提煉思想：一個(gè)有效的解題能力的培養(yǎng)方式

杜振義

摘要：高中生常感到數(shù)學(xué)難學(xué)，題多而又不好解，有時(shí)感到無(wú)從下手，成績(jī)總是徘徊不前。 其實(shí)， 提高學(xué)生的解題能力，關(guān)鍵是提高他們解題時(shí)對(duì)思想提煉和反思，提煉思想是一個(gè)最有效的解題能力的培養(yǎng)方式。

關(guān)鍵詞：解題;思想提煉;數(shù)學(xué)思想;反思

人們認(rèn)識(shí)事物有個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)：能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì);學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也一樣，要從千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，找到問(wèn)題的本質(zhì)，也就是所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，問(wèn)題才能得以解決。因?yàn)閿?shù)學(xué)問(wèn)題是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下的，運(yùn)用知識(shí)、方法等“加工”而成的對(duì)象，是數(shù)學(xué)思想的一種具體表現(xiàn)，把這些以問(wèn)題為載體的思想提煉出來(lái)，才能對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題有個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，使問(wèn)題順利地得到解決。如解題教學(xué)時(shí)遇到下面幾個(gè)問(wèn)題：

①判斷函數(shù)f（x）=2ax2-x-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

②方程2ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，求a的取值范圍。

③在（0，1）存在x，使得不等式2ax2-x-1<0，求a的取值范圍。

這三個(gè)問(wèn)題分別函數(shù)、方程和不等式，問(wèn)題表現(xiàn)形式上相差較大，但如果能運(yùn)用把問(wèn)題統(tǒng)一歸納成函數(shù)問(wèn)題，從中提煉出思想，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)：?jiǎn)栴}①是利用函數(shù)思想把函數(shù)圖像與性質(zhì)結(jié)合起來(lái)解決，問(wèn)題②如果單純從方程思想來(lái)思考的話(huà)，這題比較難解決，可通過(guò)函數(shù)f（x）=2ax2-x-1的零點(diǎn)來(lái)解決，也可以從方程構(gòu)造函數(shù)來(lái)進(jìn)行解決;問(wèn)題③的不等關(guān)系，同問(wèn)題②的解決方法一樣，通過(guò)函數(shù)思想來(lái)解決。如果解題時(shí)，能把這些問(wèn)題中所蘊(yùn)涵的思想分離出來(lái)，讓學(xué)生加以這些思想的本質(zhì)，再用這些不變的思想為指導(dǎo)他們解題，反復(fù)地運(yùn)用，能有效地提高他們解決問(wèn)題的能力。反之，如果解題時(shí)缺乏函數(shù)思想的提煉，他們就很難對(duì)這幾個(gè)不同問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解決問(wèn)題就可能無(wú)從下手了。下面就解題中的思想提煉，說(shuō)說(shuō)個(gè)人的認(rèn)識(shí)：

一、思想提煉是分析解決問(wèn)題最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)

解題是學(xué)生能力提高的重要手段，被大家認(rèn)可;學(xué)生需要進(jìn)行解題練習(xí)，但題是永遠(yuǎn)解不完的;若進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)會(huì)讓學(xué)生身心疲憊，能力得不到有效地提高;只能是通過(guò)典型問(wèn)題，提煉出所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，盡量暴露思維的全過(guò)程，展示數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，做到會(huì)一題通一路，以少勝多，這樣才能走出題海誤區(qū)，真正讓學(xué)生從解題中得到能力的提高。如“方程2ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，求a的取值范圍”直接求解需從方程中求出根來(lái)，求根時(shí)需要分類(lèi)討論，這種方法的不易，學(xué)生會(huì)進(jìn)行自問(wèn)：思路合適嗎？如果不合適，又如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化化歸？類(lèi)比零點(diǎn)與根的很多相似處，前者是函數(shù)的后者是方程的，因此可以進(jìn)行方程化函數(shù)，把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，就能達(dá)成很好的解決目的了。這題的解決過(guò)程中處處體現(xiàn)了思想的運(yùn)用，把這些思想提煉出來(lái)是運(yùn)用好它們來(lái)分析解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

二、對(duì)于問(wèn)題進(jìn)行思想提煉的過(guò)程是一種學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過(guò)程

數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)思想的載體，一個(gè)好的數(shù)學(xué)問(wèn)題不是有意去添加數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容，更不是片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的概念，而是讓學(xué)生在潛移默化解決過(guò)程中去領(lǐng)悟，去運(yùn)用并逐步內(nèi)化為學(xué)生的思維品質(zhì)。在解題時(shí)好多時(shí)需要作圖、進(jìn)行聯(lián)想、變化問(wèn)題的條件使其一般化或特殊化、試著分解成一些子目標(biāo)等操作，而作圖是將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體形式，反映了數(shù)形結(jié)合的思想;聯(lián)想常能使問(wèn)題向簡(jiǎn)單的方向轉(zhuǎn)化，為有目的的化歸提供思路;一般化、特殊化、分解目標(biāo)則蘊(yùn)涵分類(lèi)討論的思想。如求方程2x3-4x2-3x+2=0的近似解（精確到0.1）時(shí)，學(xué)生嘗試用因式分解或換元的方法求解但沒(méi)有成功，引發(fā)問(wèn)題，從而提出用什么新知識(shí)求這個(gè)方程的近似解呢？讓學(xué)生討論，教師引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)思想，將方程的求解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題。畫(huà)出函數(shù)的圖象觀(guān)察零點(diǎn)所在區(qū)間，讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)二分法使用的依據(jù);讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算找兩個(gè)異號(hào)的函數(shù)值，一個(gè)在初始區(qū)間為（0，1），另一個(gè)在（2，3），通過(guò)問(wèn)題：如何縮小零點(diǎn)所在范圍？引導(dǎo)學(xué)生自主縮小思考范圍的方法，一般可以先將區(qū)間分為兩個(gè)子區(qū)間，如果分點(diǎn)不是零點(diǎn)，則零點(diǎn)一定在兩個(gè)中的一個(gè)內(nèi)，從而達(dá)到縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的目的。同時(shí)從生活中對(duì)精確度的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中精確度的含義，通過(guò)有限次零點(diǎn)的所在區(qū)間的縮小，當(dāng)達(dá)到一定精確度時(shí)確定零點(diǎn)的近似值，讓學(xué)生在解題中產(chǎn)生并體會(huì)逐步逼近的思想和二分法的思想。這種數(shù)學(xué)思想提煉不是刻意或強(qiáng)加給學(xué)生的，是在學(xué)生解題中自然形成的;思想的提煉過(guò)程中，讓學(xué)生在自覺(jué)的狀態(tài)下，參與知識(shí)的形成和規(guī)律的揭示過(guò)程，那么學(xué)生所獲取的就不僅僅是知識(shí)，更重要的是在思維探索的過(guò)程中領(lǐng)悟、運(yùn)用、內(nèi)化了數(shù)學(xué)的思想。

三、讓學(xué)生解決問(wèn)題后的對(duì)思想進(jìn)行反思

學(xué)生解題不是目的，解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，幾乎所有的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能都靠解題來(lái)鞏固， 而數(shù)學(xué)思想的滲透和發(fā)展也必然在很大程度上依賴(lài)于解題過(guò)程的教學(xué)，學(xué)生要對(duì)一一道題的解決中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)的思想不斷地反省，在腦海中留下深刻的印象，并能有意識(shí)、有目的地結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，揭示、提煉概括數(shù)學(xué)思想，避免單純追求數(shù)學(xué)思想，促使學(xué)生認(rèn)識(shí)從感性到理性的飛躍，形成自己的數(shù)學(xué)思想。

一要反思數(shù)學(xué)思想在問(wèn)題中的表現(xiàn)形式，要注意發(fā)掘解題是涉及了哪些數(shù)學(xué)思想，這樣的數(shù)學(xué)思想是否在其他地情況下也出現(xiàn)過(guò)，是同一問(wèn)題中蘊(yùn)含多種不同的數(shù)學(xué)思想，還是同一數(shù)學(xué)思想在多個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同表現(xiàn)，現(xiàn)在的運(yùn)用和過(guò)去的運(yùn)用的何聯(lián)系、有何差異，是否有規(guī)律性，這些都是我們的學(xué)生往往缺乏的對(duì)數(shù)學(xué)思想的反思。如前面的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題，是函數(shù)思想把它們統(tǒng)一起來(lái)，體現(xiàn)了函數(shù)思想在不同的問(wèn)題中表現(xiàn)的多樣性，體會(huì)為數(shù)學(xué)思想的在不同問(wèn)題的具體表現(xiàn)，能為學(xué)生解題提供思路。二要反思數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，指導(dǎo)學(xué)生解題，如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據(jù)已知條件，在二面角內(nèi)尋找或作出過(guò)一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面上的垂線(xiàn)，過(guò)這點(diǎn)再作二面角的棱的垂線(xiàn)，然后連結(jié)二垂足。這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角，這個(gè)通法就是在化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下求得的，感受數(shù)學(xué)思想的作用，有意識(shí)地去運(yùn)用思想思維。學(xué)會(huì)反思，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思想的反復(fù)體驗(yàn)和實(shí)踐，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)、把握、運(yùn)用的水平就會(huì)不斷提高會(huì)，撐握用數(shù)學(xué)思想角度考慮問(wèn)題、解決問(wèn)題的一般思想方法。

四、是“一題多解”還是“多題一解”？

解題思路?！耙活}多解”，是對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想而產(chǎn)生的多種解法，在用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的靈活運(yùn)用，可以培養(yǎng)思維的發(fā)散性，靈活性，敏捷性;如有這樣一題：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x+y-2=0則求x2+y2最小值，我們可以用函數(shù)思想，用x代y把目標(biāo)式化為關(guān)于x的函數(shù)求解;也可以用數(shù)形結(jié)合思想把x+y-2=0看作直線(xiàn)方程，后者看成一個(gè)距離的平方求解;也可用方程思想設(shè)x2+y2=a將y=2-x代入化為二次方程求解，在解題中，轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想得到充分運(yùn)用，學(xué)生對(duì)解決的問(wèn)題會(huì)有深刻理解，學(xué)會(huì)要數(shù)學(xué)思想思考。實(shí)施“一題多解”要充分地照顧到學(xué)生能力水平，在能力范圍進(jìn)行，否則由于太過(guò)發(fā)散、靈活，學(xué)生會(huì)無(wú)所是眾，淡化了某種思想應(yīng)有的作用。如xos a+2sin a=-，求tan a? （2008年浙江省高考理第8題）

有教師在一節(jié)課里一口氣給出了7種解法：可與cos2a+sin2a=1組成方程組解;有平方后右邊改為5（cos2a+sin2a）再改tan a;有構(gòu)造函數(shù)f（x）=cos x+2sin x討論最值的;有構(gòu)造點(diǎn)P（cos a，sin a），Q（）后求得PQ=0，所以PQ重合;觀(guān)察，cos2a+sin2a=1進(jìn)行類(lèi)比求解等，這些多種解法包括了豐富的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)時(shí)要突出重點(diǎn)，有的解法繁瑣，有的解法過(guò)于巧妙，對(duì)于這樣的解法應(yīng)點(diǎn)到為止。而對(duì)于能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的比較簡(jiǎn)明的解法，要作為重要解法去加以運(yùn)用和引申。當(dāng)然解題時(shí)不能一味追求多解，學(xué)生別說(shuō)難以想到，就是看了也會(huì)眼花，無(wú)所是眾，其中的思想提煉就會(huì)力不從心了。

“多題一解”是對(duì)多個(gè)題目尋求統(tǒng)一的解法，是把問(wèn)題的多樣性進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的同化。如①過(guò)點(diǎn) Q（4，1）作拋物線(xiàn)? y2=8 x 的弦 AB，恰被 Q 所平分，求 AB 所在直線(xiàn)的方程。

②是否存在實(shí)數(shù) m，使直線(xiàn)y=x+m與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，且|AM|=|AN|，若存在，求出m的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

以上兩個(gè)例子都是圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，都可歸為一條直線(xiàn)與一個(gè)圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的問(wèn)題，問(wèn)題的解決都遵循一個(gè)固定的步驟：首先找出直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，然后通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程消去 x（或 y），得到一個(gè)關(guān)于 x（或 y）的一元二次方程，最后由根的判別式（涉及到直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)是否有交點(diǎn)的問(wèn)題） 、韋達(dá)定理，再結(jié)合題目條件來(lái)解決問(wèn)題，體現(xiàn)了共有的方程思想。通過(guò)這樣的“多題一解”教學(xué)，學(xué)生會(huì)對(duì)多個(gè)習(xí)題， 加以梳理、歸納、提煉、異中求同，揭開(kāi)不同習(xí)題的表面現(xiàn)象，挖掘其內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想，再用思想指導(dǎo)解題能獲得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

總之教學(xué)中我們要進(jìn)行恰當(dāng)而又適度的一題多解，發(fā)散學(xué)生思維，用不同的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)他們解題，也要通過(guò)多題一解，讓他們能從不同的問(wèn)題上尋求思想上的統(tǒng)一，脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”。

五、“一題多變”變的是什么？

“一題多變”常常是變換問(wèn)題的條件和結(jié)論，變換問(wèn)題的形式，而問(wèn)題的思想本質(zhì)常沒(méi)發(fā)生變化，如在研究三棱錐頂點(diǎn)在底面三角形內(nèi)的射影位置時(shí)就有以下問(wèn)題：

①當(dāng)三棱錐是正三棱錐時(shí);

②當(dāng)三條側(cè)棱的長(zhǎng)均相等時(shí);

③當(dāng)側(cè)棱與底面所成的角都相等時(shí);

④當(dāng)各個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等，且頂點(diǎn)射影在底面三角形內(nèi)時(shí);

⑤當(dāng)頂點(diǎn)與底面三邊距離相等時(shí);

⑥當(dāng)三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí);

⑦當(dāng)三條側(cè)棱分別與所對(duì)側(cè)面垂直時(shí);

⑧當(dāng)各個(gè)側(cè)面在底面上的射影面積相等時(shí);

這一系列問(wèn)題，是對(duì)“點(diǎn)在面上射影位置”這一問(wèn)題形式進(jìn)行了多種變化，不管如何變化，其中所蘊(yùn)涵的化歸等思想沒(méi)有發(fā)生變化，都需要進(jìn)行立體轉(zhuǎn)化為平面處理，用“不變”的數(shù)學(xué)思想去解決這些不斷“變換”命題。一題多變，能使學(xué)生對(duì)問(wèn)題思考由淺而入深，極大的鍛煉學(xué)生歸納、類(lèi)推的能力和提煉體會(huì)思想的能力，解題教學(xué)時(shí)完成一個(gè)問(wèn)題時(shí)，此時(shí)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生注意總結(jié)其思想方法，擴(kuò)大戰(zhàn)果，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成多問(wèn)幾個(gè)為什么的習(xí)慣。像有沒(méi)有別的方法，能不能做得更簡(jiǎn)潔些，你能一眼看出結(jié)果嗎？如改變條件，使其特殊化或一般化， 能得出什么結(jié)論？解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵處在哪兒？你能否把所有的這些數(shù)學(xué)思想進(jìn)行總結(jié)等等。如這樣一道題：已知正方體棱長(zhǎng)為a，求其內(nèi)部與各棱均相切的球的半徑. 學(xué)生做完后不妨問(wèn)問(wèn)有無(wú)別的方法？什么是解題的關(guān)鍵？能一眼看出來(lái)嗎？如將題目中的球改為內(nèi)切或外接怎么做？將正方體改為正四面體呢？顯然這種趁熱打鐵的拓展將促使學(xué)生對(duì)知識(shí)融匯貫通，形成解決此類(lèi)問(wèn)題的技能，并更深刻地領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想，有助于在實(shí)際問(wèn)題中更好地運(yùn)用它，達(dá)到舉一反三的效果。但不能一味追求一題多變形式的多樣化，有時(shí)一題多變會(huì)過(guò)多地分散學(xué)生的能力發(fā)展;也要注意變式后的題目要有梯度，不能搞一步到位;要注重教學(xué)需要，用數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)學(xué)生解題，盡可能讓學(xué)生做到會(huì)一題而通一類(lèi)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

數(shù)學(xué)思想具有較強(qiáng)的抽象性和內(nèi)隱性，它貫穿于整個(gè)教材體系，而又高于一般的數(shù)學(xué)知識(shí)。如果不將蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想明確化并加以引導(dǎo)，學(xué)生往往不能領(lǐng)會(huì)。教師有責(zé)任在教學(xué)過(guò)程中使之明確化，將問(wèn)題解決過(guò)程的數(shù)學(xué)思想背景有意識(shí)地呈現(xiàn)給學(xué)生，如函數(shù)、不等式、方程等明顯體現(xiàn)了函數(shù)、數(shù)形結(jié)合的思想;又如立體幾何中從平行六面體到棱柱、棱錐、棱臺(tái)相關(guān)證明，再到球和球缺的體積和表面積計(jì)算，均隱含了化歸的思想，即把新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題加以解決，當(dāng)然還滲透了合情推理和極限思想。我們?nèi)缒茏寣W(xué)生明確它們，解題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自主開(kāi)動(dòng)腦筋進(jìn)行探索，就不光學(xué)會(huì)了有關(guān)知識(shí)，更重要的還在于受到數(shù)學(xué)思想方法的陶冶， 學(xué)會(huì)自主探索的科學(xué)思維方法。我們?cè)诮忸}教學(xué)中，進(jìn)行思想的提煉，讓學(xué)生在反復(fù)的體驗(yàn)和實(shí)踐中認(rèn)識(shí)其中規(guī)律，形成數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力產(chǎn)生飛躍。