初中數(shù)學(xué)中構(gòu)造思想方法的應(yīng)用研究

☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 彭麗華

數(shù)學(xué)學(xué)科具有抽象性、復(fù)雜性等特征，難度較大，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及解題過(guò)程中需要學(xué)生具備一定的分析能力及知識(shí)遷移能力，對(duì)學(xué)生的綜合能力具有較高的要求.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，選用科學(xué)的解題方法與基礎(chǔ)理論一樣重要，而構(gòu)造法是初中數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法.本文以蘇教版初中數(shù)學(xué)為例，就如何在解題中靈活應(yīng)用這一方法進(jìn)行論述.

一、構(gòu)造法概念的內(nèi)涵

構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性較強(qiáng)的解題方法，融合了數(shù)學(xué)中的類(lèi)比、歸納思想，在解決某些問(wèn)題時(shí)可以提供新的角度.應(yīng)用構(gòu)造法，需要把握已知條件和需求結(jié)論之間的關(guān)系，選用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行解決.在使用構(gòu)造法時(shí)，通常需要經(jīng)過(guò)“審題分析—尋找關(guān)鍵點(diǎn)—相關(guān)知識(shí)融入—確定解題思路與方法”的過(guò)程.

二、構(gòu)造法解題的原則及策略

（一）原則

1.相似性原則

相似性原則指的是根據(jù)要求解的問(wèn)題的已知條件和待求結(jié)論的特點(diǎn)，展開(kāi)聯(lián)想，判斷這個(gè)問(wèn)題是否和已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容一致或類(lèi)似，最后構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，間接解決問(wèn)題.

2.等價(jià)性原則

等價(jià)性原則指根據(jù)問(wèn)題的特征，將相關(guān)的條件轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的新形式，在新的條件下求解該問(wèn)題，或者將問(wèn)題轉(zhuǎn)變成新的形式，此時(shí)所構(gòu)造的新問(wèn)題B與原本的問(wèn)題A是等價(jià)的，因此解決問(wèn)題B也就相當(dāng)于解決了問(wèn)題A.

（二）策略

1.直接構(gòu)造法

通過(guò)觀察題目的已知條件和待求結(jié)論，聯(lián)想相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，使得原問(wèn)題的求解得到簡(jiǎn)化.在應(yīng)用過(guò)程中，常見(jiàn)的直接構(gòu)造法有構(gòu)造等式、方程、函數(shù)等.

2.間接構(gòu)造法

在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由已知的條件和結(jié)論無(wú)法明確構(gòu)造的方法.這時(shí)，可以嘗試改變部分條件或結(jié)論，這樣就能明確構(gòu)造的思路與方向，構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象或關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題.

三、案例解析

（一）構(gòu)造方程法

對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，很難從正面直接求解，但是如果已知的條件或結(jié)論符合方程模型，則可構(gòu)造方程.

案例1：已知實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足數(shù)量關(guān)系和b4+b2-3=0.試求解關(guān)系式

解析:在審題之后，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)高次方程很難求解，因此首選思路就是整體代換，利用已知條件中的a4、b4來(lái)整體替換結(jié)論中的a4b4.在嘗試之后，會(huì)發(fā)現(xiàn)求解過(guò)程還是比較復(fù)雜.這時(shí)就需要觀察已知條件和結(jié)論的形式，嘗試構(gòu)造方程.

（二）構(gòu)造函數(shù)法

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，函數(shù)與方程經(jīng)常會(huì)聯(lián)系到一起，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效工具.在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要注意解題思想方法的針對(duì)性，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將復(fù)雜、抽象的問(wèn)題直觀化、簡(jiǎn)單化，確定解題的主線.

案例2：如圖1所示，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為24cm，將圖中的黑色等腰直角三角形剪掉，沿著虛線折成長(zhǎng)方體紙盒，使得頂點(diǎn)A、B、C、D正好在底面上的某一點(diǎn)重合.已知點(diǎn)E和點(diǎn)F在邊AB上，是被剪掉的一個(gè)等腰直角三角形的頂點(diǎn).假設(shè)AE=BF=x，試求解：

圖1

（1）如果折成的立方體紙盒正好為正方體，那么盒子的體積是多少？

（2）若要保證紙盒的表面積S最大，x的取值為多少？（紙盒表面不包含底面）

解析：（1）由題意可知，正方體紙盒的底面邊長(zhǎng)n=因此x+2x+x=24，計(jì)算可得x=6，n=

很多問(wèn)題，不論是幾何還是代數(shù)，都包含有一定的函數(shù)思想，在解答過(guò)程中需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化與構(gòu)造，利用函數(shù)方法，簡(jiǎn)化答題思路.

（三）構(gòu)造圖形法

初中數(shù)學(xué)開(kāi)始系統(tǒng)地接觸幾何問(wèn)題，三角形是初中階段重要的幾何圖形，包含三角形的各種性質(zhì).在遇到相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系證明或計(jì)算時(shí)，可以向幾何圖形轉(zhuǎn)化，借助相似三角形形象化地處理代數(shù)關(guān)系.

案例3：如圖2所示，已知線段AD是三角形ABC的角平分線，試證明：AD2=AB·ACBD·DC.

圖2

解析：假設(shè)AB·AC=AD·x，BD·DC=AD·y，則可以得到AD=x-y.假設(shè)E是直線AD上的點(diǎn)，滿(mǎn)足上述數(shù)量關(guān)系，由已知條件可得∠1=∠2.作∠ABM=∠ADC，∠AEB=∠ACD，可得三角形ADC與三角形ABE相似，BM、AE的交點(diǎn)為E，即可得AE=x.只需要證明DE=y，就可以得到BD·DC=AD·DE.易知A、B、E、C四點(diǎn)共圓，則AD2=AB·AC-BD·DC，得證.

（四）構(gòu)造反例法

構(gòu)造反例，即矛盾構(gòu)造法，即通過(guò)反例來(lái)證明題干信息是錯(cuò)誤的，是學(xué)生解決某些判斷題或者得出中間結(jié)論的簡(jiǎn)便方法，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)積累及基本能力素養(yǎng)要求較高.

案例4：已知實(shí)數(shù)a、b、c，試判斷并證明以下正確命題，若命題錯(cuò)誤，給出反例：

（1）如果a2+ab+c＞0且c＞1，那么b的取值范圍為0＜b＜2；

（2）如果c＞1且0＜b＜2，那么a2+ab+c＞0；

（3）如果0＜b＜2，那么a2+ab+c＞0且c＞1.

解析：（1）觀察表達(dá)式，可假設(shè)b=4，c=5，構(gòu)造反例.此時(shí)a2+ab+c=a2+4a+5=（a+2）2+1＞0恒成立，c=5＞1，但是b的取值不滿(mǎn)足0＜b＜2的條件，因此該命題不正確.

（2）在舉出幾組特殊值之后，發(fā)現(xiàn)該命題均正確，因此需要采用嚴(yán)格證明的方法來(lái)確定其準(zhǔn)確性.a2+ab+c=a2+2（0.5b）a+（0.5b）2-（0.5b）2+c=（a+0.5b）2+（c-0.25b2）.因?yàn)閏＞1，0＜b＜2，所以c-0.25b2＞0恒成立，進(jìn)而（a+0.5b）2+（c-0.25b2）＞0成立，即a2+ab+c＞0成立，原命題正確.

（3）假設(shè)b=1，滿(mǎn)足0＜b＜2這一條件，c=0.5，a2+ab+c=a2+a+0.5=（a+0.5）2+0.25＞0恒成立，但是c的取值不符合結(jié)論c＞1，因此原命題不正確.

四、結(jié)語(yǔ)

由上述分析可知，構(gòu)造的思想方法是一種有效的解題手段.在初中階段，數(shù)學(xué)內(nèi)容與問(wèn)題的難度相對(duì)較小，如果學(xué)生能夠熟練掌握構(gòu)造法，那么在解決一些問(wèn)題時(shí)能夠有效提高解題效率，正確率也有所保證.同時(shí)，構(gòu)造法最主要的特征就是知識(shí)的遷移與融合性，引導(dǎo)學(xué)生掌握這一解題方法的過(guò)程中，學(xué)生也會(huì)認(rèn)識(shí)到不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系性，養(yǎng)成串聯(lián)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)習(xí)慣.在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，除了要幫助學(xué)生打好基礎(chǔ)，掌握基本內(nèi)容，教師還需要注重思想方法的訓(xùn)練，幫助學(xué)生提高邏輯思維能力及解題技巧，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的形成與發(fā)展.W