修正EWMA 控制圖在MAP 中的應(yīng)用

丁宸宇，岳瑞華，李遠(yuǎn)冬

（火箭軍工程大學(xué)，西安 710025）

0 引言

導(dǎo)彈測(cè)發(fā)控系統(tǒng)在導(dǎo)彈地面設(shè)備中的重要地位體現(xiàn)在導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、生產(chǎn)、實(shí)驗(yàn)和實(shí)戰(zhàn)的整個(gè)過(guò)程中。測(cè)發(fā)控設(shè)備的技術(shù)指標(biāo)與精度是確保導(dǎo)彈穩(wěn)定運(yùn)行的重要保證，因此，必須提高導(dǎo)彈測(cè)發(fā)控設(shè)備的計(jì)量與檢定水平，從而保證量值傳遞的準(zhǔn)確性與統(tǒng)一性。傳統(tǒng)量值傳遞模式不能有效保證測(cè)試發(fā)控設(shè)備兩次檢定周期內(nèi)的準(zhǔn)確性和可靠性要求。而新的量值傳遞方式——計(jì)量保證方案（Measurement Assurance Programs，MAP），通過(guò)統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制（Statistical Process Control，SPC） 對(duì)參加MAP 的所有計(jì)量要素進(jìn)行檢定，并確定相對(duì)于工作標(biāo)準(zhǔn)的總的測(cè)量不確定度［1］。在對(duì)導(dǎo)彈測(cè)發(fā)控設(shè)備的MAP 中，由于慣性元素的驅(qū)動(dòng)，樣本觀測(cè)值因相對(duì)于時(shí)間常數(shù)具有較短的采樣頻率而導(dǎo)致具有時(shí)序相關(guān)性［2］。然而，傳統(tǒng)SPC 中假定連續(xù)的樣本觀測(cè)值是相互獨(dú)立的［3］，這類錯(cuò)誤會(huì)使控制圖對(duì)自相關(guān)數(shù)據(jù)非常敏感，即使是非常低水平的自相關(guān)也會(huì)對(duì)控制圖產(chǎn)生非常大的影響，導(dǎo)致假警誤報(bào)率增大［4］。

現(xiàn)行文獻(xiàn)在處理數(shù)據(jù)存在自相關(guān)現(xiàn)象，常見有3 種處理方法：1）根據(jù)時(shí)間序列原理解釋過(guò)程動(dòng)態(tài)，利用服從獨(dú)立同分布的殘差建立控制圖［2］，但是前提條件是殘差必須被正確預(yù)測(cè)；2）對(duì)具有時(shí)序相關(guān)的觀測(cè)值建立的控制圖的控制限進(jìn)行修改來(lái)剔除自相關(guān)的影響［5］，但是此類修改只是針對(duì)自相關(guān)問(wèn)題，局限較大；3）整合應(yīng)用控制圖，就是將Shewhart 控制圖，累積和控制圖（CUSUM 控制圖）以及指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均控制圖（EWMA 控制圖）綜合在一起來(lái)解決自相關(guān)問(wèn)題［6］，此類解決問(wèn)題較為復(fù)雜，導(dǎo)致檢測(cè)過(guò)于繁瑣。

本文考慮在實(shí)際應(yīng)用中，正常環(huán)境下取得的樣本數(shù)據(jù)擬合出的時(shí)間序列模型對(duì)于中等以上的數(shù)據(jù)規(guī)模來(lái)說(shuō)，其參數(shù)估計(jì)的誤差可能很小，但是其終究不是一個(gè)完全獨(dú)立的殘差序列［7］，此時(shí)殘差即使不獨(dú)立，也只是存在前后相關(guān)。因此，本文考慮將原本用來(lái)解決自相關(guān)的方法2）用在殘差控制圖中，用來(lái)解決自相關(guān)參數(shù)估計(jì)不足的問(wèn)題。并以MAP 中得到的數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證上述方法的監(jiān)控效果。

1 測(cè)發(fā)控系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制

MAP 采用的是現(xiàn)代生產(chǎn)中質(zhì)量管理的思想，并結(jié)合控制論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)理論及時(shí)發(fā)現(xiàn)故障，解決問(wèn)題。在隨后的幾十年將受到各國(guó)廣泛認(rèn)同，并制定規(guī)范推廣使用。

1.1 MAP 基本過(guò)程

圖1 MAP 標(biāo)準(zhǔn)程序框圖

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，MAP 主要有閉環(huán)量值傳遞和過(guò)程統(tǒng)計(jì)控制兩部分組成，在量值傳遞中主要包括傳遞過(guò)程和核查過(guò)程［8］。其具體操作如圖1 所示。

1.2 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

在對(duì)某型號(hào)導(dǎo)彈的MAP 過(guò)程中，以等效器作為其核查標(biāo)準(zhǔn)，選擇數(shù)字多用表Keithley 2000 作為其傳遞標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)電壓源，每隔兩小時(shí)進(jìn)行一次抽樣檢定，每天檢測(cè)8 h，連續(xù)檢測(cè)得到200個(gè)數(shù)據(jù)。其自相關(guān)函數(shù)圖（ACF）如圖2 所示。ACF 顯示在4 階以后自相關(guān)系數(shù)才收斂到兩倍標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)，表明樣本數(shù)據(jù)有自相關(guān)性。

圖2 樣本數(shù)據(jù)自相關(guān)函數(shù)圖

2 EWMA 控制圖

EWMA 控制圖是由Roberts［9］最先提出，可以監(jiān)視整個(gè)輸出過(guò)程的歷史數(shù)據(jù)，相對(duì)于其他只單獨(dú)處理合理數(shù)據(jù)分組的方法來(lái)說(shuō)顯得更為合理。

2.1 常規(guī)EWMA 控制圖

EWMA 統(tǒng)計(jì)量Yt通常被定義為：

式中，L 為控制限參數(shù)，一般大小取3。

2.2 自相關(guān)對(duì)控制圖的影響

在本小結(jié)中考慮基于AR（1）模型來(lái)處理樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)，然后使用修正后的EWMA 控制圖來(lái)解決自相關(guān)問(wèn)題。平穩(wěn)AR（1）模型定義為：

表1 基于AR（1）模型的不同參數(shù)的ARL0

2.3 殘差控制圖

觀察式（10）可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)εt完全等同于殘差et，則基于殘差的EWMA 控制圖統(tǒng)計(jì)量可以定義為式（11）：

其中，k 可以為-1，-0.5，0，0.5，1。由式（10）可以推得模型估計(jì)準(zhǔn)確，但是參數(shù)存在誤差的情況下，預(yù)測(cè)的誤差為：

聯(lián)合式（11）、式（15），則EWMA 的殘差統(tǒng)計(jì)量Zt可以表示成：

數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)．主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)聯(lián)，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征[5]．在全國(guó)I卷中，有多個(gè)題目考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，以理科15題為例．

針對(duì)此類截?cái)嗾龖B(tài)分布［9］，有：

結(jié)合式（13）、式（16）、式（21）最終得到其改進(jìn)后的方差為：

則改進(jìn)后的控制限±h2為：

2.4 殘差控制圖ARL

觀察下頁(yè)表2、表3 兩個(gè)表格，可以發(fā)現(xiàn)：均值發(fā)生漂移后，兩種控制限的ARL0趨近一致，表明修改后的控制限對(duì)均值漂移后的影響有限；在均值未發(fā)生漂移，EWMA2控制限的ARL0明顯大于EWMA1控制限的ARL0，表明控制圖不會(huì)因?yàn)榭刂葡捱^(guò)窄而導(dǎo)致假警頻生；另外自相關(guān)參數(shù)越高，均值未漂移的EWMA1的ARL0與EWMA2的差值越來(lái)越大，表明控制圖對(duì)自相關(guān)數(shù)據(jù)的處理越來(lái)越好。綜合以上各點(diǎn)，改進(jìn)后的控制限明顯好于常規(guī)控制限。

表2 基于AR（1）模型的不同參數(shù)殘差的ARL0（k=0.5）

表3 基于AR（1）模型的不同參數(shù)殘差的ARL0（k=-0.5）

3 實(shí)例分析

針對(duì)MAP 中已經(jīng)獲得的200 個(gè)受控?cái)?shù)據(jù)，本小結(jié)作如下處理：

3）利用步驟1 擬合出的模型計(jì)算出余下100個(gè)數(shù)據(jù)的殘差。

圖3 具有不同控制限的殘差EWMA 控制圖

4 結(jié)論

針對(duì)MAP 中數(shù)據(jù)存在自相關(guān)問(wèn)題，現(xiàn)階段較為廣泛使用的是在理論情況下獨(dú)立的殘差控制圖，但是因?yàn)閿M合的模型參數(shù)不可能完全正確導(dǎo)致控制圖的決策出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文在AR（1）模型下，選用EWMA 控制圖計(jì)算殘差，針對(duì)模型參數(shù)擬合不足的情況，提出對(duì)EWMA 控制圖進(jìn)行修改以抵消參數(shù)擬合不足的現(xiàn)象。通過(guò)計(jì)算修改后的控制限ARL0以及繪制EWMA 控制圖進(jìn)行比較，進(jìn)一步說(shuō)明了修改控制限后的控制圖性能優(yōu)異，基本消除了自相關(guān)以及參數(shù)估計(jì)不足導(dǎo)致的虛假警報(bào)問(wèn)題。本文只是對(duì)單一統(tǒng)計(jì)量的自相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行研究，因此，下一步研究的重點(diǎn)是對(duì)多元數(shù)據(jù)的自相關(guān)問(wèn)題的解決。