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    處理圓錐曲線“對稱性”問題策略之芻議

    2019-11-01 02:50:44王平
    關(guān)鍵詞:實(shí)根唱戲對稱性

    王平

    例:已知橢圓C:3x2+4y2-12=0,試確定m的取值范圍,使得對于直線L:y=4x+m,橢圓C上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。

    分析(1):首先由數(shù)形結(jié)合,抓好特征量,特征線及關(guān)鍵詞,垂直且平分還有存在。設(shè)而不求思想搭好臺,用垂直引領(lǐng)得出AB直線方程,y=,在存在兩個(gè)不同的點(diǎn)的前提下獲悉不等式來唱戲,問題不但得以解決,還留下經(jīng)典的解題套路。

    解法一:設(shè)A(x1,y2),B(x2,y2),由AB與L對稱,故可設(shè)AB為:y=聯(lián)列方程組

    又∵AB的中點(diǎn)在直線L上,由(※)可知

    分析(2):凡涉及到中點(diǎn)弦問題,自然由點(diǎn)差法來搭臺,進(jìn)而求得AB中點(diǎn)坐標(biāo)的含參表達(dá)式,確定取值范圍的不等關(guān)系聚焦在點(diǎn)與圓錐曲線的關(guān)系。更為明確地點(diǎn)在橢圓之內(nèi),由此又得到解決此類問題的另一典型套路。

    解法(2):設(shè)C上關(guān)于L:y=4x+m的對稱點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x0,y0),由此有

    又∵P(x0,y0)在L:y=4x+m上?y0=4x0+m ④

    由③、④解得x0=-m y0=-3m ∵P(x0,y0)在C的內(nèi)部

    分析3:關(guān)鍵詞是存在兩個(gè)不同的點(diǎn),由此應(yīng)該是某個(gè)含參的二次方程在區(qū)間-2≤x≤2有兩個(gè)相等實(shí)根,由區(qū)間根的分布來搭橋,不等式唱戲,便可以順利解決。

    有兩個(gè)不相等的實(shí)根,作輔助函數(shù)L(x)=13x2+26mx+169m2-48 x∈[-2,2],由區(qū)間根的分布:

    分析(4):直接由二-級結(jié)論搭橋引線,圓錐曲線中橢圓任一不垂于x軸的弦的斜率與弦的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率之積為定值,由此便可解決。

    解法4:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)m(x0,y0)

    ∵KAB·KOM=

    ?y0=3x0(-2<x0<2)

    弦中點(diǎn)M的軌跡僅為線段且不含有端點(diǎn):

    總之,要讓我們高三復(fù)習(xí)依標(biāo)扣本,源于教材,又高于教材,要求課堂教學(xué)中,搭好思想與方法的橋,唱好探求方法多樣性的戲。充分利用好二級結(jié)證,學(xué)生思維才能進(jìn)階,學(xué)生在課堂才會走心入神,形成一種探求習(xí)慣及運(yùn)用教學(xué)思想的意識,搭臺唱戲的思想平臺,準(zhǔn)會讓學(xué)生站在思維的制高點(diǎn)上,形成運(yùn)用意識。

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