基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)

盧明一 李碧榮

【摘要】本文以勾股定理為例，論述在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中基于數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的途徑，提出在探討勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中，通過再現(xiàn)歷史事件、介紹數(shù)學(xué)史等方法在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)建議，以期使學(xué)生站在古人的角度去發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 勾股定理 數(shù)學(xué)史 教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）08A-0074-03

數(shù)學(xué)史展現(xiàn)了歷史人物遇到問題和解決問題的過程，教師可以從中汲取思想養(yǎng)料，少走彎路，獲取最佳的教學(xué)方法。在課堂中融入數(shù)學(xué)史越來越受到數(shù)學(xué)教師的重視。數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)決策等能力，勾股定理教學(xué)充分體現(xiàn)了上述思想。本文筆者以勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)為例，論述在教學(xué)設(shè)計(jì)中融入數(shù)學(xué)史，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)活動本質(zhì)的途徑，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

勾股定理是人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十八章第一課時的內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)幾何知識中有著重要地位，與解決直角三角形三邊問題，甚至是其他多邊形的問題有直接聯(lián)系，為后面幾何的學(xué)習(xí)鋪墊。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)勾股定理之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形，對幾何知識和代數(shù)知識有了一定的基礎(chǔ)認(rèn)識，初步掌握了探索圖形性質(zhì)的基本方法，但是學(xué)生探索意識比較弱，邏輯推理能力比較差，會出現(xiàn)盲目操作等問題，所以本節(jié)課以“勾股定理的證明”為教學(xué)難點(diǎn)，重在引導(dǎo)學(xué)生自主證明，提高學(xué)生的推理能力和分析能力。

三、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：通過觀察方格圖，說出直角三角形的三邊關(guān)系，說出勾股定理的定義;會用拼圖法和面積法證明勾股定理，能解決一些簡單的直角三角形三邊的問題。

過程與方法：通過觀察、探討、猜想、驗(yàn)證勾股定理，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。在探索過程中，學(xué)會與人合作，培養(yǎng)觀察圖形和分析問題的能力。

情感態(tài)度價值觀：通過自主探究的拼圖活動，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、獨(dú)立解決問題的能力。同時在學(xué)習(xí)的過程中，體會數(shù)學(xué)文化的價值。

四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明。

教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的證明。

五、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在多年前曾提出這樣的設(shè)想：向太空發(fā)射一種圖形，因?yàn)檫@種圖形在幾千年前就已經(jīng)被人類所認(rèn)識，如果他們是“文明人”，也必定認(rèn)識這種圖形。這是怎樣的圖形？我們一起來看看。

設(shè)計(jì)意圖：由高科技引出數(shù)學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧妙，一方面提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面激起學(xué)生的好奇心——是什么樣的圖形幾千年前就被人類所認(rèn)識呢，為后面的探索鋪墊。

（二）新課講解

1.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想

（1）活動一：等腰直角三角形三邊的關(guān)系

故事導(dǎo)入：“兩千多年前，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映了三個正方形面積之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系。畢達(dá)哥拉斯是怎樣由三個正方形面積之間的關(guān)系推出直角三角形三邊的關(guān)系呢？我們穿越歷史和數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯一起探討。”接著，教師用幻燈片展示“畢達(dá)哥拉斯朋友家的地面”（如圖1）。

問題1：“同學(xué)們，請你們觀察圖1的地板，每塊磚都是由什么三角形組成的呢？這三個正方形A、B、C的面積有什么關(guān)系呢？”

教師提出問題，讓學(xué)生身臨其境，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1，讓學(xué)生通過自己的思考，發(fā)現(xiàn)每塊磚都是由相同的等腰直角三角形拼成的，進(jìn)而得出結(jié)論：正方形A、B的面積之和等于正方形C的面積，即SA+SB=SC。

問題2：“如果A、B、C三個正方形的邊長用a、b、c表示（如圖2），那它們的面積關(guān)系又是怎樣的呢？”

數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用要先把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)符號，教師提出用a、b、c字母表示三個正方形的邊長，實(shí)際上是為把勾股定理化成數(shù)學(xué)語言鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生通過正方形面積公式，將正方形A、B、C的面積關(guān)系表示為：a2+b2=c2。

問題3：“正方形A、B、C的邊長與等腰直角三角形DEF的三邊（圖2）有什么關(guān)系呢？”

教師進(jìn)一步追問，回應(yīng)了故事中“三個正方形和直角三角形有什么聯(lián)系”的問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來三個正方形的邊長正好是等腰直角三角形DEF的三邊，a、b為等腰直角三角形的兩條直角邊，c為斜邊，讓學(xué)生類比問題2的結(jié)論，求出等腰直角三角形三邊關(guān)系為：a2+b2=c2，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言表述結(jié)果，再由教師歸納結(jié)論：等腰直角三角形的三邊關(guān)系——兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：a2+b2=c2。

設(shè)計(jì)意圖：通過再現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程，設(shè)置問題串，由淺入深，層層遞進(jìn)，引人入勝，讓學(xué)生穿越時空回到那個時代，感受畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程。在HPM視角（融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì)）下，不僅提高學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣，而且提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和探索性。

（2）活動二：一般直角三角形三邊的關(guān)系

問題1：“通過活動1的結(jié)論，我們知道特殊的等腰直角三角形三邊的關(guān)系為a2+b2=c2，那對于一般的直角三角形是否也存在這樣的關(guān)系呢？”“網(wǎng)格中三角形RQS是一般的直角三角形（如圖3），那等式SA+SB=SC還成立嗎？圖中每個小方格是1個單位面積?！?/p>

教師組織學(xué)生分組討論，引導(dǎo)學(xué)生分別求出正方形A、B、C的面積并尋求它們之間的關(guān)系。C的面積求法是難點(diǎn)，教師先讓學(xué)生思考總結(jié)，再和學(xué)生一起歸納方法——割補(bǔ)法，最后求出正方形C的面積為25，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C的關(guān)系為：SA+SB=SC。

問題2：“直角三角形RQS三邊與三個正方形A、B、C又有什么關(guān)系呢？”

教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)活動1的經(jīng)驗(yàn)，由正方形的面積等于邊長的平方遷移出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

追問：“從特殊的直角三角形到一般的直角三角形的兩次探討，我們發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊有什么規(guī)律呢？”

教師拋出問題，讓學(xué)生根據(jù)兩次活動的結(jié)論發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語言陳述猜想：如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。

設(shè)計(jì)意圖：兩個活動的設(shè)計(jì)，由特殊直角三角形到一般直角三角形，根據(jù)歷史相似性，再現(xiàn)割補(bǔ)法產(chǎn)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生猜測出勾股定理的內(nèi)容，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用、學(xué)生的主體作用，體現(xiàn)了一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，在猜測的過程中也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.驗(yàn)證勾股定理的實(shí)驗(yàn)

（1）活動三：學(xué)生拼圖法證明

①你能用四個相等的直角三角形（設(shè)直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c）拼出一個正方形嗎？

②你能求出拼出的正方形的面積嗎？

③你能否用你拼出的圖形說明a2+b2=c2？

小組討論時間限制在5分鐘以內(nèi)，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)活動的要求拼圖，預(yù)設(shè)學(xué)生有兩種拼法和證明。

教師通過展示學(xué)生兩種不同的拼法和證法，引導(dǎo)學(xué)生觀察，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)這兩個圖形都是通過面積法求出a、b、c之間的關(guān)系，最后證明猜想是正確的。接著，教師提出第一種圖形很像我國的“趙爽弦圖”，但是“趙爽弦圖”和學(xué)生的證法不一樣，為下一步介紹“趙爽弦圖”的證法鋪墊。

設(shè)計(jì)意圖：通過動手操作自主探索，用拼圖法和面積法發(fā)現(xiàn)勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，讓他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理就在生活中，從而勇于發(fā)現(xiàn)探索。

（2）活動四：“趙爽弦圖”的證法

“趙爽弦圖”用到了剪拼證明法，以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形，把兩個正方形拼排連在一起，通過剪、拼把它拼成下圖6。教師可以用幻燈片展示剪拼的動態(tài)過程，讓學(xué)生直觀地看到“趙爽弦圖”證法的整個過程。

設(shè)計(jì)意圖：教師通過介紹“趙爽弦圖”證明過程，一方面讓學(xué)生理解剪拼法的不同，加深對定理的理解，另一方面體現(xiàn)我國古人的智慧，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情。

（3）活動五：利用幾何畫版證實(shí)勾股定理

教師運(yùn)用幾何畫板任意變換直角三角形ABC的三邊邊長，讓學(xué)生觀察、確認(rèn)幾何畫板中展示的直角三角形三邊的關(guān)系，從而證實(shí)猜想是正確的（如圖7）。

設(shè)計(jì)意圖：幾何畫板展示的直角三角形更具有隨機(jī)性，也具有動態(tài)性，更具有說服力，可以讓學(xué)生更直觀地觀察到直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，快速反饋任意直角三角形三邊邊長的關(guān)系。

3.驗(yàn)證結(jié)論

勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

4.勾股定理命名的歷史背景

在我國古代，古人把較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”，因此稱此定理為勾股定理。

設(shè)計(jì)意圖：印證開頭情境引入部分，讓學(xué)生毛塞頓開，幾千年前人類就已經(jīng)探討了勾股定理，讓學(xué)生深深為古人的探索精神所折服，體會到古人的聰明才智。

（三）課堂練習(xí)

1.求出下列直角三角形中未知邊的長。

2.求圖中字母所代表的正方形的面積。

設(shè)計(jì)意圖：通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，鞏固學(xué)生對勾股定理的理解，并結(jié)合勾股定理的發(fā)現(xiàn)巧妙地設(shè)計(jì)題目，鞏固定理并運(yùn)用定理解決問題。

（四）課堂小結(jié)

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？

2.本節(jié)課證明勾股定理運(yùn)用了什么方法？

設(shè)計(jì)意圖：歸納性的課堂小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，鞏固本節(jié)課的內(nèi)容，抓住本節(jié)課的重點(diǎn)。

（五）課后作業(yè)

1.課后練習(xí)1、2題。

2.勾股定理的證法有五百多種，請同學(xué)們課后上網(wǎng)詳細(xì)了解。

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)加深學(xué)生對勾股定理的理解與運(yùn)用，同時提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，豐富數(shù)學(xué)史知識。

（六）小結(jié)

教學(xué)設(shè)計(jì)中三次滲透數(shù)學(xué)史：教師首先在教學(xué)開始時介紹畢達(dá)哥拉斯的故事，然后讓學(xué)生觀察畢達(dá)哥拉斯朋友家的地板，導(dǎo)入學(xué)習(xí)的內(nèi)容，引起學(xué)生的注意，激起學(xué)生探索的興趣;其次，在探討證明勾股定理這一新知識時，介紹我國“趙爽弦圖”的證明過程，使教學(xué)變得生動且富有探索意義，調(diào)動學(xué)生的積極性;最后，向?qū)W生解釋古人怎樣定義“勾股定理”的名稱，使學(xué)生體會到古人的聰明才智，在布置作業(yè)時要求學(xué)生利用課后時間閱讀一些勾股定理相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識。整節(jié)課在設(shè)計(jì)過程中注重?cái)?shù)學(xué)史的融入。另外在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)中結(jié)合勾股定理的發(fā)現(xiàn)巧妙設(shè)計(jì)了題目，使學(xué)生理解勾股定理的同時能夠掌握和運(yùn)用定理。

數(shù)學(xué)史的滲透，不僅啟發(fā)學(xué)生思考，調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，而且讓學(xué)生對數(shù)學(xué)定理有更加深刻的理解，加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，在教學(xué)中能達(dá)到事半功倍的效果。同時讓學(xué)生愛學(xué)、樂學(xué)，使枯燥的數(shù)學(xué)課堂變得生動且有趣。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉頓.讓我們一起來認(rèn)識“勾股定理”[J].初中生世界，2006（29）

[2]潘瑞.基于數(shù)學(xué)命題教學(xué)下的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].成都：四川師范大學(xué)，2014

注：本課題系廣西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題（編號：2016ZJY002）和廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（編號：JGY2017086）的階段性成果。

作者簡介：盧明一（1989— ），女，壯族，廣西大化人，南寧師范大學(xué)在讀碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)。

李碧榮（1964— ），女，廣西南寧人，副教授，研究方向：教師教育及數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

（責(zé)編 劉小瑗）