立足基礎(chǔ) 突出主干 穩(wěn)中有新 凸顯素養(yǎng)
——2019全國Ⅰ卷理數(shù)試卷評(píng)析與啟示

廣東省惠州市第一中學(xué)(516007) 黃偉才

2019 全國I卷理數(shù)打破慣例,在試題內(nèi)容和順序進(jìn)行了積極大膽的嘗試,究竟試題有什么亮點(diǎn),對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有何啟示? 圍繞以上問題,筆者認(rèn)為有必要對(duì)試卷進(jìn)行評(píng)析,力求把握內(nèi)涵,優(yōu)化教學(xué)策略,不當(dāng)之處,歡迎批評(píng)指正.

一、試卷概況

2019 高考數(shù)學(xué)以全國教育大會(huì)精神為指引,認(rèn)真貫徹德智體美勞“五育并舉”教育方針,試卷立足基礎(chǔ),突出主干,穩(wěn)中有新,凸顯素養(yǎng),注重考查學(xué)生理性思維能力及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)思維方法分析問題、解決問題的能力.試題全面覆蓋基礎(chǔ)知識(shí),關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活,應(yīng)用于生活,讓學(xué)生學(xué)以致用；滲透數(shù)學(xué)文化,彰顯數(shù)學(xué)育人價(jià)值；強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)處理分析,凸顯大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性.考試中心表示,適當(dāng)調(diào)整試題順序,破解僵化的應(yīng)試教育,試題順序和題型的變化必然造成難度變化,教師不能再僅僅按套路去研究題型,要真正的去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,只有這樣,學(xué)生在面對(duì)新題時(shí),才能根據(jù)條件和問題合理的進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化,把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.筆者認(rèn)為這次“難”是“難”在變化,“難”在學(xué)生不熟悉.新課程標(biāo)準(zhǔn)及新教材已經(jīng)頒布,高考又是風(fēng)向標(biāo),數(shù)據(jù)處理分析和數(shù)學(xué)建模必將是高考研究的新熱點(diǎn).

二、主要亮點(diǎn)

今年的全國Ⅰ卷理數(shù)整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定,適度調(diào)整,難度適中,對(duì)科學(xué)選人,深化課改,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力,提升核心素養(yǎng),有積極的導(dǎo)向作用,概括起來有以下幾點(diǎn)：

(一)滲透數(shù)學(xué)文化,弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化精神

教育部考試中心專家指出：“2017年新修訂的數(shù)學(xué)考試大綱提出了加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化考查的要求”,全國Ⅰ卷命題專家認(rèn)真落實(shí)上述要求,如第6 題,以我國古代典籍《周易》中描述萬物變化的“卦”為背景,巧妙的綜合了古典概型和排列組合相關(guān)知識(shí),情景真實(shí),貼近生活,弘揚(yáng)了中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.筆者查閱有關(guān)文獻(xiàn)還發(fā)現(xiàn),《周易》中描述的“太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦”的原理,即用“陰爻”和“陽爻”進(jìn)行計(jì)數(shù)的原理實(shí)際上跟二進(jìn)制計(jì)數(shù)原理是一樣的,在課堂教學(xué)中,教師還可以進(jìn)一步進(jìn)行延伸滲透,充分激發(fā)學(xué)生民族自豪感和愛國主義情懷.

(二)關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng),提高實(shí)踐能力,高考中對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的考查,一定程度上反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的本質(zhì)理解,更體現(xiàn)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法定量客觀分析問題的思維能力.

第4 題古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是( )

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

圖1

評(píng)析本題考查了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),即把實(shí)際身高問題抽象為線段比例問題.根據(jù)黃金分割比例,由肚臍到足底的距離可得身高,命題者偏偏隱藏了肚臍到腿上端的距離和咽喉到脖子下端的距離,某人也沒有特指斷臂維納斯,是男還是女,于是學(xué)生陷入固化的思維,那就是一定要算出一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)字才敢選,殊不知命題者是想真正考查學(xué)生有沒有數(shù)據(jù)分析處理的意識(shí).

根據(jù)題意可以進(jìn)行“估算”,一般情況下咽喉至脖子下端約2cm,肚臍至腿上端約5cm,則由173cm,近似值為175cm,但假如“某人”變?yōu)橐γ骰蚯乇R俑這樣的高個(gè)子,再設(shè)置相關(guān)數(shù)據(jù),這樣估算就不可行,此時(shí)要應(yīng)用不等式夾逼身高的范圍：①頭頂至咽喉略小于頭頂至脖子底端,則h≤26×(2.618)2≈178；腿長略小于肚臍至足底,h ≥105×1.618≈170,故170≤h≤178.由此題背景還可研究以下問題：某女士身長65cm,腿長98cm,為了參加晚會(huì)時(shí)顯得更優(yōu)雅,請(qǐng)問她的高跟鞋的鞋跟高度應(yīng)該為___cm；若身高162cm,腿長100cm,請(qǐng)問還有必要穿高跟鞋嗎? (為了簡化題意,用身長替代頭頂?shù)蕉悄毦嚯x,腿長替代肚臍到足底距離)

(三)強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)處理 考查統(tǒng)計(jì)模型意識(shí)

關(guān)于數(shù)據(jù)處理分析的考查是高考的新熱點(diǎn),概率統(tǒng)計(jì)題型是最好的載體,背景往往緊扣時(shí)代,貼近生活,情景新,立意高,設(shè)問巧,在大數(shù)據(jù)時(shí)代更加凸顯應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的重要性.

第21 題為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定：對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分,乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分,甲藥得-1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2) 若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4 分,pi(i=0,1,···,8) 表示”甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,···,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,···,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

解析(1)X的所有可能取值為-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β),所以X的分布列為

X -1 0 1 P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(2) (i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1,因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,化簡得pi+1-pi=4(pi-pi-1),又p1-p0=p1/0,故{pi+1-pi}是以p1為首項(xiàng),4 為公比的等比數(shù)列.

(ii) 由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+···+p1-p0+p0=由于p8=1,所以p1=所以p4=(p4-p3)+p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率,由計(jì)算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8 時(shí),認(rèn)為甲藥更有效的概率為此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小,說明這種試驗(yàn)方案合理.

評(píng)析本題以藥物實(shí)驗(yàn)為背景,貼近生活,強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)分析處理,根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷.考查了離散型隨機(jī)變量分布列和根據(jù)二階常系數(shù)遞推關(guān)系式求通項(xiàng)問題,只要正確理解題意,根據(jù)條件和問題的層層鋪墊,不難算出結(jié)果,最后根據(jù)p4極小說明實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的合理性.

本題計(jì)算量和計(jì)算方法都是常見的,難點(diǎn)是閱讀量大,又是壓軸題,對(duì)學(xué)生造成較大的心理負(fù)擔(dān),很難在較短時(shí)間提煉出數(shù)學(xué)信息進(jìn)行解題.由于p8=1,p4的計(jì)算還可以簡化為進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),第(2)問的第(i)問證明等比數(shù)列還可以省略,讓考生去觀察發(fā)現(xiàn),從而構(gòu)造出等比數(shù)列{pi+1-pi},所以命題者已用心良苦,層層鋪墊問題有目的地降低了題目的運(yùn)算難度,讓考生關(guān)注于問題分析與理解,合理的構(gòu)建統(tǒng)計(jì)模型解決問題.

實(shí)際上運(yùn)算本質(zhì)是考察了由遞推an+1=pan+qan-1(n ≥2) 求通項(xiàng)問題,常規(guī)由待定系數(shù)可變形為an+1+xan=y(an+xan-1),則y-x=p且xy=q,從而得到數(shù)列的構(gòu)造形式,對(duì)于競賽數(shù)學(xué),此類問題可用“特征方程”來解.

(四)重視數(shù)學(xué)思維,淡化繁瑣運(yùn)算

第16 題已知雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若則C的離心率為___.

評(píng)析本題利用漸近線設(shè)置問題的條件,涉及的幾何條件用向量工具呈現(xiàn)出來,要善于挖掘隱含的條件,易得漸近線OA垂直平分線段F1B,故∠F1OA=∠F2OB=∠BOA,所以大于1 或小于1 時(shí),過焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線與另一條漸近線的交點(diǎn)將會(huì)有不同情況,由此條件則離心率為2.當(dāng)漸近線的斜率可推廣為進(jìn)一步可設(shè)置相關(guān)變式題.

幾何與代數(shù)之間進(jìn)行合理的化歸轉(zhuǎn)化是解析幾何的核心,此題若采用聯(lián)立方程代數(shù)運(yùn)算則繁瑣很多,也體現(xiàn)了全國卷重思維,輕運(yùn)算命題思路.基于2017年新修訂的數(shù)學(xué)考試大綱刪去了幾何證明選講,相信平面幾何知識(shí)會(huì)滲透在立體幾何、向量、解析幾何和解三角等知識(shí)模塊中考查.

(五)動(dòng)態(tài)調(diào)整 打破慣例

2019 全國Ⅰ卷打破慣例,對(duì)解答題布局進(jìn)行了動(dòng)態(tài)調(diào)整,具體有如下顯著變化：(1)概率統(tǒng)計(jì)作變?yōu)閴狠S題,結(jié)合了數(shù)列求通項(xiàng)問題,綜合性強(qiáng).(2)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用調(diào)整到20 題,以三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的組合函數(shù)作為載體,考生不熟悉.(3)選做題相比2017 和2018年難度明顯增加,22 題曲線C的消參要求提高,需要用整體平方消元；23 題考查了近年忽視的不等式證明,需要靈活轉(zhuǎn)化條件abc=1 進(jìn)行證明.(4)銜接新課程標(biāo)準(zhǔn),客觀題刪去了三視圖和線性規(guī)劃考查,增加了概率統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)建?？疾?諸如此類變化,目的考查學(xué)生靈活應(yīng)變能力和主動(dòng)調(diào)整適應(yīng)的能力,有助于破解僵化的應(yīng)試教育,引導(dǎo)高中教學(xué)回歸本質(zhì),重視概念定理的本質(zhì)教學(xué),真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和核心素養(yǎng).

三、教學(xué)啟示

2019 全國Ⅰ卷注重考查核心概念,基本技能和思想方法,重通性通法,淡化技巧,同時(shí)加強(qiáng)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,對(duì)未來的高中教學(xué)有積極的指導(dǎo)意義.

(一)研讀課標(biāo),把握方向

高考考什么? 怎么考? 現(xiàn)實(shí)教學(xué)中,很多教師沒有進(jìn)行深入研究,熱衷于解題教學(xué),缺乏對(duì)綱領(lǐng)性文件的解讀,甚至從來沒有研讀課程標(biāo)準(zhǔn),導(dǎo)致教學(xué)缺少針對(duì)性,很多內(nèi)容該刪不刪致使教學(xué)容量過大,課時(shí)嚴(yán)重不足等問題.殊不知課程標(biāo)準(zhǔn)是國家意志的體現(xiàn),是教材編寫的依據(jù),只有深度解讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》,并以此為方向研讀教材,才能更好把握教學(xué)的重難點(diǎn).如新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)化的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)處理在第4題就有良好的體現(xiàn),如果不能抽象出線段比例,不能進(jìn)行數(shù)據(jù)估算,那解題就陷入誤區(qū).

(二)回歸教材,正本清源

高考題都是來源于教材,又高于教材,教學(xué)中必須對(duì)教材內(nèi)容和習(xí)題進(jìn)行深挖,高三復(fù)習(xí)后期更應(yīng)該回歸教材,深刻把握概念定理和思想方法的內(nèi)涵.教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)經(jīng)典習(xí)題進(jìn)行延伸變換,如條件的切入點(diǎn)還可以怎么變化,問題還可以怎樣包裝,相關(guān)同類問題還有哪些,有沒有一般化的性質(zhì)和定理總結(jié)等.

案例(人教A 版選修2-3 第59 頁習(xí)題B 組第1 題)甲、乙兩選手比賽,假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6,乙勝的概率為0.4,那么采用3 局2 勝制還是采用5 局3 勝制對(duì)甲更有利? 你對(duì)局制長短的設(shè)置有何認(rèn)識(shí)?

第15 題甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4：1 獲勝的概率是___.

評(píng)注勝率因主客場不同,把熟悉的二項(xiàng)分布問題進(jìn)行了延伸,更加符合實(shí)際情景,考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力.

(三)注重思維,強(qiáng)調(diào)本質(zhì)

實(shí)際的課堂教學(xué),教師容易忽視概念定理、思想方法的生成過程,喜歡單純的進(jìn)行解題教學(xué),學(xué)生的思維能力自然提不高,考試中碰到背景新穎的題目,往往難于轉(zhuǎn)化為熟悉的問題進(jìn)行解決.今年全國Ⅰ卷很多師生覺得很難,就是這個(gè)道理,考生對(duì)不熟悉的題目無從下手.

所以教師引導(dǎo)學(xué)生多思考知識(shí)的來龍去脈,只有真正理解了本質(zhì),才能在考試中靈活應(yīng)變.如關(guān)于二分法逼近近似值的估算實(shí)驗(yàn)過程,要重視呈現(xiàn)“一分為二,逐步逼近的思維過程,根據(jù)精確度,區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)實(shí)數(shù)都是的近似值,讓學(xué)生體會(huì)感受這樣的近似替代的思維過程,更有利于提高學(xué)生處理數(shù)據(jù)的意識(shí).又如在講授定積分概念的過程,教師要重視分析給定無限小的區(qū)間上,以直代曲求曲邊梯形面積,勻速替代變速求位移和恒力替代變力求做功等估算的合理性.

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握對(duì)學(xué)生而言至關(guān)重要,學(xué)生成績的有效提高也是教師工作的重心,但如何真正提高學(xué)生的思維能力,提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析問題和解決問題的能力更加重要,因?yàn)檫@關(guān)乎學(xué)生以后的發(fā)展,也關(guān)乎國家和社會(huì)的未來.令人欣慰,今年的高考為高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高校選拔人才起到了積極的作用.