處理圓錐曲線“對稱性”問題策略之芻議

王平

例：已知橢圓C：3x2＋4y2-12=0，試確定m的取值范圍，使得對于直線L：y=4x＋m，橢圓C上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。

分析（1）：首先由數(shù)形結(jié)合，抓好特征量，特征線及關(guān)鍵詞，垂直且平分還有存在。設(shè)而不求思想搭好臺，用垂直引領(lǐng)得出AB直線方程，y=，在存在兩個(gè)不同的點(diǎn)的前提下獲悉不等式來唱戲，問題不但得以解決，還留下經(jīng)典的解題套路。

解法一：設(shè)A（x1，y2），B（x2，y2），由AB與L對稱，故可設(shè)AB為：y=聯(lián)列方程組

又∵AB的中點(diǎn)在直線L上，由（※）可知

分析（2）：凡涉及到中點(diǎn)弦問題，自然由點(diǎn)差法來搭臺，進(jìn)而求得AB中點(diǎn)坐標(biāo)的含參表達(dá)式，確定取值范圍的不等關(guān)系聚焦在點(diǎn)與圓錐曲線的關(guān)系。更為明確地點(diǎn)在橢圓之內(nèi)，由此又得到解決此類問題的另一典型套路。

解法（2）：設(shè)C上關(guān)于L：y=4x＋m的對稱點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)AB的中點(diǎn)為P（x0，y0），由此有

又∵P（x0，y0）在L：y=4x＋m上?y0=4x0＋m ④

由③、④解得x0=-m y0=-3m ∵P（x0，y0）在C的內(nèi)部

分析3：關(guān)鍵詞是存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，由此應(yīng)該是某個(gè)含參的二次方程在區(qū)間-2≤x≤2有兩個(gè)相等實(shí)根，由區(qū)間根的分布來搭橋，不等式唱戲，便可以順利解決。

有兩個(gè)不相等的實(shí)根，作輔助函數(shù)L（x）=13x2＋26mx＋169m2-48 x∈［-2，2］，由區(qū)間根的分布：

分析（4）：直接由二-級結(jié)論搭橋引線，圓錐曲線中橢圓任一不垂于x軸的弦的斜率與弦的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率之積為定值，由此便可解決。

解法4：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)m（x0，y0）

∵KAB·KOM=

?y0=3x0（-2＜x0＜2）

弦中點(diǎn)M的軌跡僅為線段且不含有端點(diǎn)：

總之，要讓我們高三復(fù)習(xí)依標(biāo)扣本，源于教材，又高于教材，要求課堂教學(xué)中，搭好思想與方法的橋，唱好探求方法多樣性的戲。充分利用好二級結(jié)證，學(xué)生思維才能進(jìn)階，學(xué)生在課堂才會走心入神，形成一種探求習(xí)慣及運(yùn)用教學(xué)思想的意識，搭臺唱戲的思想平臺，準(zhǔn)會讓學(xué)生站在思維的制高點(diǎn)上，形成運(yùn)用意識。