等截面裂縫梁自由振動分析的正問題

王敏楊，劉文會*，朱志清，劉 洋，鄭嘉俊

1吉林建筑大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，長春 130118 2吉林大學(xué) 交通學(xué)院，長春 130022

0 引言

裂縫是結(jié)構(gòu)最常見的損傷之一,裂縫的存在將極大地影響結(jié)構(gòu)的性能和剩余壽命.結(jié)構(gòu)在使用過程中經(jīng)常受到動荷載作用,因此,裂縫結(jié)構(gòu)的動力特性引起了人們的廣泛關(guān)注.另一方面,裂縫的存在會引起結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的變化,從而引起結(jié)構(gòu)動力特性的變化,因此,基于動態(tài)特性的損傷識別具有很大的潛力[1].

在我國,因簡支梁為數(shù)眾多,且應(yīng)用廣泛,故研究含等截面裂縫梁進(jìn)行自由振動分析的正問題具有重要意義.裂縫梁的動力特性研究受到了廣泛的關(guān)注,并采用各種解析、半解析和數(shù)值方法求解了裂縫梁結(jié)構(gòu)的振動分析問題.利用修進(jìn)的Fourier級數(shù)(Modified Fourier series,英文縮寫為MFS),Zheng等[2]人得到了具有任意數(shù)目橫向開裂縫的非等截面梁的固有頻率,提出了一種計算任意數(shù)量橫向開裂紋非均勻梁固有頻率的簡便新方法.Banerjee[3]應(yīng)用Witticy-Williams算法求解了梁的固有頻率和振型,給出了懸臂梁在端處承載彈簧質(zhì)量系數(shù)的數(shù)值例子，然后通過改變彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度特性進(jìn)行了參數(shù)化研究，并說明其對固有頻率和振型的影響.Huang等[4]人為了求解振型和頻率,將傳統(tǒng)的4階控制微分方程轉(zhuǎn)化為Fredholm積分方程,提出了一種新的、簡單的求解可變彎曲剛度和質(zhì)量密度的梁自由振動固有頻率的方法.Koplow等[5]人得到了橫截面階躍變化的Euler-Bernoulli梁動力響應(yīng)解析解,考慮自由邊界條件的情況，提出了由簡諧力或兩端耦合激勵引起的直接頻率響應(yīng)函數(shù).Firouz-Abadi等[6]人利用軸向變截面Euler-Bernoulli梁運(yùn)動控制方程及自振頻率得到奇異微分方程,并采用WKB展開級數(shù)求解，并在此基礎(chǔ)上，給出了確定固有振型形狀及相應(yīng)頻率的封閉形式解.

有限元法(Finite element method,英文縮寫為FEM)在損傷梁的自由振動分析中得到了廣泛應(yīng)用,而有限元法的關(guān)鍵問題是如何恰當(dāng)?shù)厍蟪隽芽p梁單元的剛度矩陣.結(jié)構(gòu)損傷識別在保證安全、實(shí)施救援和避免緊急行動等方面發(fā)揮了重要作用.本文提出了一種分析方法來研究等截面裂縫梁的自由振動分析.

1 等截面裂縫梁式結(jié)構(gòu)動力特性正問題求解方法

如圖1所示的典型等截面裂縫梁式結(jié)構(gòu)中,位于x軸下方的1,2,…,j,…,N表示裂縫編號;j為梁跨的第j條裂縫;L表示等截面梁兩支撐間的距離;xj表示第j條裂縫距左端支撐的距離.

圖1 等截面梁裂縫梁式結(jié)構(gòu)Fig.1 Beam structure with equal section cracks in simply supported beams

由截面Euler-Bernoulli梁的自由振動方程,可得等截面梁振型函數(shù)φ(x)：

(1)

(2)

采用φ(0),φ′(0),M(0),Q(0)表示梁跨左端(x=0)處的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力,本文稱之為梁跨的4個初始參數(shù).綜合式(1)、式(2)的整理過程,可得梁跨第1個梁段的振型函數(shù)：

(3)

采用無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧模擬裂縫，可以認(rèn)為裂縫兩側(cè)的位移、彎矩、剪力相等，轉(zhuǎn)角存在突變.對于圖1中的第j條裂縫，相鄰兩梁段裂縫左右兩側(cè)且無限趨近于裂縫處的位移、位移二階導(dǎo)數(shù)以及位移三階導(dǎo)數(shù)均相等，并且有：

φj+1′(xj+)-φj′(xj-)=Cjφj″(xj-)

(4)

式中,xj-代表從左側(cè)無限趨近于xj；xj+代表從右側(cè)無限趨近于xj；Cj為梁跨第j條裂縫處的局部柔度系數(shù)；φj(x)為梁跨第j個梁段的振型函數(shù),其中x∈[xj-1,xj).

綜合上述裂縫處的性質(zhì)及式(4),可得到梁跨內(nèi)第j+1梁段與第j梁段振型函數(shù)的關(guān)系:

(5)

根據(jù)式(5),可得到同一跨內(nèi)任何梁段振型函數(shù)之間的回歸方程.梁跨第N+1梁段(最后一個梁段)與第1個梁段振型函數(shù)之間的回歸方程為:

(6)

若圖1中左側(cè)為固定端,右側(cè)為懸臂端,則懸臂梁的邊界條件為:

固定端

(7)

φ(0)=0

(8)

自由端

(9)

(10)

由式(9)、式(10)分析可知,φlast有且僅有梁跨的4個初始參數(shù)φ(0),φ′(0),M(0)和Q(0),故式(9)～式(10)可轉(zhuǎn)化為僅含4個待定系數(shù)φ(0),φ′(0),M(0)和Q(0)的方程式.

懸臂梁的固定端支撐能夠確定2個方程，即式(7)和式(8)；懸臂端支撐能夠確定2個方程，即式(9)和式(10).因此,由支撐確定的方程總數(shù)為4個.梁跨內(nèi)有4個待定系數(shù)需確定.

綜合式(7)～式(10),可確定如圖1所示的懸臂裂縫梁式結(jié)構(gòu)動力特征方程:

[H]{u}=0

(11)

式中,[H]為式(7)～式(10)確定的維矩陣,{u}=[φ(0)φ′(0)M(0)Q(0)]T.

在得到懸臂裂縫梁式結(jié)構(gòu)動力特征方程后,采用半?yún)^(qū)間-迭代方法[8]可求解出懸臂裂縫梁式結(jié)構(gòu)的前幾階頻率及與每階頻率對應(yīng)的待定系數(shù)向量.把待定系數(shù)向量代入式(5)～式(6)便可計算出振型.

2 等截面裂縫梁式結(jié)構(gòu)動力特性求解方法驗(yàn)證

作者與吉林大學(xué)課題組合作,參與了等截面懸臂空心矩形截面梁的動力特性實(shí)驗(yàn).為了驗(yàn)證等截面裂縫梁式結(jié)構(gòu)動力特性求解方法的正確性和可靠性,運(yùn)用等截面懸臂空心矩形截面梁的動力特性實(shí)驗(yàn)結(jié)果,此懸臂梁的材料為鋼材,彈性模量為2.06×1010Pa,密度為7 850 kg/m3.

空心矩形截面梁如圖2所示,其幾何尺寸為梁長L=1.8 m,t=0.006 m,d=0.006 m,h=0.05 m,b=0.1 m.

圖2 空心矩形截面試驗(yàn)梁(m)Fig.2 Hollow rectangular section test beam(m)

采用鋼鋸在特定位置制造一定深度的裂縫,借助江蘇東華測試有限公司生產(chǎn)的131 E型加速度拾振器和DH 5920型振動采集分析儀,利用錘擊方法對試驗(yàn)梁進(jìn)行激振,測試了多種裂縫工況下試驗(yàn)梁的自振頻率.空心矩形截面試驗(yàn)梁測試現(xiàn)場如圖3所示.

(a) (b)圖3 空心矩形截面試驗(yàn)梁測試現(xiàn)場Fig.3 Test site of hollow rectangular section test beam

針對空心矩形截面試驗(yàn)梁,均測試了兩種裂縫工況下的自振頻率變化.

工況1:在距懸臂端0.3 m(x1=0.3 m)處有1條裂縫,裂縫相對深度(裂縫深度/截面高度)按5 %的間隔從0 %增長到30 %.

工況2:x1=0.3 m處的裂縫相對深度為30 %保持不變,在距懸臂端0.75 m(x2=0.75 m)處出現(xiàn)另一條裂縫,裂縫相對深度按5 %的間隔從0 %增長到30 %.

采用自振頻率改變率RFCi來表征裂縫對自振頻率的影響,自振頻率改變率RFCi定義如下:

(12)

式中,ωci為裂縫梁的第i階自振頻率;ω0i為完好梁(無裂縫梁)的第i階自振頻率;RFCi為第i階自振頻率改變率.

空心矩形截面試驗(yàn)梁前兩階自振頻率改變率測試結(jié)果如圖4所示.

(a) 1階自振頻率改變率 RFC1(a) The 1st order natural frequency change rate RFC1 (b) 2階自振頻率改變率 RFC2(b) The 2nd order natural frequency change rate RFC2圖4 不同裂縫工況下空心矩形截面試驗(yàn)梁的自振頻率改變率Fig.4 Natural frequency change rate of hollow rectangular section test beams under different crack conditions

由圖4可見,根據(jù)工況1和工況2，對于1，2階自振頻率，隨著裂縫數(shù)量的增加，自振頻率改變率數(shù)值明顯減少.

當(dāng)裂紋數(shù)不變時，裂縫相對深度從0 %增加到10 %，自振頻率改變率的數(shù)值減小，速率逐漸增大；

裂縫相對深度在10 %至15 %之間，自振頻率改變率的數(shù)值存在突變，突變之后自振頻率改變率的數(shù)值減小，速率減小.

在不同裂縫工況下,空心矩形截面試驗(yàn)梁其前兩階自振頻率改變率的試驗(yàn)結(jié)果與計算結(jié)果存在良好的一致性,這充分說明了本文提出的等截面裂縫梁式結(jié)構(gòu)動力特性求解方法的正確性和可靠性.

3 結(jié)論

本文得到了等截面裂縫梁式結(jié)構(gòu)動力特性的精確解，闡述了等截面裂縫梁式結(jié)構(gòu)自由振動分析的正問題，基于懸臂鋼梁動力特性識別基礎(chǔ)數(shù)據(jù),對等截面裂縫梁正問題的正確性進(jìn)行了算例驗(yàn)證，研究了裂縫對等截面梁固有頻率的影響.在數(shù)值計算的基礎(chǔ)上,得出以下結(jié)論:

(1) 該方法的計算結(jié)果與實(shí)例數(shù)據(jù)吻合較好,驗(yàn)證了該方法的有效性和可靠性，在確定等截面梁的模型函數(shù)和建立整個系統(tǒng)的特征方程過程中,沒有引入任何假設(shè),通用性很好.

(2) 正問題曲線擬合精度很高，結(jié)果表明,本文提出的裂紋識別算法具有良好的識別精度.