一類二元二次不等式問題及其解法的本質(zhì)探析

張海明

摘? 要：在高中階段處理數(shù)學(xué)問題時(shí)會(huì)經(jīng)常碰到二元二次方程約束下的不等式這類問題。處理這種問題常常用到數(shù)形結(jié)合的思想，因此解決這類問題應(yīng)該從兩方面入手。從數(shù)的視角看，通?？梢酝ㄟ^消元或者換元轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)，或者利用均值不等式實(shí)現(xiàn)二元二次與二元一次之間的轉(zhuǎn)換;從形的視角看，通常可以轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)或者定直線到圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)的距離的最大值與最小值問題。本文僅從一個(gè)典型問題出發(fā)，探析解決此類問題及其解法的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：二元二次不等式;問題;解法

一、問題呈現(xiàn)

例題1x2-y2-2x+2y-1=0，求證x2+y2>0.25。

這道題雖然看起來形式復(fù)雜，但經(jīng)過恒等變形，可以將陌生的形式變成我們所熟悉的公式。我們可以通過消元，減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)簡化式子，降低試題難度;也可以將公式與圖形相結(jié)合，通過圖形的形式將問題簡化。

二、解法探析

思路1：從數(shù)的角度看，通過式子恒等變形，將式子中的未知數(shù)用三角代數(shù)轉(zhuǎn)化，可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，將二元化為一元進(jìn)行解答。令x=1/cosa，y=tana，那么x2+y2=（1+sin2a）/cos2a。分子為1+sin2a>0，分母也為大于的正數(shù)。x2+y2-1=2tan2a>o，經(jīng)過恒等變形，不等式得證。

思路2：從圖形的角度看，這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化成雙曲線與圓是否相離。x2-y2-2x+2y-1=0的所表示的幾何圖形為雙曲線，x2+y2>0。25為半徑為0.5的圓。將兩個(gè)圖象畫在同一個(gè)圖中可以看出雙曲線的圖象與圓的最小距離大于零。通過觀察可以迅速得出結(jié)論x2+y2>0.25。這兩個(gè)轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是化高次問題為低次問題。

三、反思感悟

通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，我們可以看出發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要，通過對(duì)所學(xué)知識(shí)的總結(jié)，可以及一反三，成倍提高學(xué)習(xí)效率。很多同學(xué)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中沒有對(duì)做題形成正確的認(rèn)識(shí)，采用題海戰(zhàn)術(shù)，而且很同學(xué)只針對(duì)自己會(huì)的內(nèi)容反復(fù)練習(xí)，對(duì)不會(huì)的地方卻不會(huì)下同樣的精力，這樣做題只能鞏固會(huì)的知識(shí)，卻不能查缺補(bǔ)漏，系統(tǒng)地整理知識(shí)框架。而且題海戰(zhàn)術(shù)非常辛苦，不僅需要學(xué)生消耗大量的時(shí)間和精力，如果缺乏正確的方法指導(dǎo)，學(xué)生很容易對(duì)數(shù)學(xué)形成厭倦感，失去對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，不利于提高數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要針對(duì)自己不會(huì)的內(nèi)容苦下功夫，挖掘題目的本質(zhì)，這樣才能達(dá)到舉一反三的效果，學(xué)習(xí)起來既有動(dòng)力又有效率。

1.由表及里，追尋問題及其解法的本質(zhì)

數(shù)學(xué)題的量很大，而且有很強(qiáng)的靈活性，如果只是機(jī)械地做題，而沒有對(duì)題目背后所隱藏的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行挖掘和整合，不但不容易把握數(shù)學(xué)題目的本質(zhì)，而且會(huì)沉浸在數(shù)學(xué)的形式之中無法自拔。就如上述例題一樣，如果可以看出題目的本質(zhì)就是在幾何圖形的引導(dǎo)下將二元二次消元、降階轉(zhuǎn)化成我們所擅長的一元函數(shù)，那么問題就會(huì)迎刃而解?？梢钥闯?，對(duì)本質(zhì)的把握才是提高解題速度，保證做題質(zhì)量的關(guān)鍵。

如例題：一個(gè)以（1，2）為圓心，半徑為2的圓與y軸在第二象限的部分所圍成的面積為S，若直線y=2x+b與圓相交且與圓圍成的面積也是S，求b的具體數(shù)值。

分析：該題簡明扼要，將直線與圓的位置關(guān)系表達(dá)得較為清楚，但很對(duì)同學(xué)卻對(duì)此無從下手，有的計(jì)算S的面積，有的講方程聯(lián)立，既不能快速解題，又浪費(fèi)了很多時(shí)間計(jì)算。但本題考查的數(shù)形結(jié)合的能力，如果清楚只要保證圓心到直線的距離相等，圓與直線所圍成的面積就是相等的，題目就得到了解答。

解法：要使y=2x+b與圓的圍成面積為S，只要使圓心（1，2）到直線y=2x+b的距離為圓心到y(tǒng)軸的距離，由題容易知道圓心到y(tǒng)軸的距離為1，點(diǎn)到直線的公式為：d=（AX0+BAY0+C）/（A2+B2）0.5。將直線y=2x+b通過恒等變形為2x+b-y=0，其中A=2，B=-1，C=b。（1，2）點(diǎn)即為（XO，YO）點(diǎn)，代入公式得（2*1-1*2+b）/（12+12）0.5=1。得出b=20.5。

2.格物致知，形成解題策略

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)講解穩(wěn)扎穩(wěn)打，切忌心浮氣躁，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。要想培養(yǎng)出出色的數(shù)學(xué)能力，必須夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在了解基本原理的基礎(chǔ)上發(fā)散，領(lǐng)略數(shù)學(xué)魅力。解題的過程也因該遵循這個(gè)原則，首先要對(duì)所做的題目有較深的記憶，因?yàn)橛洃浭抢斫獾幕A(chǔ)，而且有利于將知識(shí)整合在一起;在對(duì)題目熟練掌握的基礎(chǔ)上可以將所學(xué)知識(shí)變形達(dá)到對(duì)質(zhì)的掌握。最后根據(jù)所學(xué)知識(shí)，總結(jié)屬于自己的一套解題方法。

3.闡幽明微，啟迪數(shù)學(xué)機(jī)智

解題的過程是將自己所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)踐之中的過程，這個(gè)過程需要學(xué)生對(duì)題目有一個(gè)整體把握，需要學(xué)生明白題目所考的方向是什么;怎樣將復(fù)雜的問題分解成熟知的部分，在理性思維的指引下逐漸接近正確答案。數(shù)學(xué)問題繁多，機(jī)械做題并不可取，只有對(duì)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)進(jìn)行把握，達(dá)到做一道題會(huì)一類題的效果，才能化繁為簡，體驗(yàn)學(xué)習(xí)樂趣。正如上述例題，將形式較為復(fù)雜的題型經(jīng)過轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，也可以從圖形的角度打開思路，根據(jù)題意，對(duì)解法進(jìn)行探析。在對(duì)方法的靈活運(yùn)用的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)做題力度，才是提高做題能力的正解。

參考文獻(xiàn)

[1]祝敏芝.一類二元二次不等式問題及其解法的本質(zhì)探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（Z1）：50-52.