一種基于壓縮感知和多維混沌系統(tǒng)的多過(guò)程圖像加密方案*

石航 王麗丹

1) (非線性電路與智能信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400715)

2) (西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院,重慶 400715)

3) (智能傳動(dòng)和控制技術(shù)聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室,重慶 400715)

4) (類腦計(jì)算與智能控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400715)

5) (重慶市腦科學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,重慶 400715)

6) (西南大學(xué)西塔學(xué)院,重慶 400715)

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的快速發(fā)展,信息的存儲(chǔ)和傳播常常在各類計(jì)算機(jī)硬件以及多種網(wǎng)絡(luò)之間進(jìn)行,傳統(tǒng)的信息加密方案已逐漸不再適用.因此,基于計(jì)算機(jī)的信息加密算法近年來(lái)逐步成為研究熱點(diǎn).通過(guò)結(jié)合小波包變換、壓縮感知、混沌系統(tǒng)等理論,一種基于壓縮感知和多維混沌系統(tǒng)的多過(guò)程圖像加密方案被提出.該加密方案實(shí)現(xiàn)了針對(duì)灰度圖像的壓縮和加密及對(duì)應(yīng)的解壓、解密過(guò)程.小波包變換理論被應(yīng)用到圖像的預(yù)處理階段對(duì)原始圖像進(jìn)行小波包分解,同時(shí)結(jié)合閾值處理方法對(duì)分解后所得的圖像信號(hào)分量進(jìn)行分類,并在之后的處理過(guò)程中根據(jù)圖像信號(hào)分量的特性對(duì)其有區(qū)分地進(jìn)行壓縮、加密或者保留.在圖像壓縮階段,引入壓縮感知算法克服傳統(tǒng)采樣定理采樣成本高及重構(gòu)質(zhì)量偏低等弊端.在圖像加密階段,結(jié)合多類、多維度混沌系統(tǒng)對(duì)相關(guān)圖像信號(hào)分量進(jìn)行置亂.最后,應(yīng)用壓縮、加密以及小波包變換的逆過(guò)程實(shí)現(xiàn)對(duì)原始圖像的完整重構(gòu).仿真結(jié)果表明,該圖像加密方案在抵抗外界干擾時(shí)憑借算法魯棒性有效地保護(hù)了密文圖像的基本信息,且在應(yīng)對(duì)明文攻擊等破解手段時(shí)不泄露任何有用信息.此外,經(jīng)該加密方案加密后的密文圖像的信息熵及相關(guān)系數(shù)等指標(biāo)相比于參考文獻(xiàn)中加密算法更加接近于理想值,其加密性能有明顯的提升.

1 引 言

針對(duì)數(shù)字圖像的加密方案往往要求密文圖像在視覺(jué)效果上不能暴露明文圖像的有效信息,且相鄰像素點(diǎn)間要具有極強(qiáng)的隨機(jī)性,因此,數(shù)字圖像加密方案往往會(huì)引入一些偽隨機(jī)過(guò)程處理數(shù)字圖像或使用一些偽隨機(jī)序列對(duì)圖像進(jìn)行編碼以達(dá)到加密的目的.眾所周知,混沌映射與混沌系統(tǒng)具有初值敏感性以及不可預(yù)測(cè)性等特點(diǎn),將混沌理論運(yùn)用到數(shù)字圖像加密中能夠得到相較于普通偽隨機(jī)過(guò)程更大的密鑰空間,進(jìn)而提高密文圖像的安全性.吳成茂[1]在離散Arnold映射的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)并應(yīng)用于圖像的置亂加密; Lin等[2]利用超混沌Chen系統(tǒng)提出了一種基于超混沌系統(tǒng)的圖像加密算法; Li等[3]通過(guò)結(jié)合二維Logistic系統(tǒng)與新二維離散系統(tǒng)提出一種能極大擴(kuò)展密鑰空間且增強(qiáng)安全性的圖像加密方案.這些研究成果充分說(shuō)明了在數(shù)字圖像加密方案引入混沌系統(tǒng)的可行性以及可靠性.

使用數(shù)字圖像存儲(chǔ)信息的缺陷在于其往往包含許多冗余的信息,因此,針對(duì)數(shù)字圖像的處理方案一般會(huì)引入圖像壓縮算法以減少處理過(guò)程中的數(shù)據(jù)量以提高算法的執(zhí)行效率,但是傳統(tǒng)的壓縮算法在實(shí)際應(yīng)用中往往存在采樣成本高、重構(gòu)質(zhì)量低的缺陷,對(duì)后續(xù)的圖像處理造成了負(fù)面影響.壓縮感知(compress sensing,CS)作為一種新興的壓縮理論指出在被采樣信號(hào)為稀疏信號(hào)的前提下,可以通過(guò)遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)采樣定理的采樣率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣和重構(gòu)[4],因此壓縮感知理論非常適合運(yùn)用在較為復(fù)雜的圖像處理方案中.Chai等[5]和Zhu等[6]在數(shù)字圖像加密方案中引入了壓縮感知理論,實(shí)現(xiàn)了在較少數(shù)據(jù)量下對(duì)明文圖像進(jìn)行加密處理,在極大地改善加密算法的執(zhí)行效率的同時(shí),仍保證了加密方案的安全性.

本文提出了一種基于壓縮感知和混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密方案,通過(guò)引入壓縮感知理論,對(duì)部分圖像信號(hào)分量進(jìn)行壓縮處理,減少了加密過(guò)程中需要處理的數(shù)據(jù)量,降低了原始圖像信息在處理過(guò)程中的損耗.同時(shí),使用多維混沌系統(tǒng)對(duì)待加密的圖像信號(hào)分量進(jìn)行像素?cái)U(kuò)散、置亂,利用多維混沌系統(tǒng)的隨機(jī)性保證了密文圖像的安全性.該圖像加密方案能夠在改善算法執(zhí)行效率的同時(shí),保證密文圖像的可靠性.

2 一種新的基于壓縮感知和混沌系統(tǒng)的圖像加密方案

2.1 圖像預(yù)處理：基于小波包變換的圖像分解法和自適應(yīng)分類

在數(shù)字圖像加密方案中,小波包變換(wavelet packet transform,WPT)經(jīng)常被運(yùn)用在預(yù)處理階段對(duì)明文圖像進(jìn)行分解進(jìn)而得到不同的圖像信號(hào)分量以消除一些對(duì)于后續(xù)處理步驟不利的負(fù)面因素及提高圖像處理方案整體的運(yùn)行效率.本文采用離散二階小波包變換對(duì)明文圖像進(jìn)行分解,并對(duì)分解后的圖像信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)分類處理以減少圖像的冗余信息對(duì)圖像處理效果的影響[7-9].以Lena圖像為例,其離散二階小波包變換如圖1所示.

圖1 Lena圖像及其二階小波包變換 (a)原圖; (b)二階小波包變換Fig.1.Lena and its second-order wavelet packet transformation：(a) Original Lena; (b) second order wavelet packet transformation of Lena.

圖1(b)中左上角的信號(hào)分量包含了原始圖像中的大部分能量,因此,該信號(hào)將作為圖像加密處理的主體信號(hào),記為S.

對(duì)于剩下的15個(gè)信號(hào)分量,先對(duì)其進(jìn)行閾值處理.針對(duì)于每一個(gè)信號(hào)分量,根據(jù)下列公式計(jì)算其均值E：

其中xi為信號(hào)分量矩陣的其中一個(gè)元素,n為一個(gè)信號(hào)分量矩陣所包含的元素個(gè)數(shù).

在得到這15個(gè)信號(hào)分量的均值后,選擇最大的一個(gè)均值Emax,再結(jié)合下列公式對(duì)這15個(gè)信號(hào)分量矩陣中的元素進(jìn)行閾值處理：

完成圖像信號(hào)分量的閾值處理后,再次計(jì)算每一個(gè)信號(hào)分量的均值Ei',除此之外,針對(duì)每個(gè)信號(hào)分量計(jì)算其信息熵(香農(nóng)熵,Shannon entropies)SEi,再結(jié)合圖2所示的算法對(duì)剩余的15個(gè)信號(hào)分量進(jìn)行分類處理(E'表示經(jīng)閾值處理后除S信號(hào)以外的所有信號(hào)分量像素值的均值).

圖2中,Zi信號(hào)表示均值為0的圖像信號(hào)分量,該類分量沒(méi)有存儲(chǔ)原始圖像任何有用的信息,在后續(xù)處理過(guò)程中不會(huì)涉及,可直接丟棄; Oi信號(hào)代表均值小于E'的圖像信號(hào)分量,這部分信號(hào)存儲(chǔ)了原始圖像的部分有效信息量,為保證對(duì)原始圖像的完美的重構(gòu),在后續(xù)處理過(guò)程中需保留該部分信號(hào),但不做任何處理; Ci信號(hào)作為第四類圖像信號(hào)分量,其相比于Oi信號(hào)包含了原始圖像更多的有效信息.因此,考慮對(duì)Ci信號(hào)采用壓縮感知算法進(jìn)行壓縮處理以減少后續(xù)處理過(guò)程中的數(shù)據(jù)量,進(jìn)而提高加密方案整體的運(yùn)行效率.

圖2 分類算法流程圖Fig.2.Flow chart of classification algorithm.

對(duì)于Lena圖像而言,在對(duì)其16個(gè)圖像信號(hào)分量進(jìn)行閾值處理分類后,得到了1個(gè)S信號(hào),0個(gè)Zi信號(hào),7個(gè)Oi信號(hào),8個(gè)Ci信號(hào).

2.2 一種新的基于壓縮感知和多維混沌系統(tǒng)的圖像加密方案

2.2.1 基于壓縮感知的圖像壓縮算法

本節(jié)主要針對(duì)2.1節(jié)中得到的8個(gè)Ci圖像信號(hào)分量進(jìn)行壓縮處理[10-12].前文中已經(jīng)說(shuō)明壓縮感知理論應(yīng)用的前提在于待壓縮信號(hào)是稀疏信號(hào),對(duì)于圖像信號(hào)而言,其0像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以簡(jiǎn)單地反映其稀疏度,現(xiàn)對(duì)8個(gè)Ci信號(hào)中的0像素點(diǎn)個(gè)數(shù)及占比進(jìn)行考察,結(jié)果列于如表1.

由表1中0像素點(diǎn)占比一列可知,8個(gè)Ci信號(hào)中0像素點(diǎn)占比最低為8.03%,最高為22.39%,因此可以認(rèn)為這8個(gè)Ci信號(hào)是稀疏的,可以直接進(jìn)行壓縮感知的隨機(jī)亞采樣操作.

本文采用高斯隨機(jī)矩陣作為對(duì)Ci信號(hào)進(jìn)行隨機(jī)亞采樣的測(cè)量矩陣,在后續(xù)針對(duì)壓縮信號(hào)的重構(gòu)過(guò)程中,應(yīng)用正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit,OMP)作為重構(gòu)算法對(duì)已壓縮的信號(hào)分量進(jìn)行重構(gòu),最終得到與Ci信號(hào)等數(shù)量、等尺寸的解壓信號(hào)DCi.

表1 Lena圖像Ci信號(hào)分量0像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)及占比Table 1.The number and proportion of 0 pixels in Ci signals in Lena.

2.2.2 基于多維混沌系統(tǒng)的圖像加密算法

置亂過(guò)程單一的圖像加密算法往往具有密文圖像的安全性較差的缺陷,進(jìn)而無(wú)法對(duì)明文圖像的信息進(jìn)行有效的保護(hù).本文在一般的單次置亂圖像加密算法的基礎(chǔ)上,引入了二次置亂加密以保證加密算法的安全性.其中,一次置亂加密算法的流程圖如圖3所示.

引入如(3)式所示的四階Colpitts混沌系統(tǒng)[13]作為圖3中的混沌系統(tǒng)1,取系統(tǒng)初值為[0.01,0.02,0.03,0.04].

式中,α1=2.86,α2=19.0,βF=200,β1=2.86,β2=3.11,β3=1,β4=17.38,γ1=57.14,γ2=20.0,γ3=381,δ=5.48; f(y)=0.5(y - 1+|y+1|)為非線性函數(shù).

對(duì)Colpitts混沌系統(tǒng)進(jìn)行一段時(shí)間的迭代后共可得到四組等長(zhǎng)的偽隨機(jī)序列xi,yi,zi,wi[14],隨機(jī)選取其中的三組混沌序列在某個(gè)隨機(jī)時(shí)刻的取值xt,yt,zt,將這三個(gè)隨機(jī)數(shù)的值限制在區(qū)間[0.01 0.1]內(nèi)得到初始密鑰[x0,y0,z0].此時(shí)引入如(4)式所示的三階Chen混沌系統(tǒng)[15]作為圖3中的混沌系統(tǒng)2,其系統(tǒng)初值即為[x0,y0,z0].

圖3 一次置亂加密流程圖Fig.3.One scrambling encryption algorithm flow chart.

式中,α=10,β=15,m0=-1/7,m1=2/7,f(x)=m1x+0.5(m0-m1)(|x+1|+|x-1|)為三段非線性函數(shù).

對(duì)Chen系統(tǒng)進(jìn)行一段時(shí)間的迭代得到三組等長(zhǎng)的偽隨機(jī)序列xi,yi,zi,在這三組偽隨機(jī)序列中隨機(jī)選取兩個(gè)數(shù)取整后得到a,b,代入如 (5) 式所示的數(shù)字化Arnold映射中：

在人為指定映射迭代的次數(shù)后(一般為2-3次),根據(jù) (5) 式對(duì)S信號(hào)進(jìn)行錯(cuò)切變換及切割回填操作實(shí)現(xiàn)對(duì)S信號(hào)的初步加密,得到初步加密信號(hào)E1,如圖4(a)所示.

圖4 S信號(hào)的密文圖像 (a) 一次置亂密文圖像; (b) 二次置亂密文圖像Fig.4.Ciphertext image of the S signal：(a) Scrambling ciphertext image once; (b) secondary scrambling ciphertext image.

在完成S信號(hào)的一次置亂加密后,根據(jù)如圖5所示的二次置亂加密流程圖對(duì)S信號(hào)進(jìn)行二次置亂加密.

其中,密鑰流k由下列公式計(jì)算得到：

式中[xi]表示對(duì)xi進(jìn)行向下取整操作.通過(guò)該加密算法所得的密文圖像E2如圖4(b)所示,可以看到其在視覺(jué)效果上較好地實(shí)現(xiàn)了隱藏明文圖像信息的功能.該加密算法的性能將在下一節(jié)的算法性能分析中進(jìn)行討論,其對(duì)應(yīng)的解密過(guò)程為加密過(guò)程的逆運(yùn)算.

2.2.3 圖像重構(gòu)：基于小波包變換的逆運(yùn)算

針對(duì)原始圖像的重構(gòu)需結(jié)合未經(jīng)處理的圖像信號(hào)分量以及經(jīng)壓縮、加密算法處理后的各類圖像信號(hào)分量,圖像的重構(gòu)過(guò)程如圖6所示.

對(duì)于Lena圖像,由于其經(jīng)小波包變換后的圖像信號(hào)分量不包含Zi信號(hào),因此,其重構(gòu)過(guò)程中只需結(jié)合解密后的圖像信號(hào)分量,解壓后的圖像信號(hào)分量以及Oi圖像信號(hào)分量進(jìn)行二階離散逆小波包變換即可實(shí)現(xiàn)可對(duì)Lena圖像的完全重構(gòu),Lena圖像與其重構(gòu)圖像如圖7所示.

為方便之后對(duì)算法性能進(jìn)行對(duì)比分析,本文還對(duì)除Lena圖像以外的2幅圖像進(jìn)行了相同的操作,結(jié)果如圖8所示.

3 算法性能分析

3.1 密鑰空間分析

對(duì)于一種加密算法而言,密鑰空間是其加密性能的一種直觀的體現(xiàn),一般情況下,密鑰空間范圍越大的加密算法,在應(yīng)對(duì)蠻力攻擊等非法解密手段時(shí)往往能夠表現(xiàn)出良好的抵御性能.本文中所使用的加密算法在保證混沌系統(tǒng)始終位于混沌狀態(tài)的前提下,利用4階Colpitts超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生Chen系統(tǒng)的控制參數(shù)c及初始值x0,y0,z0,雖然數(shù)字仿真降低了混沌系統(tǒng)的隨機(jī)性,但是作為4階超混沌系統(tǒng),它在足夠的計(jì)算精度下同樣具有較大范圍的密鑰空間.同時(shí),當(dāng)Colpitts混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)及初始值發(fā)生變化時(shí),Chen系統(tǒng)的控制參數(shù)及初始值也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化,故之后用于圖像加密的密鑰流也會(huì)發(fā)生變換.除此之外,Colpitts系統(tǒng)的迭代次數(shù)也會(huì)影響Chen系統(tǒng)密鑰流的產(chǎn)生.因此,本文加密算法的密鑰空間是比較廣泛的,蠻力攻擊無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)被加密圖像的有效解密.

圖5 S信號(hào)二次置亂加密流程圖Fig.5.Secondary scrambling encryption flow chart of S signal.

圖6 圖像重構(gòu)流程圖Fig.6.Image reconstruction flow chart.

圖7 Lena圖像的明文圖像、重構(gòu)圖像 (a)原始圖像;(b) Lena重構(gòu)圖像Fig.7.Original,reconstructed image of Lena：(a) Original image; (b) reconstructed image.

圖8 更多加密方案運(yùn)行實(shí)例 (a) Pepper原始圖像;(b) Pepper重構(gòu)圖像; (c) Cameraman原始圖像; (d) Cameraman重構(gòu)圖像Fig.8.More encryption scheme running examples：(a) Original image of Pepper; (b) reconstructed image of Pepper;(c) original image of Cameraman; (d) reconstructed image of Cameraman.

3.2 相關(guān)性分析

在密碼學(xué)中,混淆(confusion)與擴(kuò)散(diffusion)是加密文件的兩種主要方法.對(duì)于一般的數(shù)字圖像,其相鄰像素點(diǎn)之間會(huì)表現(xiàn)出很高的相關(guān)性,然而,對(duì)于一幅理想的密文圖像,其相鄰像素點(diǎn)之間應(yīng)該不具有任何相關(guān)性,即各方向上相鄰像素點(diǎn)間的相關(guān)系數(shù)為0.因此,密文圖像在各方向上相鄰像素點(diǎn)間的相關(guān)系數(shù)可以作為評(píng)價(jià)一個(gè)圖像加密算法優(yōu)劣的重要指標(biāo).

一般在水平方向、垂直方向和斜線方向來(lái)計(jì)算一幅數(shù)字圖像相鄰像素點(diǎn)間的相關(guān)系數(shù),相關(guān)系數(shù)R的計(jì)算公式如下：

表2列出了本文所使用的三幅圖像的S信號(hào)在加密前后在三個(gè)方向上的相關(guān)系數(shù).此外,表2中還列出了參考文獻(xiàn)[16,17]中的明文圖像(S信號(hào))、密文圖像對(duì)應(yīng)的三個(gè)方向上的相關(guān)系數(shù)作為對(duì)比.其中,每一項(xiàng)絕對(duì)值最小的相關(guān)系數(shù)已用藍(lán)色粗體標(biāo)出.

此外,為更加直觀地表示數(shù)字圖像相鄰像素點(diǎn)間的相關(guān)性,本文引入了數(shù)字圖像的相關(guān)性分布圖,Lena,Pepper,Cameraman的明文圖像(S信號(hào))、密文圖像在三個(gè)方向上的相關(guān)性分布圖如圖9-圖11所示.

結(jié)合表2中數(shù)據(jù)及相關(guān)性分布圖可知,經(jīng)由本文加密算法得到的密文圖像的像素點(diǎn)在三個(gè)方向上均近似地表現(xiàn)為隨機(jī)分布,有效地對(duì)明文圖像進(jìn)行了置亂.同時(shí),比較由本文算法與參考文獻(xiàn)[16,17]的算法得到的密文圖像的相關(guān)系數(shù),由表2中的數(shù)據(jù)可以直觀地看到,本文的加密算法相較于參考文獻(xiàn)[16,17]中的加密算法使得圖像的像素點(diǎn)更趨近于理想的隨機(jī)分布,增強(qiáng)了保密性.

表2 比較不同加密方案的相關(guān)系數(shù)Table 2.Comparisons for the correlation coefficients of different encryption scheme.

圖9 Lena圖像的明文(S信號(hào))、密文圖像在水平、豎直、斜線三個(gè)方向的相關(guān)分布圖 (a)明文圖像相關(guān)分布圖; (b) S信號(hào)的密文圖像相關(guān)分布圖Fig.9.Correlation distribution of plaintext,ciphertext image in horizontal,vertical and oblique directions of S signal of Lena：(a) Correlation distribution of plaintext of S signal; (b) correlation distribution of ciphertext of S signal.

3.3 信息熵分析

信息熵反映了一幅數(shù)字圖像所包含的信息的不確定性.對(duì)于一幅數(shù)字圖像而言,其信息熵越大,表示其所包含的信息的不確定性越大,數(shù)字圖像的信息熵的定義式如下：

其中,L表示一幅圖像的灰度等級(jí),p(i)表示灰度值i出現(xiàn)的概率.對(duì)于一幅灰度等級(jí)L=256的密文圖像而言,IE的理論值為8,在這種情況下,該密文圖像在未經(jīng)解密的情況下將不會(huì)泄露任何有用信息.表3記錄了三種加密方案下三幅圖像的明文圖像 (S信號(hào))、密文圖像的信息熵,每幅密文圖像對(duì)應(yīng)的最大信息熵已用藍(lán)色粗體標(biāo)出.

觀察表3中的數(shù)據(jù)(“-”表示相同數(shù)值),三種加密方案下密文圖像的信息熵均接近理想值8,本文所提出的加密算法在加密Lena,Pepper的S信號(hào)時(shí)均得到了最大的信息熵值.此外,Cameraman的S信號(hào)經(jīng)由本文加密算法處理得到的密文圖像的信息熵?cái)?shù)值也是十分接近最大值的.因此,可以認(rèn)為本文的加密方案能夠較好地對(duì)明文圖像(S信號(hào))的像素點(diǎn)進(jìn)行置亂,掩蓋明文圖像信息.

圖10 Pepper圖像的明文(S信號(hào))、密文圖像在水平、豎直、斜線三個(gè)方向的相關(guān)分布圖 (a)明文圖像相關(guān)分布圖; (b) S信號(hào)的密文圖像相關(guān)分布圖Fig.10.Correlation distribution of plaintext,ciphertext image in horizontal,vertical and oblique directions of S signal of Pepper：(a) Correlation distribution of plaintext of S signal; (b) correlation distribution of ciphertext of S signal.

圖11 Cameraman圖像的明文(S信號(hào))、密文圖像在水平、豎直、斜線三個(gè)方向的相關(guān)分布圖 (a)明文圖像相關(guān)分布圖;(b) S信號(hào)的密文圖像相關(guān)分布圖Fig.11.Correlation distribution of plaintext,ciphertext image in horizontal,vertical and oblique directions of S signal of Cameraman：(a) Correlation distribution of plaintext of S signal; (b) correlation distribution of ciphertext of S signal.

表3 比較不同加密方案的信息熵Table 3.Comparisons for the entropy of different encryption scheme.

3.4 直方圖分析

灰度直方圖(histogram)是灰度級(jí)的函數(shù),它表示圖像中具有每種灰度級(jí)的像素的個(gè)數(shù),反映圖像中每種灰度出現(xiàn)的頻率[18].一般而言,灰度直方圖的橫坐標(biāo)是灰度級(jí),縱坐標(biāo)是該灰度級(jí)出現(xiàn)的頻率,它是圖像的最基本的統(tǒng)計(jì)特征[7].本節(jié)將基于圖像的S信號(hào)對(duì)應(yīng)的明文、密文的直方圖,對(duì)本文的加密算法進(jìn)行評(píng)價(jià),各圖像對(duì)應(yīng)的灰度直方圖如圖12所示.

觀察圖12可以發(fā)現(xiàn),本文的加密算法對(duì)明文圖像的灰度分布進(jìn)行了一個(gè)較好的均衡過(guò)程,使得密文圖像的灰度值比較均勻地分布于整個(gè)灰度值區(qū)間上,隱藏了明文圖像的灰度分布特性.

3.5 差分攻擊分析[19]

差分攻擊分析是密碼分析領(lǐng)域最常用的一種破譯手段,這種方法通過(guò)對(duì)明文進(jìn)行輕微修改以獲得相應(yīng)的密文,并通過(guò)修改后的密文與原密文之間的差異聯(lián)系來(lái)破譯密碼系統(tǒng).本節(jié)中通過(guò)引入像素改變率(number of pixel change rate,NPCR)、一致平均改變密度(unified average changing intensity,UACI)、塊平均改變密度(block average changing intensity,BACI)等三個(gè)指標(biāo)定量分析加密方案抵抗差分攻擊的性能.

圖12 Lena,Pepper,Cameraman圖像的S信號(hào)的明文、密文的灰度直方圖 (a) S信號(hào)的明文灰度直方圖; (b) S信號(hào)的密文圖像相關(guān)分布圖Fig.12.Gray histogram of plaintext and ciphertext of S signal of Lena,Pepper,Cameraman：(a) Gray histogram of plaintext of S signal; (b) gray histogram of plaintext of ciphertext of S signal.

設(shè)P1,P2是兩幅僅有一位像素點(diǎn)不同的密文圖像,定義密文圖像P1,P2的NPCR如下：

其中P1(i,j)為密文圖像P1中位置(i,j)處的像素值,P2(i,j)為密文圖像P1中位置(i,j)處的像素值,Sign(·)為符號(hào)函數(shù),其函數(shù)表達(dá)式如下：

對(duì)于兩幅尺寸相等,灰度級(jí)為255的隨機(jī)圖像,這兩幅圖像在一點(diǎn)處的像素值相等的概率反之不同的概率且由于點(diǎn)的選取的任意性,可將兩幅圖像的NPCR的期望值近似為

然而,若兩幅圖像在每個(gè)對(duì)應(yīng)位置處的像素值均只有微小差別,此時(shí)雖然兩幅圖像的NPCR為理想值,但是兩幅圖像在視覺(jué)上的差別較小,這說(shuō)明以NPCR作為衡量?jī)煞鶊D像差別的指標(biāo)具有片面性.因此,本文引入U(xiǎn)ACI來(lái)彌補(bǔ)這一不足,UACI定義為

然而,當(dāng)NPCR=1,UACI≈0.3346 (理論值)時(shí),兩幅圖像仍有可能出現(xiàn)近似的效果,故本文再引入BACI來(lái)解決這一問(wèn)題,BACI定義式如下：

其中,mi由下式定義：

(13)式中,di1,di2,di3,di4是矩陣中的元素,而矩陣Di是由矩陣D=|P1- P2|分解成的(M-1)×(N-1)個(gè)尺寸為2×2的子矩陣得到的,分析可得BACI的理論值為0.2840.針對(duì)不同圖像計(jì)算的NPCR,UACI,BACI的數(shù)值在表4中列出.

表4 修改1 bit像素點(diǎn)后不同圖像(S信號(hào))的NPCR,UACI,BACITable 4.NPCR,UACI,BACI of different images after changed 1 bit.

由表4中數(shù)據(jù)可知,在一定的誤差范圍內(nèi),針對(duì)Lena,Pepper,Cameraman圖像的NPCR,UACI,BACI的數(shù)值均接近指標(biāo)的理想值,這說(shuō)明本文所提出的加密算法能夠較好地抵御差分攻擊.

3.6 魯棒性分析

對(duì)于數(shù)字圖像加密方案而言,噪聲與非法攻擊一直是影響圖像重構(gòu)質(zhì)量的首要因素,因此本節(jié)將基于三幅圖像,通過(guò)向密文圖像引入噪聲及裁剪像素的方式分析本文加密方案的魯棒性.

圖13顯示了向三幅圖像對(duì)應(yīng)的S信號(hào)密文中嵌入密度為0.05的椒鹽噪聲后,以帶噪聲的密文圖像為基礎(chǔ)對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)的結(jié)果.圖14顯示了對(duì)三幅圖像的S信號(hào)的密文進(jìn)行像素剪切,以裁剪后的密文圖像為基礎(chǔ)對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)的結(jié)果.為突出差異性,本文采用了兩種形狀的剪切,使得密文圖像以不同的形狀丟失了大約12.5%的像素值.對(duì)比受到噪聲污染或剪切攻擊的重構(gòu)圖像與正常情況下的重構(gòu)圖像(與圖6、圖7對(duì)比),盡管噪聲污染和剪切攻擊在最終的重構(gòu)圖像上產(chǎn)生了一定的影響,但是算法仍能夠保證圖像的基本信息不被損壞,即圖像的布局和輪廓信息依然是可見(jiàn)的,這說(shuō)明本文所提出加密方案能夠抵抗一定程度的噪聲污染及剪切攻擊.

3.7 選擇明文攻擊分析

在密碼學(xué)中,一個(gè)合格的加密算法至少能夠抵抗選擇明文攻擊(chosen plain-text attack,CPA)[20,21],本節(jié)將通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的過(guò)程來(lái)驗(yàn)證本文的加密算法能夠抵御選擇明文攻擊.

圖13 不同圖像的S信號(hào)嵌入噪聲后的重構(gòu)結(jié)果 (a) Lena原始圖像、嵌入噪聲的S信號(hào)密文、重構(gòu)圖像; (b) Pepper原始圖像、嵌入噪聲的S信號(hào)密文、重構(gòu)圖像; (c) Cameraman原始圖像、嵌入噪聲的S信號(hào)密文、重構(gòu)圖像Fig.13.Reconstruction results of S signals of different images embedded with noise：(a) Reconstruction results of Lena with corresponding Cipher S signal embedded noise; (b) reconstruction results of Pepper with corresponding Cipher S signal embedded noise;(c) reconstruction results of Cameraman with corresponding Cipher S signal embedded noise.

定義P1為像素點(diǎn)全部為0的灰度圖像,P2為僅一個(gè)像素點(diǎn)與P1不同的灰度圖像,且P1,P2的尺寸相同.使用本文提出的加密算法對(duì)P1,P2分別進(jìn)行加密得到其對(duì)應(yīng)的密文圖像C1,C2.此時(shí),定義P3=| P1- P2|,C3=|C1- C2|,上述6幅圖像如圖15所示.

由圖15可知,在使用本文加密算法對(duì)圖像加密的前提下,外界無(wú)法通過(guò)選擇明文攻擊從而獲取任何有效信息,進(jìn)一步說(shuō)明了本文加密方案的有效性.

3.8 圖像重構(gòu)質(zhì)量分析

圖像的重構(gòu)質(zhì)量是判斷一種圖像處理算法是否合格的重要指標(biāo),本文所提出的加密方案在壓縮與重構(gòu)、加密與解密兩個(gè)環(huán)節(jié)中均對(duì)圖像進(jìn)行了較多的處理和干預(yù),因此,本節(jié)通過(guò)引入一些數(shù)值指標(biāo)作為根據(jù)來(lái)衡量本文加密方案的圖像重構(gòu)質(zhì)量.

權(quán)重峰值信噪比(weighted peak signal to noise ratio,wPSNR)是用于衡量圖像重構(gòu)質(zhì)量的有力指標(biāo),wPSNR的定義式如下：

其中,wMSE被稱為權(quán)重均方差 (weighted mean squared error),其表達(dá)式如下：

其中,f(x,y),f′(x,y) 分別表示原始圖像、重構(gòu)圖像在(x,y)位置處的像素值,w(x,y)表示圖像位于(x,y)處的像素點(diǎn)所在子帶的權(quán)重系數(shù).

圖14 不同圖像的S信號(hào)像素剪切后的重構(gòu)結(jié)果 (a) Lena原始圖像、剪切12.5%像素點(diǎn)后的S信號(hào)密文、重構(gòu)圖像;(b) Pepper原始圖像、剪切12.5%像素點(diǎn)后的S信號(hào)密文、重構(gòu)圖像; (c) Cameraman原始圖像、剪切12.5%像素點(diǎn)后的S信號(hào)密文、重構(gòu)圖像Fig.14.Reconstruction results of S signals of different images after pixel shearing：(a) Reconstruction results of Lena with corresponding Cipher S signal with 12.5% pixels lost; (b) reconstruction results of Pepper with corresponding Cipher S signal with 12.5%pixels lost; (c) reconstruction results of Cameraman with corresponding Cipher S signal with 12.5% pixels lost.

圖15 針對(duì)本文加密算法的選擇明文攻擊Fig.15.The CPA against the encryption algorithm in this paper.

除此之外,本節(jié)還引入了結(jié)構(gòu)相似度(structural similarity,SSIM)[19]這一指標(biāo)來(lái)衡量圖像質(zhì)量的損壞程度,通過(guò)計(jì)算原始圖像以及重構(gòu)后圖像的SSIM予以評(píng)價(jià),SSIM的定義式為：

表5列出了在壓縮比為4∶3時(shí),三幅圖像的原始圖像及重構(gòu)圖像的wPSNR和SSIM.分析表中的結(jié)果可知,本文提出的圖像加密方案在允許的誤差范圍下能夠較好地對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu).當(dāng)然,對(duì)于Cameraman這類帶有純色背景的圖像,其重構(gòu)效果從會(huì)差于具有像Lena,Pepper這類包含更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)、信息的圖像.

表5 本文算法處理下不同圖像的wPSNR和SSIMTable 5.wPSNR and SSIM of different images after processed by scheme in this paper.

3.9 時(shí)間復(fù)雜度分析

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中,算法的時(shí)間復(fù)雜度是一個(gè)函數(shù),它定性地描述了一個(gè)算法的運(yùn)行時(shí)間.因此,算法的時(shí)間復(fù)雜度也是衡量一個(gè)算法整體性能的必不可少的指標(biāo).使用本文加密方案處理三幅圖像所耗時(shí)間如表6所示.

由表6中數(shù)據(jù)可知,在使用本文的圖像加密算法處理不同的圖像時(shí),除針對(duì)Ci信號(hào)的壓縮及重構(gòu)過(guò)程的耗時(shí)存在較大波動(dòng)外,其余階段的耗時(shí)均處在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的水平.分析可知在對(duì)Ci信號(hào)的壓縮及重構(gòu)過(guò)程中,算法時(shí)間復(fù)雜度與Ci信號(hào)的數(shù)量表現(xiàn)為正相關(guān)的關(guān)系,在一定程度上會(huì)降低算法的運(yùn)行效率,這是需要進(jìn)一步研究并解決的問(wèn)題.綜上所述,本文算法在處理尺寸中等或偏小的圖像時(shí),算法效率較高,若圖像的Ci信號(hào)數(shù)量較多,算法效率會(huì)降低.

表6 本文算法處理不同圖像時(shí)的時(shí)間復(fù)雜度Table 6.Algorithm proposed deals with the time complexity of different images.

4 總 結(jié)

本文提出了一種基于壓縮感知及多維混沌系統(tǒng)的圖像加密方案,通過(guò)引入多維混沌系統(tǒng)有效地增強(qiáng)了密文圖像的可靠性,使其相關(guān)系數(shù)以及信息熵等反映密文圖像保密性能的指標(biāo)更趨近于理想值.此外,本文引入新興的壓縮感知理論,將其運(yùn)用在圖像的壓縮處理階段,有效地減少了包括加密數(shù)據(jù)量以及運(yùn)行時(shí)間在內(nèi)的算法整體的運(yùn)行成本,提高了算法的可行性.除此之外,本文借助包括閾值處理及分類處理等圖像的預(yù)處理算法也充分提高了算法的運(yùn)行效率,使得算法運(yùn)行的時(shí)間成本保持在較低水平.在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證環(huán)節(jié),本文通過(guò)對(duì)三幅圖像的處理,結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出的算法的可行性及進(jìn)步性,同時(shí)也為壓縮感知理論與混沌理論的結(jié)合在信息安全領(lǐng)域應(yīng)用提供了一定的參考.