動力翼傘系統(tǒng)擬坐標(biāo)形式的多體動力學(xué)建模

張青斌， 高峰， 郭銳， 豐志偉， 葛健全

(1.國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院， 湖南 長沙 410073； 2.96796部隊(duì)， 吉林 白山 135200)

0 引言

翼傘系統(tǒng)不僅具有折疊體積小、質(zhì)量輕的優(yōu)點(diǎn)，而且擁有優(yōu)良的操穩(wěn)和滑翔性能，可以在一定初始偏差和風(fēng)場等干擾條件下實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)無損著陸，廣泛應(yīng)用于高空投放、遠(yuǎn)距離滲透和精確著陸等任務(wù)中，具有極大的軍事和民用價(jià)值。目前國外研發(fā)了一系列頗具代表性的空投系統(tǒng)，例如美國Atair Aerospace 公司研制的自主導(dǎo)航空投系統(tǒng)、美國Strong Enterprises公司研制的Screamer空投系統(tǒng)、美國Alabama大學(xué)和海軍研究院聯(lián)合研發(fā)的Snowflake空投系統(tǒng)，以及加拿大米斯特機(jī)動綜合系統(tǒng)技術(shù)公司研制的Sherpa系統(tǒng)和德國Cassidian公司研制的Paralander空投系統(tǒng)等[1]。上述空投系統(tǒng)能完成從數(shù)千克到數(shù)十噸的貨物精確空投，落點(diǎn)偏差甚至在幾十米以內(nèi)。翼傘空投系統(tǒng)已成為世界各軍事強(qiáng)國空投技術(shù)的發(fā)展方向，但是由于理論研究難度大且技術(shù)復(fù)雜，目前世界上掌握精確空投核心技術(shù)并有產(chǎn)品正式列裝的國家較少。

翼傘系統(tǒng)飛行動力學(xué)是開展翼傘系統(tǒng)設(shè)計(jì)研制的理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[2-3]建立了多種自由度的翼傘多體動力學(xué)模型，分析了展弦比、后緣下拉方式、安裝角及系統(tǒng)長度對雀降性能的影響。Goodrick[4]提出并建立了翼傘和回收物剛性連接的6自由度模型，研究了翼傘系統(tǒng)縱向運(yùn)動的穩(wěn)定性和飛行性能。Zhang等[5]在建立翼傘6自由度模型基礎(chǔ)上，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了6自由度模型的可行性，用該模型仿真得到了翼傘各項(xiàng)參數(shù)變化對翼傘飛行狀態(tài)的影響。Slegers[6-7]建立了9自由度多體動力學(xué)模型，分析了安裝角、傘衣彎曲度及后緣下偏量對翼傘側(cè)向運(yùn)動的影響。蔣萬松等[8]采用Lagrange乘子法建立了兩體8自由度動力學(xué)仿真模型，并通過空投試驗(yàn)驗(yàn)證了仿真模型的有效性。Meirovitch[9]利用分布系統(tǒng)的擴(kuò)展哈密頓原理，導(dǎo)出混合系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)Lagrange方程，隨后以擬坐標(biāo)表示剛體運(yùn)動，將混合系統(tǒng)的2階Lagrange方程轉(zhuǎn)化為一組適用于控制的狀態(tài)方程。陳建平等[10]通過引入Lagrange乘子，獲得了大型翼傘系統(tǒng)封閉的飛行動力學(xué)方程組，對某大型翼傘系統(tǒng)飛行動力學(xué)過程進(jìn)行了數(shù)值仿真。楊海鵬等[11]假定傘繩和吊帶分別通過鉸鏈與翼傘和載荷相連，考慮了傘繩和吊帶的彈性以及傘繩相交點(diǎn)與傘衣的相對運(yùn)動，通過建模仿真得到了吊帶、傘繩交點(diǎn)運(yùn)動的情況。

但是在目前文獻(xiàn)中，還很少有關(guān)于載荷連接模式和穩(wěn)定性的研究成果。為此，本文借鑒航天器多柔體動力學(xué)建模，以某動力的彈載翼傘系統(tǒng)為工程背景(見圖1)，考慮傘繩、載荷吊帶的連接方式，針對翼傘穩(wěn)定飛行的運(yùn)動特性，將傘衣和載荷簡化為剛體，傘繩和吊帶交匯點(diǎn)處理為質(zhì)點(diǎn)；分析翼傘系統(tǒng)各體的受力特性，給出了翼傘多項(xiàng)式形式的氣動表達(dá)式；將各體平動速度、角速度作為18自由度擬坐標(biāo)，采用Lagrange擬速度形式的建模原理[12]，建立了18自由度的動力學(xué)模型。利用空投試驗(yàn)證明了模型的有效性，仿真分析下拉后緣、突風(fēng)擾動和不同吊掛模式下的相對運(yùn)動特性，對比了6自由度單剛體和18自由度多體動力學(xué)模型的仿真結(jié)果。

圖1 某小型翼彈載系統(tǒng)Fig.1 A small wing projectile-borne parafoil system

1 模型描述

如圖2所示，翼傘系統(tǒng)4體模型主要包括傘衣、傘繩、吊帶和載荷部分。本文將穩(wěn)定飛行狀態(tài)下的傘衣、載荷以及2個(gè)連接點(diǎn)作為4個(gè)剛體，傘衣和載荷分別記為剛體A和剛體B；傘繩和吊帶的交匯點(diǎn)簡化為質(zhì)點(diǎn)，記為L和R；傘繩簡化為4根繩索LA1、RA2、RA3和LA4，吊帶簡化為4根繩索LB1、RB2、RB3和LB4. 上述多剛體模型中剛體A和B分別有6個(gè)自由度，質(zhì)點(diǎn)L和質(zhì)點(diǎn)R分別有3個(gè)自由度，總共18個(gè)自由度。該模型可以較完整地描述傘衣與載荷的相對運(yùn)動，反映了實(shí)際的空投工況和載荷吊掛模式。

圖2 翼傘系統(tǒng)4體模型Fig.2 4-body model of parafoil system

圖3 翼傘系統(tǒng)4體模型坐標(biāo)系示意圖Fig.3 Schematic diagram of 4-body model coordinate system of parafoil system

圖4 側(cè)面示意圖Fig.4 Side view of parafoil system

2 翼傘系統(tǒng)受力分析

當(dāng)翼傘系統(tǒng)在其穩(wěn)定狀態(tài)飛行時(shí)，主要受力包括重力、氣動力和螺旋槳推力等。傘衣具有柔性大的變形特性，而且傘繩和載荷的連接吊帶均為柔性繩索，很難獲得其翼傘系統(tǒng)精確的氣動特性。為此，本文不考慮翼傘下拉后緣過程中的遲滯效應(yīng)，并忽略各部件的氣動耦合作用，采用工程簡化模型表示各體的氣動力。

2.1 傘衣受力分析

關(guān)于傘衣氣動模型的建立，劉媛等[13]通過有限體積元法求解Navier-Stokes湍流模型的控制方程，并對美國國家航空航天局蘭利研究中心的三維翼傘進(jìn)行了氣動性能分析，驗(yàn)證了該方法的可行性；進(jìn)而利用該方法分析得到了不同迎角來流條件以及傘衣后緣不同程度下偏的氣動力數(shù)據(jù)。汪龍芳等[14]對傘衣透氣性進(jìn)行了二維和三維數(shù)值模擬，得到了透氣性和迎角對翼傘升阻力系數(shù)變化的影響。為了便于后續(xù)歸航控制設(shè)計(jì)，本文在計(jì)算流體力學(xué)基礎(chǔ)上，采用多項(xiàng)式表示傘衣質(zhì)心處的氣動力和氣動力矩[1]，即

(1)

(2)

式中：ρ為大氣密度；v為傘衣質(zhì)心相對于氣流的速度大??；SP為傘衣面積；δS和δa為對稱舵偏和反對稱舵偏；p、q和r分別為傘衣滾轉(zhuǎn)角速度、俯仰角速度和偏航角速度；b為傘衣展長；c為傘衣弦長；其他參數(shù)k、CD0、CL、CDδS、CDδa、CL0、CLα、CLδS、CLδa、CYβ、CYp、CYr、CYδa、Clβ、Clp、Clr、Cl、Clδa、Cm0、Cmα、Cmq、CmδS、Cmδa、Cnβ、Cnp、Cnr、Cnδa均為氣動力常系數(shù)，由試驗(yàn)得到。

由于傘衣充氣張滿后，其平均密度與空氣密度相當(dāng)，必須考慮附加質(zhì)量的影響。本文基于文獻(xiàn)[15-16]，將傘衣附加質(zhì)量等價(jià)地處理為傘衣質(zhì)心的作用力和力矩，并在傘衣坐標(biāo)系下表示為

FPM=-ωP×(MavP)，

(3)

MPM=-ωP×(JaωP)，

(4)

式中：ωP和vP為傘衣角速度和質(zhì)心相對氣流速度；Ma和Ja分別為附加質(zhì)量相對傘衣質(zhì)心的質(zhì)量矩陣和慣量矩陣，即

(5)

(6)

ma,ii和Ia,ii(i=1，2，3)分別為附加質(zhì)量相對傘衣質(zhì)心的平動和轉(zhuǎn)動分量。

作用于剛體A質(zhì)心的合力，可在剛體A體坐標(biāo)系下表示為

(7)

作用于剛體A的合力矩可在剛體A體坐標(biāo)系下表示為

(8)

式中：MrtA和MrqA分別為各傘繩張力和氣動力對剛體A作用的力矩矢量和。

2.2 載荷受力分析

考慮到坐標(biāo)變換，作用于剛體B質(zhì)心處的合外力在其體坐標(biāo)系下表示為

(9)

式中：Ft為作用于載荷的螺旋槳推力；GB為剛體B所受重力；FrtB和FrqB分別為與載荷相連的各吊帶張力總和與氣動力矢量和；FqB為載荷所受氣動力，忽略螺旋槳對載荷氣動力的影響，則載荷所受氣動力為

(10)

式中：vB和Sd分別為載荷質(zhì)心速度和阻力面積。

作用于剛體B的合力矩在體坐標(biāo)系下表示為

(11)

式中：MrtB和MrqB分別為與載荷相連的各吊帶張力和氣動力對載荷的作用力矩矢量和，在剛體B體坐標(biāo)系下分別表示為

(12)

(13)

式中：rOBi為載荷體坐標(biāo)系下吊帶端點(diǎn)Bi的位置矢量，i=1，2，3，4；FrtLB1、FrtLB4、FrtRB2、FrtRB3分別為吊帶LB1、LB4、RB2、RB3的張力，方向從載荷接觸點(diǎn)指向吊帶交匯點(diǎn)；FrqLB1、FrqLB4、FrqRB2、FrqRB3分別為吊帶LB1、LB4、RB2、RB3受到的氣動力在B1、B4、B2、B3上的集中力。

2.3 傘繩和吊帶交匯點(diǎn)的受力分析

作用于連接點(diǎn)L的合力可表示為

FL=GL+FrtL+FrqL,

(14)

式中：GL為質(zhì)點(diǎn)L所受重力；FrtL和FrqL分別為與質(zhì)點(diǎn)L相連的各傘繩(吊帶)張力和氣動力。類似地，作用于連接點(diǎn)R的合力在慣性坐標(biāo)系下可表示為

FR=GR+FrtR+FrqR,

(15)

式中：GR為質(zhì)點(diǎn)R所受重力；FrtR和FrqR分別為與質(zhì)點(diǎn)R相連的各傘繩(吊帶)張力和氣動力。另外，在具體仿真計(jì)算中將作用在繩索上的氣動力等效為在兩端點(diǎn)的集中力。

3 基于擬坐標(biāo)形式的翼傘動力學(xué)方程

(16)

本文采用擬坐標(biāo)形式Lagrange方程進(jìn)行動力學(xué)建模，經(jīng)過復(fù)雜推導(dǎo)可得到如(17)式的動力學(xué)方程：

(17)

式中：相關(guān)狀態(tài)變換矩陣

(18)

(19)

廣義質(zhì)量矩陣

(20)

I3×3為3階單位矩陣，03×3為3階0矩陣；廣義力的相關(guān)表達(dá)式為

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

4 仿真分析

某翼傘系統(tǒng)的傘衣展長b=3.404 m，弦長c=0.920 m，傘衣和載荷安裝角均為0°，傘衣質(zhì)量mP為0.5 kg、載荷質(zhì)量mS為7.0 kg，初始高度和系統(tǒng)速度分別為1 000.0 m、v0=[7.5 0 3.8]Tm/s，其他狀態(tài)量的初始值均為0. 下面分別基于單剛體和多剛體模型進(jìn)行飛行特性分析。需要說明的是，本文基于文獻(xiàn)[3]中的研究成果，不考慮載荷的姿態(tài)變化和吊掛模式，將R點(diǎn)和L點(diǎn)的載荷等效為質(zhì)點(diǎn)，建立了翼傘系統(tǒng)6自由度單剛體動力學(xué)模型。

1)單剛體和多剛體動力學(xué)模型的對比分析。圖5和圖6所示分別為無控狀態(tài)下(無推力、無后緣下拉偏量)翼傘姿態(tài)和傘繩連接點(diǎn)位移的變化曲線。由圖5和圖6可以看出，因?yàn)槌跏紶顟B(tài)值為非穩(wěn)定狀態(tài)，所以仿真初始時(shí)刻出現(xiàn)一定周期的震蕩才能達(dá)到穩(wěn)定飛行狀態(tài)。仿真結(jié)果表明，盡管兩種模型仿真的軌跡曲線幾乎一致、衰減趨勢基本一致，但是傘衣姿態(tài)角度稍有差別。在單剛體動力學(xué)模型中，由于將載荷簡化為質(zhì)點(diǎn)、忽略了載荷在物- 傘運(yùn)動過程中的相對運(yùn)動，其穩(wěn)定過程中主要依靠傘衣來消耗能量，因此傘衣擺動幅度相對結(jié)果略大。

圖5 無控時(shí)傘衣質(zhì)心的位移變化曲線Fig.5 Changing curves of center of mass of canopy without control

圖6 無控時(shí)傘衣姿態(tài)變化曲線Fig.6 Changing curves of attitude of canopy without control

2)轉(zhuǎn)彎特性分析。圖7和圖8所示為基于18自由度多體模型、單側(cè)下偏量100%的載荷質(zhì)心軌跡和角速度變化曲線。從圖7和圖8中可以看出：在恒定下偏量作用下翼傘系統(tǒng)具有穩(wěn)定的轉(zhuǎn)彎半徑(本例最小轉(zhuǎn)彎半徑約52.0 m)；同時(shí)在翼傘系統(tǒng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)彎下滑過程中，載荷也具有穩(wěn)定的角速度。

圖7 單側(cè)下拉時(shí)載荷質(zhì)心軌跡Fig.7 Centroid locus of payload when pulling down on the side

圖8 轉(zhuǎn)彎時(shí)載荷角速度變化曲線Fig.8 Changing curves of angular velocity of payload during turning

3) 帶動力飛行時(shí)的運(yùn)動特性分析。圖9和圖10所示為30 s時(shí)在載荷上施加50 N螺旋槳推力情況下載荷的軌跡和姿態(tài)角變化曲線。從圖9和圖10中可以看出，在一定推力作用下，翼傘系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)平飛，但是傘衣和載荷都具有較大的俯仰角度。

圖9 平飛時(shí)的載荷質(zhì)心位移Fig.9 Centroid displacement of payload during level flight

圖10 平飛時(shí)的傘衣和載荷俯仰角Fig.10 Attitude angles of canopy and payload during level flight

4)突風(fēng)作用的影響分析。圖11所示為在突風(fēng)2 m/s情況下，設(shè)計(jì)狀態(tài)(工況1)、傘繩長度增加20%(工況2)、吊帶增加30%(工況3)3種工況下載荷的角速度變化曲線。由圖12可以看出，在突風(fēng)影響下，適當(dāng)增加吊帶長度有利于載荷姿態(tài)的穩(wěn)定。

圖11 突風(fēng)作用下的載荷姿態(tài)變化曲線Fig.11 Changing curves of payload attitude under wind gust

5)空投試驗(yàn)分析。采用直升機(jī)進(jìn)行了空投試驗(yàn)(天氣良好)，測得了某次軌跡曲線(單側(cè)下拉后緣50%)。圖12～圖14為載荷位置隨時(shí)間的變化曲線。由圖12～圖14可見，理論仿真數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本一致，證明了模型的有效性。二者的差異性主要是受高空風(fēng)場的作用。

圖12 載荷xB軸方向位移隨時(shí)間變化曲線Fig.12 Payload displacement versus time in xB direction

圖13 載荷yB軸方向位移隨時(shí)間變化曲線Fig.13 Payload displacement versus time in yB direction

圖14 載荷zB軸方向位移隨時(shí)間變化曲線Fig.14 Payload displacement versus time in zB direction

5 結(jié)論

本文針對翼傘穩(wěn)定飛行時(shí)的運(yùn)動狀態(tài)，綜合分析各體受力特點(diǎn)和運(yùn)動特性，利用擬坐標(biāo)形式的Lagrange原理建立了反映傘繩構(gòu)型和載荷吊帶連接方式的4體18自由度動力學(xué)模型。以某小型動力翼傘系統(tǒng)為例，對比研究單剛體和多體動力學(xué)模型的仿真特點(diǎn)，分析了多體模型下單側(cè)下拉、突風(fēng)作用和各種吊掛模式下的傘衣和載荷運(yùn)動特性，以及外加推力后的傘衣姿態(tài)角和載荷位移變化情況，并與試驗(yàn)飛行數(shù)據(jù)做比較。主要得出如下結(jié)論：

1)相比于6自由度模型，18自由度模型能較真實(shí)地反映翼傘系統(tǒng)內(nèi)部的相對運(yùn)動，更接近真實(shí)情況。

2)在轉(zhuǎn)彎過程中，傘衣和載荷均有穩(wěn)定的角速度。

3)載荷施加推力作用，傘衣將具有較大的俯仰角。

4)適當(dāng)增加吊帶的長度，可增大系統(tǒng)受突風(fēng)影響的魯棒性。

5)建立的模型仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較，擬合度較好，證明了該模型的準(zhǔn)確性。