角動量守恒定律的應(yīng)用

李小芳, 王志梅

(1.中北大學(xué)信息商務(wù)學(xué)院， 山西 晉中 030600;2.太原師范學(xué)院 物理系， 山西 晉中 030619)

0 引 言

角動量守恒定律是物理學(xué)的基本守恒定律之一，大到宇宙天體，小到原子內(nèi)部都服從這一定律，它在生產(chǎn)、生活、工程技術(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用。

1 角動量守恒定律

角動量定理的微分式為

對一固定點O或轉(zhuǎn)軸,當(dāng)物體不受力矩或所受的合外力矩M=0時，物體的角動量L保持不變，這個結(jié)論就叫角動量守恒定律[1]。

對于質(zhì)點，角動量守恒定律的表達式為

L=r×mv=常矢量,

對于剛體，角動量守恒定律的表達式為[1]

L=Jω=常矢量。

2 角動量守恒定律在天體運動方面的應(yīng)用

2.1 證明開普勒第二定律

開普勒行星運動第二定律，也稱面積定律，指的是對任一行星，太陽和該行星的連線(矢徑)在相等時間內(nèi)掃過的面積相等。現(xiàn)用角動量守恒定律證明。

行星對太陽角動量的大小為

L=rmvsinθ,

(1)

式中：m----行星的質(zhì)量;

θ----矢徑r與速度v之間的夾角，行星速率

則

(2)

式(2)中

rsinθds=r⊥ds=2dA,

(3)

其中，dA為行星矢徑在dt時間內(nèi)掃過的面積，因此

(4)

由于太陽和行星之間的萬有引力為有心力，它對力心的力矩為零，故行星的角動量守恒，即L=常量，因此

從而證明了行星的矢徑在相同時間內(nèi)掃過的面積相同。事實上，開普勒第二定律與角動量守恒定律等價。

2.2 證明太陽在焦點位置

開普勒第一定律：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上?，F(xiàn)用角動量守恒定律及牛頓力學(xué)理論證明太陽處在橢圓的一個焦點上。

設(shè)橢圓方程為

式中：a----長軸;

b----短軸。

焦點位置為(0,±c)，且a2-c2=b2。

行星繞太陽運動時，行星所受的力矩為零，角動量守恒。由角動量守恒定律，得

r1mv1=r2mv2,

(5)

式中:v1,r1----分別為行星處于遠日點時的速率及距太陽的距離;

v2,r2----分別為行星處于近日點時的速率及距太陽的距離。

由式(5)得

(6)

由于萬有引力為保守力，只有保守力做功時，機械能守恒。由機械能守恒定律，得

(7)

整理上式得

(8)

由向心力公式，得

(9)

式(9)中長軸端點弧元的曲率半徑

(10)

由式(6)、式(8)～式(10)得

r1r2=aρ0=b2，

(11)

又因為

r1+r2=2a,

(12)

聯(lián)立式(11)和式(12)得

r2=a-c,

(13)

證明了太陽的位置為橢圓的焦點。

2.3 定性解釋星系的扁平狀旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)

對于很多星系來說，它們都是扁平狀旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)家拉普拉斯的“星云說”指出，星系旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)的成因是角動量守恒。對于星系來說，其一開始是一個緩慢旋轉(zhuǎn)的球狀氣體云，具有初始角動量。在垂直于軸向的徑向上，星系由于引力作用慢慢向內(nèi)收縮，因為引力為有心力，因此星系對轉(zhuǎn)軸的角動量L=rmv守恒，當(dāng)星系半徑減小時，其速率增大，離心力也隨之增大，當(dāng)離心力增大至與引力恰好平衡時，星系停止收縮。對于軸向不存在離心力，則星系持續(xù)收縮，最終在引力的作用下，軸向變得非常扁平。因此星系形成了具有一定半徑大小的扁平狀旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)[2]。

圖1 天體的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)

3 角動量守恒定律在工程技術(shù)方面的應(yīng)用

3.1 進動陀螺儀

陀螺儀有兩個特性：進動性和定軸性，這兩種特性都是建立在角動量守恒的原則下[3]。

3.1.1 陀螺的進動

陀螺在繞自身對稱軸高速轉(zhuǎn)動的同時，其對稱軸繞經(jīng)過定點的豎直軸轉(zhuǎn)動，這種高速自轉(zhuǎn)物體的轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象叫做進動[4]。

陀螺的旋進如圖2所示。

(a) 自轉(zhuǎn)陀螺的對稱軸同時繞OZ軸轉(zhuǎn)動

(b) 陀螺的對稱軸轉(zhuǎn)動一定的角位移圖2 陀螺的旋進

圖2(a)中，質(zhì)量均勻?qū)ΨQ分布的陀螺在高速旋轉(zhuǎn)時，相對于O點的角動量為

L=Jω，

(14)

式中：J----陀螺的轉(zhuǎn)動慣量;

ω----自轉(zhuǎn)角速度。

L的方向沿對稱軸，由于陀螺質(zhì)量對稱分布，此角動量就是陀螺對自身對稱軸的角動量。高速旋轉(zhuǎn)的陀螺，在傾斜狀態(tài)時，由于進動產(chǎn)生對O點的角動量遠小于其本身對稱軸的角動量，可將總角動量近似為對其自身對稱軸的角動量。

以O(shè)點為參考點，只有重力產(chǎn)生力矩，重力的力矩

(15)

式中：dm----陀螺上小質(zhì)元的質(zhì)量;

r----質(zhì)元相對于O點的位置矢量。

整理上式，得

(16)

式中：rC----質(zhì)心相對于O點的位置矢量。

由于rC與L同向，因此重力對O點的力矩M始終與角動量L垂直。

在重力矩的作用下，dt時間內(nèi)，陀螺自旋角動量的增量

dL=Mdt=mrC×gdt。

(17)

方向垂直于紙面向里，與L方向垂直。所以在重力矩的作用下，陀螺的自旋角動量大小不變，只改變方向，L的末端軌跡為圓。

圖2(b)中，陀螺對稱軸與豎直軸之間的夾角為θ，dt時間內(nèi)，陀螺對稱軸轉(zhuǎn)過的角位移為dφ，自旋角動量的增量大小

|dL|=Lsinθdφ。

(18)

陀螺重力矩的大小

(19)

因此,陀螺的進動角速度為

(20)

將式(16)代入式(20)，得

(21)

即進動角速度ωp與陀螺自轉(zhuǎn)角速度成反比，與角度θ無關(guān)。ωp隨自轉(zhuǎn)角速度的增大而減小，自轉(zhuǎn)角速度越大，陀螺越容易穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)。當(dāng)陀螺的自轉(zhuǎn)角速度不夠大時，則除了自轉(zhuǎn)和進動外，陀螺的對稱軸還會在鉛垂面內(nèi)上下擺動，稱為章動[2]。

3.1.2 陀螺儀

陀螺儀如圖3所示。

圖3 陀螺儀

從圖3可以看出，陀螺儀的轉(zhuǎn)子、內(nèi)環(huán)、外環(huán)都可以繞著各自的轉(zhuǎn)動軸自由轉(zhuǎn)動，三個轉(zhuǎn)動軸正交于轉(zhuǎn)子質(zhì)心，在忽略摩擦和空氣阻力的情況下，這種設(shè)計保證了轉(zhuǎn)子所受的合外力矩為零，轉(zhuǎn)子的角動量L=Jω守恒。陀螺儀的轉(zhuǎn)動慣量J不隨時間變化，若將陀螺儀的轉(zhuǎn)軸指向某方向，當(dāng)轉(zhuǎn)子繞自身對稱軸以角速度ω高速轉(zhuǎn)動時，不管如何改變框架的方位，其中心軸的空間取向都始終保持不變，因而具有導(dǎo)航能力[5-6]。

高速轉(zhuǎn)動的陀螺儀受到一定的干擾力矩后，轉(zhuǎn)子的對稱軸會在初始方位附近產(chǎn)生幅度很小的短時高頻章動，保證對稱軸的方向基本不變，因此具有極強的穩(wěn)定性。但是如果陀螺儀持續(xù)受到干擾力矩的話，對稱軸的指向會隨時間產(chǎn)生誤差。

我國的WS-35型155 mm口徑制導(dǎo)炮彈，其最大射程可達到100 km，且精確度高，使用“北斗”衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)進行GPS/慣性制導(dǎo)(INS)。慣性制導(dǎo)的核心部件為三軸陀螺儀，其抗干擾能力和自主性強，但是存在導(dǎo)航精度隨時間不斷降低的問題。利用GPS的長期穩(wěn)定性與適中精度可以不斷對INS加以校準(zhǔn)，消除INS積累的誤差[7]。

3.2 直升飛機螺旋槳

直升飛機一般都有兩個螺旋槳。當(dāng)直升機靜止在地面時，受到重力及地面給它的支持力，兩力產(chǎn)生的合外力矩為零，直升機的角動量守恒。飛機靜止在地面時，初始角動量為零，當(dāng)直升飛機的主螺旋槳旋轉(zhuǎn)時，機身必然會朝著反方向旋轉(zhuǎn)。為了阻止機身旋轉(zhuǎn)，需要另一個螺旋槳來產(chǎn)生阻力矩，使其與主螺旋槳產(chǎn)生的力矩相抵消。大多數(shù)直升機通過在尾部安裝一個螺旋槳來阻止機身轉(zhuǎn)動，但也有直升機采用反向轉(zhuǎn)動的雙旋翼來阻止機身旋轉(zhuǎn)，“共軸雙槳”與“縱列式雙槳”的直升機分別如圖4和圖5所示。

圖4 俄羅斯制造的卡50直升機

圖5 雪地降落的支努干飛機

4 角動量守恒定律在游戲和體育方面的應(yīng)用

4.1 扔水瓶挑戰(zhàn)

“扔水瓶挑戰(zhàn)”是一個風(fēng)靡于社交網(wǎng)站的游戲，向空中旋轉(zhuǎn)扔出一個裝有部分水的瓶子，瓶子在空中翻一個跟頭后，可以平穩(wěn)垂直地站立在桌面或地面上。下面分析一下“扔水瓶挑戰(zhàn)”背后所蘊含的物理知識。

在忽略空氣阻力的情況下，水瓶被扔出去之后，只受重力，且重力通過質(zhì)心，因此系統(tǒng)所受的合外力矩為零，角動量L=Jω守恒。由于水具有流動性，當(dāng)瓶子在空中旋轉(zhuǎn)時，瓶內(nèi)的水并不會隨著瓶子旋轉(zhuǎn)，而是沿著瓶子晃動，導(dǎo)致水的質(zhì)量沿著瓶子重新分布，從而改變了系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。

文獻[7]構(gòu)建了一個簡單的一維模型來研究在空中旋轉(zhuǎn)的水瓶，導(dǎo)出了系統(tǒng)的質(zhì)心和轉(zhuǎn)動慣量

(22)

(23)

式中:hCM----系統(tǒng)質(zhì)心的位置;

J----系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量;

Jb、Jw----分別為瓶子和水的轉(zhuǎn)動慣量;

mb----瓶子的質(zhì)量;

mw----瓶中水的質(zhì)量;

H----瓶子的高度;

h----瓶中水的高度。

水瓶在旋轉(zhuǎn)過程中，水的高度h時刻變化，因此,系統(tǒng)的質(zhì)心和轉(zhuǎn)動慣量也隨時變化。水在瓶中晃動的時候，由于水的質(zhì)量沿著瓶子分散分布，導(dǎo)致系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量增大[8-9]。

根據(jù)角動量守恒定律，當(dāng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量增大時，其旋轉(zhuǎn)角速度會減小。因此水瓶在落地時角速度較小，可以平穩(wěn)垂直地站立在桌面或地面上。若游戲中使用空瓶子或裝滿水的瓶子，則挑戰(zhàn)很難成功?？掌孔踊蜓b滿水的瓶子在轉(zhuǎn)動過程中可看成剛體，其轉(zhuǎn)動慣量不變，水瓶旋轉(zhuǎn)時角速度就會保持不變，水瓶落地時旋轉(zhuǎn)角速度大，導(dǎo)致挑戰(zhàn)失敗。

“扔水瓶挑戰(zhàn)”成功的關(guān)鍵有兩個：一是盡量減小落地的角速度；二是盡可能降低系統(tǒng)的重心，重心越低系統(tǒng)越穩(wěn)定。挑戰(zhàn)時，瓶中的水不能太少也不能太多。水太少，系統(tǒng)的重心雖低，但其轉(zhuǎn)動慣量增大不明顯；水太多，系統(tǒng)重心不僅高，而且水在瓶中晃動不明顯，對改變轉(zhuǎn)動慣量沒有太大貢獻。經(jīng)過實驗和分析[8-9]，當(dāng)瓶中的水為1/3～1/4時，“扔水瓶挑戰(zhàn)”最容易成功。

4.2 體育賽事

體育賽事中的許多運動，同樣是通過改變運動員自身的質(zhì)量分布來改變旋轉(zhuǎn)時的角速度，從而使表演更具有觀賞性。

跳水運動員、花樣滑冰運動員經(jīng)常會做一些旋轉(zhuǎn)動作，這些運動員的旋轉(zhuǎn)速度可以通過改變肢體動作來實現(xiàn)。在阻力可以忽略不計的情況下，不論運動員在地面上旋轉(zhuǎn)還是空中旋轉(zhuǎn)，所受的合外力矩都為零，因此角動量守恒。當(dāng)運動員收攏雙臂或腿時，其轉(zhuǎn)動慣量減小，旋轉(zhuǎn)速度增大；當(dāng)運動員伸開雙臂或腿時，其轉(zhuǎn)動慣量增大，旋轉(zhuǎn)速度減小。

5 結(jié) 語

角動量守恒定律在諸多領(lǐng)域都有體現(xiàn)，是一個非常重要的理論，除了文中介紹的應(yīng)用外，生活中很多常見現(xiàn)象也蘊含著角動量守恒定律的知識，因此角動量守恒定律及其應(yīng)用研究非常重要。