小題大做，自有收獲——從一道小題引發(fā)的學(xué)習(xí)思考

湖南省懷化市湖天中學(xué) 楊疇遐

解題是增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的重要途徑，思路是否正確、方法是否合理、計(jì)算是否簡潔是高考得分高低的關(guān)鍵因素。在高考時(shí)刻，考生應(yīng)該小題小做以提高速度，但在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，也要注意小題大做來探索規(guī)律，積累經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到知一題而會(huì)一類。我喜歡理科，熱愛數(shù)學(xué)，經(jīng)常訂閱一些數(shù)學(xué)雜志，從中引發(fā)數(shù)學(xué)思考。

一、問題展示

在學(xué)習(xí)時(shí)，《直線與圓》一節(jié)中發(fā)現(xiàn)有這類填空題：

常規(guī)思路：1.設(shè)過P點(diǎn)的切線方程求出兩條切線；2.由切線方程和圓方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)；3.用兩點(diǎn)式求出過兩切點(diǎn)的連線方程。

二、問題反思

常規(guī)解法思路清晰，方法正確，然而過程復(fù)雜，計(jì)算量很大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，這絕不是我們所期望的。在課后學(xué)習(xí)中，我認(rèn)真思考，細(xì)心觀察，此類問題是否有簡潔解法。

在與同學(xué)討論中發(fā)現(xiàn)其結(jié)論類似于過圓上一點(diǎn)作圓的切線方程：x·x+y·y=r2 ，

在請教老師后，得到了如下解法：設(shè)兩切點(diǎn)為A（x1，y1）、B（x2，y2），則過A、B的兩條切線分別為：x1x+y1y=1 和x2x+y2y=1，又點(diǎn)P（2，1）在兩切線上，所以有：2x1+y1= 1，2x2+y2=1。

這說明點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）都在直線2x+y=1 上，而過兩點(diǎn)的直線有且只有一條，所以上題所求直線方程必為2x+y=1 。

上列解法“設(shè)而不求”，典雅別致，確有事半功倍之效，也正是我們所奢求的解法。

三、問題變更

上列解法是否具有特殊到一般的規(guī)律呢？

將上面的點(diǎn)P（2，1）改為P（x'，y'），如圖1。圓方程改為更一般的圓的方程：（x-a）2+（y-b）2=r2，點(diǎn)P還是在圓外，于是可得：過切點(diǎn)A、B的直線方程為：（x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2。

圖1

所以我們就有了一般結(jié)論：

結(jié)論：過圓外一點(diǎn)P（x'，y'）引圓（x-a）2+（y-b）2=r2的兩條切線 ，則過兩切點(diǎn)的連線方程為： （x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2（切點(diǎn)弦方程）。

這個(gè)結(jié)論和過圓上一點(diǎn)P所作出的圓的切線方程是多么相似啊！這個(gè)奇妙結(jié)論不僅體現(xiàn)了“設(shè)而不求”解法的精妙，也讓我感受到了數(shù)學(xué)世界特殊的簡潔之美。

四、學(xué)習(xí)反思

我們知道，點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系：圓上、圓外、圓內(nèi)?，F(xiàn)在又知道了這樣的結(jié)論：

對于點(diǎn)P（x'，y'）和圓（x-a）2+（y-b）2=r2，有：

①P在圓上→（x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2是過P點(diǎn)的圓的切線方程（與圓相切）；

②P在圓外→（x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2是由P點(diǎn)獲得的切點(diǎn)弦方程（與圓相交）；那么自然產(chǎn)生如下的問題：

③P在圓內(nèi)→（x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2有著怎樣的幾何意義呢？ 與圓有何關(guān)系？

由②的圖像引起思考（如圖2），利用射影定理易得OQ·OP=OA2=r2，所以結(jié)合①即得：點(diǎn)P和點(diǎn)Q是對應(yīng)點(diǎn)，故由點(diǎn)P所得的直線是過Q點(diǎn)且與直線OP垂直的直線。

再由②又看到圓外每一個(gè)點(diǎn)在對應(yīng)圓內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的同時(shí)也對應(yīng)著一條弦；反之，可看作圓中每一弦都對應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，那么，過P點(diǎn)的弦有無數(shù)條，這些對應(yīng)點(diǎn)有什么規(guī)律呢？

圖2

我們再次看看“設(shè)而不求”的作用吧：如圖3，設(shè)過P點(diǎn)的動(dòng)弦所對應(yīng)的點(diǎn)為Q（xQ，yQ），則動(dòng)弦AB的方程為：（xQ-a）（x-a）+（yQ-b）（y-b）=r2，

而點(diǎn)P在動(dòng)弦AB上，所以有：（xQ-a）（x'-a）+（yQ-b）（y'-b）=r2，這說明所有動(dòng)點(diǎn)都在直線（x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2上。

圖3

原來該直線竟然就是過P點(diǎn)的動(dòng)弦的對應(yīng)點(diǎn)的軌跡，也就是說，是以過P點(diǎn)的動(dòng)弦端點(diǎn)為切點(diǎn)的兩切線交點(diǎn)Q的軌跡方程。

五、思維發(fā)散

對于上述③的結(jié)論換一個(gè)看法，同時(shí)又引出了幾個(gè)新的思考：

1.將點(diǎn)Q看作是圓外的一直線上的動(dòng)點(diǎn)，則其對應(yīng)弦都是過點(diǎn)P的弦，同時(shí)這些弦的中點(diǎn)亦即點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)P'的軌跡是以該直線的對應(yīng)點(diǎn)與圓心為直徑的一個(gè)小圓。（如圖4）

2.若點(diǎn)Q是在與圓相離的圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)P'的軌跡是什么？點(diǎn)Q的對應(yīng)弦的軌跡有什么規(guī)律？（如圖5）

圖4

圖5

3.若點(diǎn)Q是在與圓內(nèi)含的圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)P'的軌跡是什么？點(diǎn)Q的對應(yīng)線的軌跡有什么規(guī)律？（如圖6）

圖6

4.若點(diǎn)Q是圓內(nèi)一弦上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)P'的軌跡是什么？點(diǎn)Q的對應(yīng)線的軌跡有什么規(guī)律？（如圖7）

圖7