感知、突破、真知

翁昌來

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)重要組成部分，數(shù)學(xué)思維也如同人們認(rèn)知事物一樣，經(jīng)歷感知、突破、真知的思維進(jìn)階過程。運(yùn)用思維進(jìn)階理論可以為教材建設(shè)提供有益的建議，現(xiàn)以教材、選修讀本以及網(wǎng)絡(luò)討論的數(shù)學(xué)應(yīng)用三例進(jìn)行闡述。

一、數(shù)學(xué)背景引入讓學(xué)生在感知中抽象

數(shù)學(xué)是抽象的，是對(duì)客觀世界數(shù)與量，空間與形式的抽象，其抽象給學(xué)生帶來學(xué)習(xí)困難，難以產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維.而數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)可以還原思維的發(fā)生，通過數(shù)學(xué)背景的引入，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的感知，激發(fā)思維熱情，并在具體的感知中去抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展。

地震是不可抗據(jù)的自然現(xiàn)象，研究震級(jí)與震時(shí)散發(fā)能量對(duì)地震預(yù)防和災(zāi)后救助都有積極意義.然而，對(duì)震級(jí)的破壞力學(xué)生只停留在不同震級(jí)的破壞力的表象比較中，對(duì)震級(jí)與破壞力之間關(guān)聯(lián)的比較顯得模糊.因此，計(jì)算微弱震級(jí)差的相對(duì)能量比值具有思維的挑戰(zhàn)性.

問題的探求中，厘清量與量的函數(shù)關(guān)系，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)簡化方程，根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)化獲得結(jié)論，讓學(xué)生在求解具體問題中感知數(shù)學(xué)對(duì)象，即對(duì)數(shù)學(xué)信息的覺察、感覺、注意、知覺，完成了從未知至已知，復(fù)雜至簡單以及關(guān)系轉(zhuǎn)化的思維發(fā)展.數(shù)學(xué)背景中的為什么，是什么，如何求成了抽象思維發(fā)展的推動(dòng)力。

讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)對(duì)象，參與知識(shí)發(fā)生過程，也成了教材修訂的共識(shí)，以1985年人教社版的乙種本和2008年上海高中數(shù)學(xué)教材指、對(duì)數(shù)函數(shù)章節(jié)為例，可以看到它們都是在概念建立、圖象和性質(zhì)研究以及指、對(duì)函數(shù)的關(guān)系框架上展開的，但上海二期課改后的教材大幅度地增添了數(shù)學(xué)應(yīng)用的背景，如人口預(yù)測(cè)，銀行本利和，國民生產(chǎn)總值，里氏震級(jí)，學(xué)習(xí)曲線，馬王堆古墓等等問題.這些以數(shù)學(xué)應(yīng)用為特征的背景的引入，讓數(shù)學(xué)應(yīng)用成為抽象思維的載體，在問題解決中實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展。

當(dāng)前，STEM課程已引起了國際教育界的關(guān)注，其核心是用數(shù)學(xué)解決科學(xué)、技術(shù)、工程中的問題，而我國教材早在上世紀(jì)80年代開始，在重視思維發(fā)生過程和人人學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用成了教材建設(shè)的關(guān)注點(diǎn)，相信，又一輪教材的修改定會(huì)充分吸收上海二期教材實(shí)施經(jīng)驗(yàn)以及借鑒STEM課程編制的精髓，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)背景中感知數(shù)學(xué)積極開展數(shù)學(xué)思維。

二、微積分學(xué)習(xí)讓學(xué)生突破原有的數(shù)學(xué)思維模式

當(dāng)前微積分是否需要進(jìn)入上海高中課程已成了不爭事實(shí)，從思維發(fā)展角度認(rèn)識(shí)高中生微積學(xué)習(xí)有十分重要意義。

思維從均勻變化轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷鶆蜃兓撬季S方式的突破，認(rèn)知的飛躍.微積分學(xué)習(xí)不單是多了一種解決問題的方法，更重要的健全了思維，讓學(xué)生高中畢業(yè)后即使不進(jìn)入高一級(jí)學(xué)校學(xué)習(xí)，也能應(yīng)對(duì)非均勻無限變化過程的問題.顯然，思維方式健全的學(xué)習(xí)，比強(qiáng)調(diào)單一的均勻變化解題訓(xùn)練更有意義。

回顧教材修改，1993年微積分曾進(jìn)入了上海高中三年級(jí)（二）的教材，由于受沒有嚴(yán)格的極限理論學(xué)習(xí)不能學(xué)習(xí)微積分觀點(diǎn)的影響，以后的第一與第二期的教材都沒有把微積分編寫在冊(cè)。從學(xué)生思維發(fā)展的現(xiàn)實(shí)來看，高中生學(xué)習(xí)微積分可以對(duì)嚴(yán)密的極限理論的獲得感知，為以后高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展是由不嚴(yán)密走向嚴(yán)密，如果片面地強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密性，那么小學(xué)生沒有數(shù)論知識(shí)學(xué)習(xí)，就不能進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，至今仍只能原地踏步。中學(xué)階段學(xué)生所學(xué)的微積分雖然對(duì)極限理論的表述停留在模糊之中，但不影響對(duì)不規(guī)則、彎曲的幾何對(duì)象和非均勻無限變化的理解和計(jì)算。雖然，初等數(shù)學(xué)中有許多問題解答能對(duì)思維訓(xùn)練發(fā)揮重要作用，然而，在微積分中也有許多好問題，能提供更廣寬的聯(lián)系真實(shí)世界的思維訓(xùn)練。

目前初等數(shù)學(xué)教學(xué)為應(yīng)對(duì)高考選撥，已由打好基礎(chǔ)演變?yōu)椤邦}?！薄吧钔诙础钡乃㈩}。解題技巧訓(xùn)練的教學(xué)“性價(jià)比”太低，浪費(fèi)了學(xué)生精力和青春.面對(duì)現(xiàn)實(shí)需求和時(shí)代的發(fā)展要讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維突破，更需要在教材建設(shè)的理念上進(jìn)行突破，高中數(shù)學(xué)課程需要高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)合理兼學(xué)推進(jìn)。

三、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)讓學(xué)生思維獲真知

數(shù)學(xué)思維目的不單是正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)定義、法則和公式，更重要的是能運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律去服務(wù)于研究對(duì)象，實(shí)現(xiàn)真知。

數(shù)學(xué)建模是學(xué)生運(yùn)用頭腦中的數(shù)學(xué)模型去分析研究真實(shí)世界，在模型的選擇、修正中獲取貼近客觀世界的正確認(rèn)知。

經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型的選用和修正，把原腿部運(yùn)動(dòng)從直桿（腿）轉(zhuǎn)動(dòng)修正為足部直線運(yùn)動(dòng)，又從直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量僅為腿部質(zhì)量修正為全身質(zhì)量，使得如何省力越來越符合現(xiàn)實(shí)。可以在總體恒速的前堤下，對(duì)兩腳運(yùn)動(dòng)作前半步是加速，后半部是減速變化的假設(shè)等等?？傊鶕?jù)不同的需求、從不同的視角采用不同的模型獲取答案，雖沒有唯一的答案，卻有最佳答案.數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)正是在尋找與真實(shí)世界最為逼近的模型過程中，去檢驗(yàn)思維正確與否，并在思維矯正中獲取真知。

目前教材雖然每冊(cè)中均有探究與實(shí)踐活動(dòng)，為數(shù)學(xué)建模奠定了基礎(chǔ)，但與數(shù)學(xué)建模仍有很大距離。高中生面對(duì)信息時(shí)代，已有豐富的感受，他們已能用數(shù)學(xué)眼光去觀察世界，不少學(xué)校學(xué)生撰寫的小論文也證實(shí)了這一點(diǎn)。

為此，教材中須設(shè)立數(shù)學(xué)建模章節(jié)，從數(shù)學(xué)思維的角度講述數(shù)學(xué)建模的方法和步驟，提供數(shù)學(xué)建模案例.此外，還可以把建?；顒?dòng)中的思維過程融入到教材各章節(jié)中.如教材各章節(jié)開頭的情景引入時(shí)，在感知數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景中，改變提練和抽象數(shù)學(xué)模型過程過于直接和簡單，可增加閱讀的信息量，讓學(xué)生去冗余的信息，學(xué)會(huì)在紛繁的實(shí)際背景中去提練、抽象數(shù)學(xué)元素和關(guān)系，即加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型提練和抽象發(fā)生的過程.同時(shí)，在各章節(jié)的練習(xí)部分視可能，適度增加對(duì)演算推理和結(jié)論的“回坯”活動(dòng)，讓學(xué)生去聯(lián)想數(shù)學(xué)模型背后的實(shí)際意義，去創(chuàng)造數(shù)學(xué)應(yīng)用問題.使整個(gè)章節(jié)學(xué)習(xí)，潛移默化地接受數(shù)學(xué)建模思想和方法.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中進(jìn)行有效學(xué)習(xí)，成為有為學(xué)生。

綜上所述，感知、實(shí)破、真知是思維進(jìn)階的幾個(gè)階段，關(guān)注思維進(jìn)階，在微觀上則體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)、概念的理解和數(shù)學(xué)問題的解答中，在宏觀上則體現(xiàn)在課程體系的構(gòu)建中，愿應(yīng)用三例的思考對(duì)數(shù)學(xué)教材建設(shè)有所啟示。