貫通思路一題多解，同類鏈接“一題一課”
——以一道源自“課標(biāo)案例”的較難習(xí)題為例

☉江蘇省蘇州市相城區(qū)春申中學(xué) 尤方成

最近研習(xí)一些中考較難復(fù)習(xí)題時(shí)，碰到一道源自“課標(biāo)（2011年版）”的習(xí)題，安排學(xué)生練習(xí)后，多數(shù)學(xué)生不能順利獲得思路，引發(fā)我們對(duì)這道考題進(jìn)行深入思考，并構(gòu)思了這道題的解題教學(xué)微設(shè)計(jì)，供分享和研討.

一、考題及思路解析

考題：當(dāng)實(shí)數(shù)b0=______時(shí)，對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)m和n，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，有（m-b0）2+（n-b0）2≤（m-b）2+（n-b）2.

解法1：由于b是任意的，所以可令b=x，把（m-b）2+（n-b）2整理配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.

解法2：由（m-b0）2+（n-b0）2≤（m-b）2+（n-b）2，得-mb0-nb0+b02≤-mb-nb+b2.

設(shè)關(guān)于b的二次函數(shù)f（b）=b2-mb-nb，當(dāng)時(shí)，f（b）取最小值，則

解法4：設(shè)點(diǎn)A（m，n）、B（b0，b0）、C（b，b），其中B、C兩點(diǎn)在直線y=x上.

AB2=（m-b0）2+（n-b0）2，AC2=（m-b）2+（n-b）2.

AB2≤AC2，即AB≤AC.

問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：已知定點(diǎn)A（m，n），點(diǎn)B為直線y=x上任意一點(diǎn)，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo).如圖1，當(dāng)AB垂直于直線y=x時(shí)，線段AB的長(zhǎng)最小.

可求出直線AB的解析式：y=-x+m+n.

圖1

解后反思：這道考題的本質(zhì)是，已知定點(diǎn)A（m，n），點(diǎn)B為直線y=x上任意一點(diǎn)，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

社會(huì)服務(wù)能力是指教師在學(xué)校以外的環(huán)境中服務(wù)社會(huì)，滿足社會(huì)需求，進(jìn)行社會(huì)活動(dòng)的能力。作為應(yīng)用型本科院校教師，在工作之外，還應(yīng)具備利用專業(yè)知識(shí)為社會(huì)服務(wù)的能力，但目前這方面能力被許多教師所忽視。

思路回顧：通過(guò)畫圖可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)AB垂直于直線y=x時(shí)，線段AB的長(zhǎng)最小，難點(diǎn)在于如何求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，可以通過(guò)構(gòu)造圖像解決，如圖2（還有其他構(gòu)造方法），也可以先求直線AB的解析式，再求直線AB與直線y=x的交點(diǎn)的坐標(biāo).

圖2

圖3

解答之后，我們還可以繼續(xù)構(gòu)造圖4，看清上述答案的“合理性”.

比如，圖4中，利用△ABC是等腰直角三角形，BE⊥AC，點(diǎn)B與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，得出

圖4

二、圍繞考題的解題教學(xué)微設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）引入定義，熱身練習(xí)

說(shuō)明：開課之初，先跟學(xué)生約定形如y=ax2+bx+c的關(guān)于x的二次函數(shù)，為了本課后續(xù)研究的方便，我們將其表示為f（x）=ax2+bx+c.

例1 已知二次函數(shù)f（b）=b2-3b，對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，有f（b）≥b02-3b0，則實(shí)數(shù)b0=_______.

教學(xué)預(yù)設(shè)：由二次函數(shù)的最值問(wèn)題引入，b0就可以看作二次函數(shù)取最小值時(shí)b的取值，當(dāng)時(shí)，f（b）最小，即

預(yù)設(shè)變式：當(dāng)實(shí)數(shù)b0=______時(shí)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，有（1-b0）2+（2-b0）2≤（1-b）2+（2-b）2.

設(shè)計(jì)意圖：將不等式（1-b0）2+（2-b0）2≤（1-b）2+（2-b）2化簡(jiǎn)，可得b2-3b≥b02-3b0，就可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題.將不等式與二次函數(shù)相結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化，也是滲透高中數(shù)學(xué)中不等式恒成立的重要思想.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）從特殊到一般，變式探究

例2 已知二次函數(shù)f（b）=b2-b-mb，對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，有f（b）≥b02-b0-mb0，則實(shí)數(shù)b0=______.

教學(xué)預(yù)設(shè)：由例1到例2，是從特殊到一般，加入一個(gè)參數(shù)m.有了例1的鋪墊，此時(shí)學(xué)生更容易理解將m看成參數(shù)，而不看成變量.

預(yù)設(shè)變式：當(dāng)實(shí)數(shù)b0=______時(shí)，對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，有（1-b0）2+（m-b0）2≤（1-b）2+（m-b）2.

設(shè)計(jì)意圖：將不等式（1-b0）2+（m-b0）2≤（1-b）2+（mb）2化簡(jiǎn)，可得b2-b-mb≥b02-b0-mb0.有了以上兩個(gè)變式的引導(dǎo)，學(xué)生更容易理解這就是一個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）拓展生長(zhǎng)，挑戰(zhàn)難題

例3 已知二次函數(shù)f（b）=b2-mb-nb，對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)m、n，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，有f（b）≥b02-mb0-nb0，則實(shí)數(shù)b0=_______.

教學(xué)預(yù)設(shè)：由上面例1、例2及變式的研究，為學(xué)生帶來(lái)一些鋪墊式問(wèn)題，有利于學(xué)生從二次函數(shù)的最值角度進(jìn)行思路突破.

預(yù)設(shè)變式：當(dāng)實(shí)數(shù)b0=_____時(shí)，對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)m和n，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，有（m-b0）2+（n-b0）2≤（mb）2+（n-b）2.

設(shè)計(jì)意圖：最后回到上文“考題”探究，讓學(xué)生獲得不同的解法，靈活求解.

三、關(guān)于較難習(xí)題研究的進(jìn)一步思考

1.教師要深度研究不同解法

教師研究解題不同于學(xué)生解題，需要追求深度研究.這里的深度研究是指針對(duì)較難習(xí)題不但要突破思路，而且要追求不同思路、不同路徑貫通思路，也就是一題多解的思考，然而這才是第一步，還需要針對(duì)不同解法進(jìn)行比較，也就是鄭毓信教授倡導(dǎo)的“善于比較”“善于優(yōu)化”的專業(yè)基本功.進(jìn)一步，在解后反思回顧環(huán)節(jié)，要站在更高的觀點(diǎn)想清辨明這道習(xí)題的深層結(jié)構(gòu)，并基于學(xué)情現(xiàn)狀，預(yù)設(shè)學(xué)生可能的障礙點(diǎn)、關(guān)鍵步驟等.以上文考題為例，它的深層結(jié)構(gòu)從“形”上說(shuō)是點(diǎn)到直線y=x的距離問(wèn)題，從“數(shù)”的角度可以用二次函數(shù)來(lái)理解.

2.研究同類問(wèn)題與加強(qiáng)鏈接

為了較好地研究這類較難問(wèn)題，需要搜集一些同類問(wèn)題并加強(qiáng)同類鏈接，這是后續(xù)走向教學(xué)的關(guān)鍵所在，因?yàn)橥悊?wèn)題是預(yù)設(shè)解題教學(xué)微設(shè)計(jì)的重要素材.在研究同類問(wèn)題和加強(qiáng)鏈接時(shí)要注意，問(wèn)題的選取不只是形式上的趨同，更要力爭(zhēng)從“形同”走向“質(zhì)同”，特別是要關(guān)注“形異而質(zhì)同”問(wèn)題的鏈接，這樣才是促進(jìn)學(xué)生深刻理解、練就眼力的重要“學(xué)材”.值得一說(shuō)的是，現(xiàn)在有不少題庫(kù)網(wǎng)站，在檢索相應(yīng)試題時(shí)提供了“關(guān)鍵詞”方式進(jìn)行查閱，這大大方便了我們檢索一些“形同”問(wèn)題，但是對(duì)“形異質(zhì)同”問(wèn)題往往難以檢索出來(lái)，這就需要靠教師在平時(shí)的解題研究中注意整理、收集，功夫重在平時(shí)，說(shuō)的也是這個(gè)道理.

3.重視預(yù)設(shè)解題教學(xué)微設(shè)計(jì)

較難習(xí)題的講評(píng)是很多教師經(jīng)常開展的日常教學(xué)任務(wù)之一，然而預(yù)設(shè)不充分的較難題的講評(píng)，往往效果不佳.即使是優(yōu)秀學(xué)生往往也是貌似聽懂，遇到稍一變式的問(wèn)題，仍然不會(huì)獨(dú)立解答.究其原因，是因?yàn)閷?duì)這類較難題的理解不夠深刻，同類跟進(jìn)的訓(xùn)練還不到位，這也提醒我們，開展較難題講評(píng)之前，要充分備課，預(yù)設(shè)解題教學(xué)微設(shè)計(jì)來(lái)促進(jìn)學(xué)生深刻理解.上文我們提供的一種解題教學(xué)微設(shè)計(jì)的理解視角，讓學(xué)生從二次函數(shù)最值分析的視角進(jìn)行思考求解，通過(guò)一系列的鋪墊式問(wèn)題，鋪平墊穩(wěn)，拾級(jí)而上，避免學(xué)生過(guò)分依賴“形”的直觀而把時(shí)間都消耗在“構(gòu)圖分析”上.但是在講評(píng)過(guò)程中，還是需要注意加強(qiáng)“數(shù)、形”的互動(dòng)與呼應(yīng)，幫助不同思維風(fēng)格的學(xué)生更好地理解這類問(wèn)題.