高考試卷“集合的基本運(yùn)算”試題賞析

張麗杰

摘 要：近幾年來(lái)，天津市高考理科數(shù)學(xué)卷第I卷中選擇題的第一題均是涉及集合的試題，涉及集合的形式與構(gòu)成、集合的基本運(yùn)算，包括并集，交集、補(bǔ)集。這類試題簡(jiǎn)單易懂，需要學(xué)生細(xì)心作答，是比較容易的得分題，并且能很好地考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文研究2015-2018年的理科天津理科卷選擇題中集合試題，邊賞析其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)背景、解題規(guī)律，給出集合學(xué)習(xí)的建議;邊尋找集合思想在解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高考試題;集合語(yǔ)言與思想;集合運(yùn)算

集合就是把人們直視的或思維中的某些確定的、容易區(qū)分的對(duì)象放在一起。集合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有無(wú)可比擬的特殊重要性。德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾奠定了集合論的基礎(chǔ)，后人到1920年確立了集合論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論體系中的基礎(chǔ)地位。[1]2015-2018年的試題中涉及知識(shí)包括集合語(yǔ)言、元素與集合間的關(guān)系、集合的基本運(yùn)算，集合與不等式、一次函數(shù)間關(guān)系，考察的形式是用不等式或一次函數(shù)的形式表示集合中元素，若元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，若元素是一些正整數(shù)可用Veen圖表示，以達(dá)到簡(jiǎn)便的目的。題目都非常注重滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。

一、學(xué)習(xí)集合知識(shí)的四點(diǎn)體會(huì)[2]

要想學(xué)好集合，首先，要深刻認(rèn)識(shí)到集合元素的含義與表示，眾所周知，集合是由許多個(gè)元素組成的，所以在學(xué)習(xí)集合之前，我們要了解集合元素的含義。一般情況下，集合都是通過(guò)圖示法、描述法、列舉法等方法來(lái)表示;其次，要學(xué)會(huì)正確的判斷集合是否可以成立，集合各個(gè)元素之間具有三個(gè)特點(diǎn)：互異性、無(wú)序性、確定性，學(xué)生在學(xué)習(xí)集合的過(guò)程中，可能由于沒有充分認(rèn)識(shí)到集合元素之間的互異性（即一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，也就說(shuō)集合中的元素不可重復(fù)出現(xiàn)），對(duì)答案沒有進(jìn)行驗(yàn)算，導(dǎo)致答題并不正確。并且，空集是集合中最特殊的集合之一，學(xué)生在處理集合和集合之間的關(guān)系時(shí)，沒有認(rèn)識(shí)到空集的性質(zhì)（空集是所有集合的子集合），所以可能導(dǎo)致解題考慮不全面。所以學(xué)生要深刻認(rèn)識(shí)到空集的性質(zhì)和集合各個(gè)元素之間互異性的特點(diǎn);正確了解集合間的基本關(guān)系，要正確認(rèn)識(shí)子集、真子集、集合相等的概念，最后學(xué)會(huì)集合的基本運(yùn)算，學(xué)生首先要了解并集、交集以及補(bǔ)集的概念，才能進(jìn)行集合的運(yùn)算，并集為A∪B={x|x∈A，或 x∈B};交集為A∩B={x|x∈A，且 x∈B};補(bǔ)集為UA={x│x∈U，且xA}。在學(xué)習(xí)集合的過(guò)程中，學(xué)生要注意以上幾點(diǎn)體會(huì)，細(xì)致的研究，逐步加深對(duì)集合各知識(shí)點(diǎn)的理解，從而更好地學(xué)習(xí)集合。

二、集合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

集合思想在高中數(shù)學(xué)中有著非常重要的作用，主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面。

（一）集合與高中數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系[3]

集合是學(xué)生進(jìn)入高中后，需要學(xué)習(xí)的第一個(gè)概念，可見其重要性，同時(shí)它也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。比如，①集合與函數(shù)：集合是學(xué)習(xí)必修1函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，在表示函數(shù)定義域、值域，描述函數(shù)性質(zhì)時(shí)，都用到了集合的知識(shí)。②集合與排列組合及概率：概率問題較為復(fù)雜，學(xué)生難于理清題目思路，這時(shí)運(yùn)用集合思想，就能巧妙地將題目中的限制條件轉(zhuǎn)換成集合運(yùn)算，探求題目各條件間的關(guān)系，將題目化難為易。③集合與不等式：集合與不等式密切聯(lián)系，它是學(xué)生學(xué)習(xí)必修5中不等式的基礎(chǔ)，學(xué)生要學(xué)會(huì)用集合的方法來(lái)表示不等式解集，使不等式的解集變得更簡(jiǎn)捷。④集合與解析幾何：集合溝通了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，在選修2-1 中圓錐的軌跡方程也是一些點(diǎn)構(gòu)成的集合，如：橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，其中F1，F(xiàn)2為兩固定的點(diǎn)。這使得由某個(gè)圖形給出的點(diǎn)集和滿足某性質(zhì) P 的實(shí)數(shù)對(duì)組成的集合建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系進(jìn)而使數(shù)學(xué)中的幾何問題代數(shù)化，因此集合在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用。⑤集合與立體幾何：集合知識(shí)也是必修2立體幾何的基礎(chǔ)，我們知道“點(diǎn)集構(gòu)成線，線集構(gòu)成面”。我們?cè)趯W(xué)習(xí)立體幾何中的點(diǎn)線面的關(guān)系時(shí)，用集合可以簡(jiǎn)單明了地表示出其包含關(guān)系，如：{點(diǎn)}∈{線}，{線}∈{面}，這為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)做了鋪墊。

（二）集合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

從教育視角看，數(shù)學(xué)思想方法要與數(shù)學(xué)知識(shí)相比，數(shù)學(xué)思想方法更重要。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)是穩(wěn)態(tài)的，它的記憶量也是有限的，只能使學(xué)生一時(shí)受益，而數(shù)學(xué)思想方法是發(fā)展中的，學(xué)生掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法就可以按照這個(gè)方法獨(dú)立探索更多新的知識(shí)，將使學(xué)生終身受益。因此，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)比知識(shí)的教授更為重要，數(shù)學(xué)思想方法的掌握對(duì)任何實(shí)際問題的解決都是有益處的，所以數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)。[3]集合思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想向中學(xué)滲透的重要標(biāo)志，在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，若運(yùn)用集合思想，可以使問題解決變得更簡(jiǎn)單、明了。①運(yùn)用子集思想，[4]關(guān)于 x 的不等式|x-（a+1）2/2|（a-1）2/2與 x2-3（a+1）x+2（3a+1）0（a∈R）的解集分別為A 和 B，求使 AB 的 a 的取值范圍。運(yùn)用子集概念求解，②運(yùn)用交集思想已知不等式lg（20-5x2）>lg（a-x）+1的整數(shù)解只有 1，試求 a的取值范圍.運(yùn)用交集概念求解。③運(yùn)用并集思想過(guò)點(diǎn) M（0，1）作直線，使它被兩條已知直線 L1：x-3y+10=0 和 L2：2x+y-8=0 所截得的線段AB 被點(diǎn) M平分，求直線L 的方程，運(yùn)用并集概念求解。④運(yùn)用補(bǔ)集思想。

（三）集合基數(shù)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[5]

一般地，對(duì)任意兩個(gè)有限集A，B，有Card（A∪B）=Card（A）+Card（B）-Card（A∩B）。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊梅.集合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（15）：91-93.

[2]周存旭.高中數(shù)學(xué)中集合學(xué)習(xí)的四點(diǎn)體會(huì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（19）：45.

[3]楊梅.集合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（15）：91-93.

[4]涂典波.淺談集合中的數(shù)學(xué)思想及應(yīng)用[J].成才之路，2007（14）：37.

[5]戌健君.集合基數(shù)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（10）：24-25.