微積分學(xué)中的極限思想分析

張藝馨

【摘 要】極限概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中最基本的定義之一，同樣也屬于微積分的重要組成部分，對(duì)于極限思想的掌握程度，對(duì)自身學(xué)習(xí)微積分的速度具有顯著的影響，同時(shí)還影響著數(shù)學(xué)相關(guān)思想及思維方式的建立，論文主要對(duì)微積分學(xué)習(xí)中極限思想的概念和相關(guān)教育內(nèi)容進(jìn)行闡述和分析。

【Abstract】 The concept of limit is one of the most basic definitions in learning mathematics， and it is also an important part of calculus. For the mastery of limit thought， it has a significant impact on the speed of learning calculus， and also has impact on the establishment of mathematics-related ideas and ways of thinking. This paper mainly expounds and analyzes the concept and related educational content of limit thought in calculus learning.

【關(guān)鍵詞】極限;微積分;變量;函數(shù)

【Keywords】limit; calculus; variable; function

【中圖分類(lèi)號(hào)】O172? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文章編號(hào)】1673-1069（2019）08-0124-02

1 數(shù)學(xué)中的極限的概念

極限屬于簡(jiǎn)單卻又有些難以理解的概念，尤其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，如果想從頭至尾穿透認(rèn)真地學(xué)習(xí)微積分的知識(shí)，那么，極限思想就是必須要進(jìn)行學(xué)習(xí)的重要知識(shí)點(diǎn)，這是基于極限思想對(duì)微積分學(xué)習(xí)具有重大的積極作用。極限用來(lái)表達(dá)的意思是一種事態(tài)發(fā)展的終極形式，在數(shù)學(xué)中為了計(jì)算兩個(gè)變量的關(guān)系，于是產(chǎn)生了函數(shù)，隨著其中一種變量的變化，使得另一個(gè)變量隨之變化。而由于很多函數(shù)無(wú)法算出結(jié)尾，從而導(dǎo)致圖像無(wú)法畫(huà)出，在這種背景下產(chǎn)生了極限的有關(guān)數(shù)學(xué)概念，而極限指的就是在相對(duì)的無(wú)限變化的圖像中引出的概念，這個(gè)數(shù)被稱(chēng)作這個(gè)圖像的變化范圍的相對(duì)無(wú)限[1]。對(duì)于極限，在數(shù)學(xué)上的正式定義是：在坐標(biāo)系中，除了x的其他兩個(gè)變量是極限這個(gè)概念的關(guān)系之一，當(dāng)其中一個(gè)變量數(shù)值趨近于一個(gè)未知數(shù)時(shí)，那么無(wú)論一個(gè)變量如何趨近于無(wú)限，都會(huì)存在一個(gè)區(qū)間，使得其中總是存在一個(gè)空隙，且存在另一個(gè)變量的值，就叫無(wú)限。通過(guò)極限的概念可知，其相對(duì)的過(guò)程是無(wú)限發(fā)生的，結(jié)果不會(huì)形成定值，所以極限是這個(gè)函數(shù)無(wú)限發(fā)展的過(guò)程以及未來(lái)發(fā)展結(jié)果的總稱(chēng)。

2 極限思想方面的相對(duì)發(fā)展和完善

在公元三世紀(jì)時(shí)，中國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)家劉傲自創(chuàng)了對(duì)圓進(jìn)行計(jì)算的割圓術(shù)，通過(guò)在圓的內(nèi)部加入正多變形的邊長(zhǎng)代替所計(jì)算圓的周長(zhǎng)，從而取得了準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果[2]。這種利用正多邊形邊長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算的方式就和更古老時(shí)期的古希臘的窮竭法相似。盡管兩者的算法和步驟都有所不同，但是通過(guò)直觀的概念來(lái)看，其中所擁有的相對(duì)更加極限的思想是一致的，也是偉大的希臘數(shù)學(xué)家阿基米德思想的呈現(xiàn)，通過(guò)將不同的甚至形成對(duì)立面的知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通形成了當(dāng)時(shí)的窮竭法，而阿基米德這一思想也足以看出他智慧的偉大。而后，極限思想真正地在數(shù)學(xué)中應(yīng)用，是使微積分相關(guān)定義被創(chuàng)建出來(lái)的函數(shù)中的相關(guān)變量規(guī)范。變量的相對(duì)引入，不僅導(dǎo)致當(dāng)代數(shù)學(xué)理念進(jìn)行了一次相應(yīng)的革命，還代表著有關(guān)的研究的陸續(xù)開(kāi)始。人們對(duì)自然進(jìn)行相對(duì)研究和認(rèn)識(shí)的同時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果想對(duì)自然進(jìn)行更加準(zhǔn)確的理解，就一定要引入變量這種概念，通過(guò)從將研究中的相關(guān)問(wèn)題變得無(wú)窮小，再利用無(wú)限以及其中的小元素進(jìn)行問(wèn)題的解釋和分析，這是極限在微積分和相關(guān)研究中應(yīng)用的發(fā)展。隨著微積分相關(guān)理論的持續(xù)發(fā)展，人們對(duì)于自然的認(rèn)識(shí)以及理解得到了不斷強(qiáng)化與深入，這也使得人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到極限在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的重要意義。但由于極限相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用理論構(gòu)建不夠完善，導(dǎo)致當(dāng)時(shí)的研究人員和相關(guān)業(yè)界人員對(duì)極限的理論的研究和應(yīng)用較為回避[3]。到了十八世

紀(jì)，很多數(shù)學(xué)家都想到利用相關(guān)的計(jì)算理論，這在一定程度上為極限概念的解讀以及相關(guān)計(jì)算思路和形式的創(chuàng)新提供指導(dǎo)，部分?jǐn)?shù)學(xué)家在書(shū)中提及微積分的重要性。但是由于微積分體系的不完善，當(dāng)時(shí)的微積分理論研究還是處于相對(duì)危機(jī)的狀態(tài)，這是實(shí)實(shí)在在的有關(guān)于人類(lèi)社會(huì)的相應(yīng)科技發(fā)展，從微積分被創(chuàng)建開(kāi)始，就沒(méi)有找到一個(gè)屬于自己?jiǎn)挝活I(lǐng)域的方向，從而致使人們?cè)诤荛L(zhǎng)的一段時(shí)間之內(nèi)都無(wú)法將這種強(qiáng)而有力并且實(shí)施有效的數(shù)學(xué)體系建立在相應(yīng)的基礎(chǔ)上。這種方法就形成了效果顯著，但是卻沒(méi)有辦法解釋原因和特點(diǎn)的尷尬局面。從而使得，從十八世紀(jì)開(kāi)始，微積分的發(fā)展就受到了環(huán)境因素的限制，致使產(chǎn)生了當(dāng)時(shí)的微積分理論危機(jī)這種關(guān)鍵問(wèn)題，為了解決這種重要的問(wèn)題，從十九世紀(jì)開(kāi)始，很多在數(shù)學(xué)方面有一定造詣的數(shù)學(xué)家，就將全身心都投入到微積分的研究當(dāng)中，繼而發(fā)現(xiàn)了困擾著人們的微積分理論所帶來(lái)的極限意義，都是通過(guò)相關(guān)的計(jì)算，從而進(jìn)行微積分理論上的分析和學(xué)習(xí)技巧。在對(duì)極限以及無(wú)窮小的理論寫(xiě)出了相對(duì)精準(zhǔn)的定義的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家還證明了其他相關(guān)的根本概念[4]。

3 有關(guān)極限理論的教育和相關(guān)學(xué)習(xí)

有關(guān)的極限理論是微積分?jǐn)?shù)學(xué)和其他的分析數(shù)學(xué)的靈魂，同時(shí)也是很多數(shù)學(xué)框架的基礎(chǔ)。甚至于某些數(shù)學(xué)理論從頭至尾都被微積分之中的無(wú)限理論貫穿。數(shù)學(xué)的教育不單單是讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和對(duì)數(shù)學(xué)的作用更加熟練，同時(shí)也是承載著未來(lái)國(guó)家的希望。在相關(guān)的微積分的老師授課中，極限的理論理解和樹(shù)立，是對(duì)微積分進(jìn)行理解的基本要求，同時(shí)也是學(xué)生在進(jìn)行相應(yīng)微積分學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。極限思想的作用指的是一個(gè)人從數(shù)學(xué)的初級(jí)理解向著高級(jí)理解進(jìn)行學(xué)習(xí)的相關(guān)轉(zhuǎn)變過(guò)程之一。這同時(shí)也是相對(duì)剛開(kāi)始學(xué)習(xí)的學(xué)生造成難度的困難思維和錯(cuò)誤理解的思維模式。再或者，從相對(duì)直觀的理解，再到準(zhǔn)確完美的理解，嚴(yán)密的教學(xué)計(jì)劃特別需要一個(gè)嚴(yán)肅的過(guò)程。對(duì)于剛剛畢業(yè)的大學(xué)生來(lái)說(shuō)，通過(guò)短短的幾個(gè)月甚至一兩年時(shí)間來(lái)說(shuō)是非常困難的，但是極限理論在微積分的有關(guān)學(xué)習(xí)中，是沒(méi)有辦法回避的，反而通過(guò)教學(xué)有關(guān)內(nèi)容而不斷進(jìn)行深化。數(shù)學(xué)當(dāng)中老師的教學(xué)應(yīng)當(dāng)因材施教，從而更好地掌握相對(duì)的數(shù)學(xué)有關(guān)思想。獨(dú)立的事實(shí)，從而把它和其他相關(guān)的事物進(jìn)行相應(yīng)的對(duì)照。

4 教師教育的關(guān)鍵

教育是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行理論實(shí)踐的重要工作之一，同時(shí)每一位教師的責(zé)任以及根本的任務(wù)都是應(yīng)該將學(xué)生的學(xué)習(xí)效果培養(yǎng)好。但是僅僅進(jìn)行書(shū)本上的教育一定是不夠的。同時(shí)應(yīng)該注意到的還有某些客觀因素對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況造成的影響和問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，人類(lèi)在學(xué)習(xí)上的非智商因素影響情況主要是對(duì)三觀以及家庭教育和個(gè)人品質(zhì)方面的影響。這方面的影響和學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力相互呼應(yīng)，為了促進(jìn)學(xué)生智力方面的發(fā)展，同時(shí)保證學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，能夠主動(dòng)地對(duì)知識(shí)進(jìn)行理解學(xué)習(xí)，最終得到想要的結(jié)果，從而獲得成功。

第一，應(yīng)該增加學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)態(tài)度的積極性，同時(shí)掌握知識(shí)，形成高尚的個(gè)人品格，這是充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的強(qiáng)力方式。而對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力進(jìn)行培養(yǎng)的方法和非智商的因素相關(guān)聯(lián)，從而使得學(xué)生由內(nèi)而外地成為自身學(xué)習(xí)過(guò)程中需要的形象和控制要求。

第二，現(xiàn)在大學(xué)生在進(jìn)行大學(xué)生活以前都形成了對(duì)學(xué)習(xí)的自主需要性。很多同學(xué)都擁有很大的理想以及對(duì)未來(lái)的向往才會(huì)對(duì)大學(xué)有所追求，通過(guò)緊張的競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境，從而能夠考上自己心儀的大學(xué)。

5 結(jié)語(yǔ)

無(wú)限理論在微積分?jǐn)?shù)學(xué)中的應(yīng)用在未來(lái)即將會(huì)變得越來(lái)越廣泛，從而使得建立微積分的基礎(chǔ)變得更加難以捉摸，如果對(duì)無(wú)限理論進(jìn)行深刻分析以后，那么微積分的學(xué)習(xí)也會(huì)變得相對(duì)簡(jiǎn)單，方便在微積分學(xué)習(xí)方面的建樹(shù)，以及未來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)方面的影響。

【參考文獻(xiàn)】

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【2】許金泉.數(shù)學(xué)分析中極限思想與極限概念教學(xué)[J].惠州學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，10（06）：123-126

【3】張曉輝.極限理論的辯證思想分析[J].企業(yè)導(dǎo)報(bào)，2016，11（03）：196+82.

【4】陳曉智，卜以軍.極限思想在解題中的運(yùn)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015，12（17）：22-24.