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    方程模型有途徑 表格策略尋等量

    2019-11-04 02:53:11李丹
    初中生世界·九年級 2019年9期
    關(guān)鍵詞:建筑面積一元二次方程矩形

    方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程等知識,感受了方程模型對解決實(shí)際問題的作用和價值,積累了一些利用方程解決問題的經(jīng)驗(yàn),即尋找等量關(guān)系,必要時可以通過表格幫助我們理清已知與未知的關(guān)系,從而列出方程求解。一元二次方程解決問題的基本類型有:圖形面積問題、變化率(增長或下降)問題、銷售利潤問題等。

    一、圖形面積問題

    例1 南京市某小區(qū)有一塊長12米、寬6米的矩形空地,計(jì)劃在其中修建兩塊相同的長方形綠化地,它們的面積之和為36平方米,兩塊綠化地之間及周圍留有寬度相等的小路,求小路的寬度為多少米?

    【解析】本題可以把兩個綠化矩形拼成一個大矩形,此大矩形的面積為36,找到該矩形的長與寬,其乘積為36建立一元二次方程求解。

    解:設(shè)小路的寬度為x米,根據(jù)矩形的面積公式可得一元二次方程:(12-3x)(6-2x)=36。解這個方程,得 x1=1, x2=6(不合題意,舍去)。

    答:小路的寬度為1米。

    【點(diǎn)評】本題是典型的圖形面積問題,除了拼接大矩形解決問題外,還可以用整個圖形的面積減小路面積,得到兩塊矩形綠化地面積36,建立方程求解。解決此類問題時,同學(xué)們最關(guān)鍵的就是找到圖形之間的面積關(guān)系。

    二、變化率(增長或下降)問題

    例2 為了鞏固全國文明城市建設(shè)成果,突出城市品質(zhì)的提升,近年來,某市積極落實(shí)節(jié)能減排政策,推行綠色建筑。據(jù)統(tǒng)計(jì),該市2014年的綠色建筑面積約為700萬平方米,2016年達(dá)到了1183萬平方米,若2015年、2016年的綠色建筑面積按相同的增長率逐年遞增,求這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長率。

    【解析】設(shè)這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長率為x,本題可借助表格分析數(shù)量關(guān)系:

    [ 2015年 2016年 新增建筑面積(萬平方米) 700x 700(1+x)x 總綠色建筑面積(萬平方米) 700+700x

    =700(1+x) 700(1+x)+700(1

    +x)x=700(1+x)2 ]

    2016年總綠色建筑面積為1183。再根據(jù)相等關(guān)系建立一元二次方程求解。

    解:設(shè)這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長率為x,由題意得:

    700(1+x)2=1183,

    解得:x1=0.3, x2=-2.3(不合題意,舍去)。

    答:這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長率為30%。

    【點(diǎn)評】本題是基本的增長率問題,同學(xué)們真正理解a(1+x)n的意義是解決問題的關(guān)鍵。

    例3 某種商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價后,單價由200元下調(diào)至128元,求這種商品平均每次降價的百分率。

    【解析】設(shè)這種商品平均每次降價的百分率為x,本題可借助表格分析數(shù)量關(guān)系:

    [ 降低(元) 標(biāo)價(元) 第一次 200x 200-200x=

    200(1-x) 第二次 200(1-x)x 200(1-x)-200(1-x)x=200(1-x)2 ]

    兩次降價后標(biāo)價128元。再根據(jù)相等關(guān)系建立方程求解。

    解:設(shè)這種商品平均每次降價的百分率為x,根據(jù)題意得:200(1-x)2=128,

    解得:x1=0.2, x2=1.8(不合題意,舍去)。

    答:這種商品平均每次降價的百分率為20%。

    【點(diǎn)評】本題是基本的下降率問題,同學(xué)們真正理解a(1-x)n的意義是解決問題的關(guān)鍵。

    三、銷售利潤問題

    例4 我區(qū)正大力發(fā)展綠色農(nóng)產(chǎn)品,有一種有機(jī)水果A特別受歡迎,某超市以市場價格10元每千克在我市收購了6000千克A水果,立即將其冷藏,請根據(jù)下列信息解決問題。

    ①水果A的市場價格每天每千克上漲0.1元;

    ②平均每天有10千克的該水果損壞,不能出售;

    ③每天的冷藏費(fèi)用為300元;

    ④該水果最多保存110天。

    (1)若將這批A水果存放x天后一次性

    出售,則x天后這批水果的銷售單價為

    元;可以出售的完好水果還有

    千克;

    (2)將這批A水果存放多少天后一次性出售所得利潤為9600元?

    【解析】(1)根據(jù)銷售價=成本價+每天每千克上漲0.1元填空;完好水果的質(zhì)量=總質(zhì)量-損壞的水果的質(zhì)量;

    (2)按照等量關(guān)系“利潤=銷售總金額-收購成本-各種費(fèi)用”列出方程求解即可。

    可借助表格分析各個量的表示:

    [售價(元) 10+0.1x 銷量(千克) 6000-10x 成本(元) 10×6000 冷藏費(fèi)(元) 300x 利潤(元) 9600 ]

    【解答】(1)10+0.1x;6000-10x;

    (2)由題意列方程:

    (10+0.1x)(6000-10x)-10×6000-300x=9600,

    解得:x1=80, x2=120(不合題意,舍去)。

    答:這批A水果存放80天后一次性售出所得利潤為9600元。

    【點(diǎn)評】本題是典型的銷售利潤模型,等量關(guān)系一般為:(售價-成本)×銷售量=總利潤,其中售價和銷售量都跟價格有關(guān),從而據(jù)此設(shè)定未知量建立方程。

    1.有一條長40cm的繩子,要把它圍成一個矩形,若設(shè)矩形的一邊長為xcm,回答以下問題:

    (1)怎樣圍成一個面積為75cm2的矩形?

    (2)能圍成一個面積為101cm2的矩形嗎?如能,說明圍法;如不能,說明理由。

    2.為了建設(shè)生態(tài)園林城市,某市大力開展植樹造林活動,該市林業(yè)部門調(diào)查情況如下表:

    [年份 2009年底 2011年底 全市森林擁有面積(萬畝) 15 21.6 ]

    求2009年底至2011年底該市森林擁有面積的年平均增長率。

    3.某玩具廠生產(chǎn)一種玩具,按照控制固定成本降價促銷的原則,為使生產(chǎn)的玩具能夠及時售出,據(jù)市場調(diào)查:每個玩具按480元銷售時,每天可銷售160個;若銷售單價每降低1元,每天可多售出2個。已知每個玩具的固定成本為360元,問這種玩具的銷售單價為多少元時,廠家每天可獲利潤20000元?

    4.某水果店銷售一種水果的成本價是5元/千克。在銷售過程中發(fā)現(xiàn),當(dāng)這種水果的價格定在7元/千克時,每天可以賣出160千克。在此基礎(chǔ)上,這種水果的單價每提高1元/千克,該水果店每天就會少賣出20千克。

    (1)若該水果店每天銷售這種水果所獲得的利潤是420元,則單價應(yīng)定為多少?

    (2)在利潤不變的情況下,為了讓利于顧客,單價應(yīng)定為多少?

    (作者單位:江蘇省南京市第一中學(xué)初中部)

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