加第2條通道容忍區(qū)間對梯形極點分布的影響如圖5和圖6所示。圖5描述的是條形區(qū)域最優(yōu)的容忍區(qū)間，圖6描述的是扇形區(qū)域容忍區(qū)間。

圖4所表示的系統(tǒng)第2條通道容忍區(qū)間的最優(yōu)解就是取圖5條形區(qū)域與圖6扇形區(qū)域的交集。

圖5 極點到邊界的距離

圖6 極點到邊界的距離

圖7 容忍區(qū)間對系統(tǒng)極點配置的影響

如圖7所示，F(xiàn)∈( )0.4,1.3時，極點落在邊界上。當?shù)?條通道信號增益偏差容忍區(qū)間超出F∈( )0.4,1.3時，執(zhí)行器閉環(huán)系統(tǒng)極點跳出梯形區(qū)域。

通過上述數(shù)據(jù)分析可知，通過極點到邊界的距離可以分析系統(tǒng)容忍區(qū)間。

4 結論

本文主要研究了在線性系統(tǒng)中，滿足梯形極點配置下，執(zhí)行器單一通道增益偏差的容忍區(qū)間。在控制系統(tǒng)設計中，有許多硬件因素是不可避免的，設計者如果可以掌握系統(tǒng)冗余度，則在設計過程中就可以減少能量浪費并且保證較高的系統(tǒng)安全性能。通過梯形極點配置與信號增益偏差相結合，觀察極點分布情況，考慮了系統(tǒng)在某一通道信號增益偏差容忍區(qū)間的大小對系統(tǒng)性能的影響程度，并通過數(shù)值仿真以及極點配置圖像證明了其可行性。