基于單直角電橋的交流電阻校準裝置測量不確定度評定

李亞琭 張國強 胡志遠

(北京東方計量測試研究所，北京 100096)

1 引 言

交流電阻計量技術在很多領域有著廣泛的應用，如在通信領域中，通常要采用寬量程和寬頻率范圍的交流電阻標準對通信設備進行校準；在元器件制造應用領域中，對交流電阻的準確定值有助于提高元器件的質量和準確度；在電力控制領域中，通過對電網電線的交流電阻量值的準確快速測量，可以準確快速的調整調節(jié)裝置，防止電網發(fā)生震蕩[1]；在電化學領域中，交流電阻的特性可用于對電極過程、金屬腐蝕等現象的研究；在熱力學領域中，交流電阻標準是熱力學絕對溫標的三大支柱之一；此外感抗、容抗的單位也都是歐姆，把電容標準、電感標準溯源到電阻單位上的過程中，交流電阻起到了核心作用。綜上所述，交流電阻的計量在國民經濟、科技發(fā)展、工業(yè)生產等方面中均有著重要作用。

本文基于單直角電橋的原理，利用自主研發(fā)的數字式直角電橋源作為雙路正交電壓信號的輸出，搭建了交流電阻校準裝置，并對整個裝置進行了測量不確定度的評定。根據單直角電橋的原理，當電橋平衡時建立了被校交流電阻的數學模型，分析了測量不確定度的主要來源；并對交流電阻的各個測量不確定度分量進行了計算，采用不確定度傳播公式對其進行合成，通過擴展得到整個校準裝置的測量結果與擴展不確定度。

2 單直角電橋的原理

目前國際上對于交流電阻的溯源采用的方法主要有通過感應分壓器電橋將交流電阻溯源至交流量子化霍爾電阻[2,3]；通過交、直流差可計算電阻和時間常數進行溯源；通過直角電橋將交流電阻溯源至可計算電容[4]等。其中直角電橋主要用于非同類阻抗的比較測量，它是將兩個相互正交的交流信號分別通過待測交流電阻和標準電容，使電橋達到平衡。若能輸出兩路幅值相等，相位相差90°的正弦電壓波形，則可根據單直角電橋的平衡方程將交流電阻溯源到電容標準上。最簡單的直角電橋如圖1所示。該電橋是具有90°相位差的直角電橋，構成電源比例臂的兩個電動勢U和jU幅值相等，相位差為90°[5,6]。

圖1 單直角電橋原理圖Fig.1 Single quadrature bridge schematic

圖1中，當指零儀D示數為零時，則a，b兩點處的電勢相等，電橋達到平衡，此時圖中b點電壓Ux為

(1)

式中：Ux——b點處電壓，單位：V；U——單直角電橋電路中電壓源的電壓幅值，單位：V；jU——單直角電橋電路中正交電壓源的電壓幅值，單位：V；R——直角電橋電路中交流電阻的阻值，單位：Ω；C——直角電橋電路中標準電容的標準值，單位：F；ω——直角電橋電路中電源角頻率。

由于電路中Ux電壓與電源電動勢正交，即

Ux=-jU

(2)

則根據等式兩邊虛部實部分別相等，可得

(3)

(4)

可得關系式為

ωCR=1

(5)

如此可見，只要能夠得到高準確度的電源角頻率，便可求出電阻R和電容C之間的比例關系，并且可以達到較高的測量準確度[7]。本文采用單直角電橋原理，搭建了交流電阻校準裝置，通過直角電橋將交流電阻溯源至標準電容上。利用電橋平衡方程，便可通過電容的標準值間接地計算出待測交流電阻的阻值。

3 交流電阻校準裝置構成

本文利用上述所述的單直角電橋原理，使用自主研制的數字式直角電橋源作為雙路正交電壓信號的輸出，搭建了交流電阻校準裝置，其校準裝置如圖2所示。

圖2 交流電阻校準裝置示意圖Fig.2 AC resistance calibration device diagram

根據前面所述，當電橋達到平衡時，流經相角電壓表的電流為零，假設兩路交流電壓輸出的幅值完全相等，直角電橋的平衡方程參考式(5)。但在實際情況中，直角電橋的雙路交流電壓輸出無法做到幅值和相位完全一致，存在一定的誤差，因此在實際測試中不能忽略幅值差和相角誤差的影響。設兩路幅值相等、相位相差90°的正弦交流電壓U和jU分別為Ua和Ub，則可表達為

Ua=U,Ub=KUej(90°+Δθ)

(6)

式中：U——正弦交流電壓Ua的幅值；K——兩路正弦交流電壓Ub與Ua的幅值比例；Δθ——兩路正弦交流電壓相角的實際差。

設交流電阻和標準電容的表達式為

(7)

則當電路平衡時，相角電壓表中無電流通過，應滿足

(8)

將交流電阻、電容、交流電壓源Ua，Ub的表達式帶入式(8)得

(9)

因此，得到交流電阻的阻值為

(10)

4 測試數據處理

根據數字式直角電橋交流電阻計算公式，在不同的頻率下選擇不同的標準電容，就可將交流電阻量值溯源到電容標準上[8]，選取的測試點和測試數據見表1。

表1 交流電阻校準裝置測試數據Tab.1 AC resistance calibration device test data測量頻率點實測頻率/Hz標準電容標稱值標準電容證書值交流電阻標稱值交流電阻測量值100Hz99.949 8531μF0.999 9μF1.591 55kΩ1.592 50kΩ100Hz99.980 550100nF99.992nF15.915 5kΩ15.919 9kΩ100Hz99.944 84610nF9.999 8nF159.155kΩ159.246kΩ159.155Hz159.114 501μF0.999 9μF1kΩ1.000 35kΩ159.155Hz159.134 46100nF99.992nF10kΩ10.020 9kΩ159.155Hz159.229 4110nF9.999 8nF100kΩ99.955 2kΩ159.155Hz159.081 581nF0.999 84nF1MΩ1.000 6MΩ1kHz999.895 511μF0.999 9μF159.155Ω159.188Ω1kHz999.394 73100nF99.992nF1.591 55kΩ1.592 61kΩ1kHz999.395 1210nF9.999 8nF15.915 5kΩ15.925 5kΩ1.591 55kHz1588.642 31μF0.999 9μF100Ω100.193 0Ω1.591 55kHz1591.042 2100nF99.992nF1kΩ1.000 40kΩ1.591 55kHz1591.712 410nF9.999 8nF10kΩ9.999 2kΩ10kHz9965.951 1100nF99.992nF159.155Ω159.711 5Ω

5 測量不確定度分析

由上述構建的交流電阻校準裝置，在頻率1.591 55kHz、幅值有效值1V下，以標準電容100nF,交流電阻1kΩ為測試點，進行了測量不確定度分析。

5.1 建立數學模型

對于交流電阻校準裝置，其測量結果的數學模型為

Δ=Rx-R0

(11)

(12)

(13)

式中：Δ——交流電阻的誤差，單位Ω；Rx——交流電阻的實際測量值，單位Ω；R0——交流電阻的標準值，單位Ω；f0——直角電橋源頻率的標準值，單位Hz；C0——標準電容器的標準值，單位F；K——數字式直角電橋源通道2與通道1的比值，單位1；Δθ——數字式直角電橋源兩通道輸出90°波形時的相位誤差，單位(°)。

交流電阻測量結果的不確定度傳播可用式(14)表示

u2(Δ)=c2(Rx)u2(Rx)+c2(R0)u2(R0)

(14)

其中，靈敏系數為

c(Rx)=1，c(R0)=-1

式中：u(Rx)——交流電阻測量值引入的標準不確定度；u(R0)——交流電阻標準值引入的標準不確定度。

其中，u(R0)按式(12)表示為

u2(R0)=c2(f0)u2(f0)+c2(C0)u2(C0)

(15)

其中，靈敏系數為

(16)

式中：u(f0)——直角電橋源頻率的不準確引入的標準不確定度；u(C0)——標準電容的不準確引入的標準不確定度。

u(Rx)按式(13)表示為

u2(Rx)=c2(Δθ)u2(Δθ)+c2(K)u2(K)

(17)

其中，靈敏系數為

(18)

(19)

交流電阻標準值R0引入的相對標準不確定度ur(R0)為

(20)

交流電阻測量值Rx由于雙路電橋源幅值不完全相等引入的相對標準不確定度ur1(Rx)為

(21)

式中：K——電橋源雙路輸出的幅值比例。

交流電阻測量值Rx由于雙路電橋源相位不完全正交引入的相對不確定度ur2(Rx)為

(22)

式中：Δθ——電橋源的雙路波形輸出相位差。

5.2 測量不確定度來源分析

1)u(R0)的不確定度來源如下：

a)電橋源的頻率分辨力引入的相對標準不確定度ur1(f0)；

b)電橋源的頻率示值誤差引入的相對標準不確定度ur2(f0)；

c)標準電容器上級溯源引入的相對標準不確定度ur(C0)。

2)u(Rx)的不確定度來源如下：

a)雙路電橋源幅值不完全相等引入的相對標準不確定度ur1(Rx)；

b)雙路電橋源相位不完全正交引入的相對標準不確定度ur2(Rx)；

c)校準裝置短期穩(wěn)定性引入的相對標準不確定度ur3(Rx)；

d)裝置連接線引入的相對標準不確定度ur4(Rx)；

e)實驗室環(huán)境溫濕度變化引入的相對標準不確定度ur5(Rx)。

6 測量不確定度的評定

6.1 交流電阻標準值引入的不確定度u(R0)

1)直角電橋源的頻率分辨力引入的相對不確定度ur1(f0)

本文設計的直角電橋源頻率分辨力為δ=1×10-6，在此范圍內測量值服從均勻分布，按B類評定，其不確定度按式(23)計算

(23)

式中：δ——直角電橋源的頻率示值分辨力。

經計算得到

ur1(f0)=2.9×10-7

2)直角電橋源的頻率示值誤差引入的相對不確定度ur2(f0)

根據測試數據得知，直角電橋源的頻率最大允許誤差Δf0=6.3×10-7。在此范圍內測量值服從均勻分布，按B類評定，其不確定度按式(24)計算

(24)

式中：Δf0——直角電橋源的頻率最大允許誤差。

經計算得到

ur2(f0)=3.6×10-7

3)計算由直角電橋源頻率不準確引入的相對不確定度ur(f0)

直角電橋源不準確引入的相對不確定度ur(f0)按式(25)計算

(25)

經計算得到

ur(f0)=4.6×10-7

4)標準電容證書上的相對不確定度ur(C0)

標準電容器的不確定度主要是上級溯源引入的不確定度。通過查閱標準電容器的上級證書，可以得到標準電容的標準值和測量不確定度為

ur(C0)=2.0×10-6

5)交流電阻標準值引入的相對標準不確定度ur(R0)

根據式(20)，經計算得到

ur(R0)=2.0×10-6

6.2 交流電阻測量值引入的標準不確定度u(Rx)

1)直角電橋源雙路幅值不完全相等引入的相對不確定度ur1(Rx)

由于數字式直角電橋源的雙路正弦電壓波形無法做到幅值完全相等，因此幅值的不準確性會引入測量不確定度ur1(Rx)。采用數字多用表8508A進行測試，利用8508A的短期穩(wěn)定性測量自修正后的幅值。經過測試，直角電橋源雙路輸出的幅值比例誤差K為0.999 995。u(K)應滿足

(26)

根據式(22)，經計算得到

ur1(Rx)=2.9×10-6

2)直角電橋源雙路相位不完全正交引入的相對不確定度ur2(Rx)

由于數字式直角電橋源的雙路正弦電壓相位無法做到完全正交，因此相位的不正交性會引入測量不確定度ur2(Rx)。經過測試，直角電橋源雙路輸出90°的相位偏差Δθ為0.002°。u(Δθ)應滿足

(27)

根據式(23)，經計算得到

ur2(Rx)=3.5×10-7

3)校準裝置短期穩(wěn)定性引入的相對不確定度ur3(Rx)

對測試點頻率1.591 55kHz、標準電容100nF、交流電阻1kΩ，在相同條件下短時間重復測量交流電阻值10次，得到10組測量數據，見表2。

表2 交流電阻重復性測量數據Tab.2 AC resistance repeatability measurement data測量序號R/Ω11 000.398 83421 000.398 84731 000.398 84141 000.398 84751 000.398 84161 000.398 84571 000.398 84281 000.398 85391 000.398 844101 000.398 843

采用貝塞法公式計算測量標準偏差，作為短期穩(wěn)定性的不確定度分量ur3(Rx)為

(28)

經計算得到

ur3(Rx)=5.0×10-6

4)裝置連接線引入的相對不確定度ur4(Rx)

測試設備自身的開路清零和短路清零功能可以有效消除裝置連接線的阻抗等雜散分量引入的誤差，對測量結果影響較小，因此該項誤差可以忽略；

5)實驗室環(huán)境溫濕度變化引入的相對不確定度ur5(Rx)

交流電阻校準裝置在實驗室恒溫恒濕條件下，其環(huán)境溫度和相對濕度變化導致的量值變化很小，因此該項誤差可以忽略。

6)交流電阻測量值引入的相對標準不確定度ur(Rx)

交流電阻測量值引入的不確定度ur(Rx)按式(29)計算

(29)

經計算得到

ur(Rx)=5.9×10-6

交流電阻校準測量裝置測量不確定度分量，見表3。

表3 交流電阻校準裝置測量不確定度分量一覽表Tab.3 AC resistance calibration device measurement uncertainty component list不確定度分量不確定度來源評定方法分布類型k值標準不確定度ur1(f0)直角電橋源的頻率分辨力B類評定均勻分布32.9×10-7ur2(f0)直角電橋源的頻率示值誤差B類評定均勻分布33.6×10-7ur(C0)標準電容的溯源B類評定均勻分布22.0×10-6ur1(Rx)直角電橋源雙路幅值不完全相等B類評定均勻分布32.9×10-6ur2(Rx)直角電橋源雙路相位不完全正交B類評定均勻分布33.5×10-7ur3(Rx)校準裝置短期穩(wěn)定性A類評定//5.0×10-6

6.3 合成校準不確定度計算

上述交流電阻校準裝置的測量不確定度分量彼此互不相關，因此合成標準不確定度ur(Δ)滿足[9]

(30)

代入各個測量不確定度分量，得到合成標準不確定度ur(Δ)為

ur(Δ)=6.2×10-6

6.4 擴展不確定度

擴展不確定度按式(31)計算

Ur=kur(Δ)

(31)

取擴展因子k=2，則擴展標準不確定度Ur為

Ur=2ur(Δ)=1.2×10-5(k=2)

7 結束語

本文基于單直角電橋的工作原理，采用數字式直角電橋源作為交流電阻校裝置的主要部分，搭建了基于單直角電橋的交流電阻校準裝置。當電橋達到平衡時，流經指零儀的電流為零，根據電橋的平衡方程推導得到交流電阻的校準值。通過在不同的頻率下選擇不同的標準電容，可將交流電阻量值溯源到電容標準上。本文對搭建的交流電阻校準裝置進行測試，得到交流電阻的校準數據，并對測量結果進行不確定度分析，得出交流電阻校準裝置的最佳測量不確定度可達1.2×10-5(k=2)。通過本文的測試和不確定度分析，對于使用基于單直角電橋原理搭建交流電阻校準裝置可與基于其他原理(如雙直角電橋法、數字采樣法等)建立的交流電阻校準裝置所得到數據進行比對，彼此之間互相驗證，對于保障交流電阻溯源數據的可靠性具有重要的意義。