巧構(gòu)造長方體模型，彰顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

黃堅明

【摘要】培養(yǎng)空間的想象能力一個有效方法是用直觀圖像進行推理教學(xué)。長方體是立體幾何中的基本幾何體，其結(jié)構(gòu)對稱，是研究直線與平面關(guān)系、特殊幾何體的一個重要載體，是培養(yǎng)空間想象力的重要依托。試題中有關(guān)立體幾何的圖形不規(guī)則，線面關(guān)系不直觀、不明顯，但是通過補成“長方體”往往起到“柳暗花明”的效果。

“問渠哪得清如許，為有源頭活水來?！笨臻g幾何中，依據(jù)題意巧構(gòu)造長方體，通過切割、旋轉(zhuǎn)、變換等，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的空間的想象能力、數(shù)據(jù)處理能力以及邏輯的推理能力，也有利于學(xué)生的轉(zhuǎn)換和化歸的思想方法的培養(yǎng)，讓學(xué)生追溯知識源頭，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)；立體幾何；長方體模型；核心素養(yǎng)

對立體幾何初步，《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了基本要求：在立體幾何學(xué)的初步部分，學(xué)生將從空間幾何的整體視圖開始，并了解空間圖形；然后使用長方體作為載體，直觀地觀察和理解空間點，線和面的位置關(guān)系……

高考題源自課本，即要追溯源頭。立體幾何是高考重點之一，通常以一大一小模式命題，以低、中檔難度為主，主要為三視圖，表面積與體積、距離的計算，點、直線、平面位置關(guān)系的判定與證明等內(nèi)容；推理和空間的想象能力是高考中重點考查的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的思想貫穿始終。經(jīng)過探索，該類型問題可通過構(gòu)造長方體模型來進行有效地解決。以下是筆者的見解、分析和總結(jié)。

一、構(gòu)造長方體進行點、直線、平面的位置關(guān)系的判斷

例1.（2015年湖北卷文文科數(shù)學(xué)第5題 ） 表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則（ ）。

A. p是q 的充分條件不必要條件

B. p是q 的必要不充分條件

C. p是q 的充要條件

D. p是q 既不充分條件，也不必要條件

【解析】若p：l1，l2為兩條異面直線，如圖1，結(jié)合定義，易得l1，l2不相交；若q：l1，l2不相交，如圖1和圖2，則l1，l2可能是異面關(guān)系，也可能是平行關(guān)系，借助長方體模型，化抽象為直觀，易理解，同時也發(fā)展了學(xué)生的空間的想象能力。

空間點、線、平面之間的位置關(guān)系是立體幾何的理論基礎(chǔ)，高考常設(shè)置選擇題或填空題，考查直線、平面之間的位置關(guān)系的判斷。對于直線與平面、平面與平面的平行或垂直的位置關(guān)系的判定，處理這類問題需要根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系的相關(guān)定理進行證明，錯誤的結(jié)論需要通過舉出反例說明其錯誤，在解題中可構(gòu)造長方體或立方體模型化抽象為直觀去推理或者反駁。

二、構(gòu)造長方體進行異面直線所成角求解

例2.（2014年大綱全國卷第4題）四面體ABCD是正四面體，E是AB的中點，則直線CE與BD所成角的余弦值為（ ）

對正四面體通過“補”的方法，構(gòu)造一個立方體，則正四面體的棱長是立方體的側(cè)面對角線，對于求解正四面體的相關(guān)問題，借助立方體模型，容易直觀的觀察直線與平面的位置關(guān)系，把抽象變得直觀，從而降低解題的難度。對于本題，把四面體ABCD補成立方體，如圖3：

【解析】由E是AB的中點，作AD的中點F，連接EF，由三角形中位線性質(zhì)，得BD//EF，所以異面直線CE與BD所成的角為∠CEF。將正四面體補成立方體，不妨將立方體的長度設(shè)置為2，則BD=，EF=BD=，CE=CF=，在△CEF中，由余弦定理的推論得，。

例3.（2012大綱全國卷第16題）在底面的邊長和側(cè)棱長都相等的三棱柱A1B1C1?ABC中，∠A1AB=∠A1AC=60°，則異面直線B1A與BC1所成角的余弦值為____.

【解析】由題意知，∠A1AB=∠A1AC=60°可得四邊形BCC1B1為正方形.如圖，把底面ABC補成菱形ABCD，把底面A1B1C1補成菱形A1B1C1D1，即把三棱柱補成平行六面體ABCD?A1B1C1D1，則∠B1AD1為異面直線AB1與BC1所成角。不妨設(shè)棱長為2，則AD1=BC1=，AB1=B1D1=，在△AB1D1中，由余弦定理可得cos.

在解決異面直線所成角的問題，通過“補”的方法，在找平行線時，學(xué)生能夠直觀、增強空間的想象能力。

三、構(gòu)造長方體進行三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖

例4.（2017年北京卷文科數(shù)學(xué)第6題）已知如圖所示是三棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）.

A.60 B.30

C.20 D.10

【解析】將該錐體，通過“補”的方法，構(gòu)造長方體，如圖所示，.故選D.

這是一道典型的高考題，將幾何體的體積、表面積計算與三視圖結(jié)合命題是高考的常見題型，旨在發(fā)展學(xué)生的識圖、用圖能力及空間的想象能力與演算能力。若所要求的幾何體的體積是不能夠直接用公式求解出來的，則一般要用“等體積法”求解（轉(zhuǎn)換的原則是使底面面積和高易求）或使用切割法、補全法等方法求解。

四、構(gòu)造長方體進行外接球求解

例5.（2010年遼寧文科數(shù)學(xué)11題）若S，A，B，C四點是球O的表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，則球O的表面積為（ ）

A.4π B.3π C.2π D.π

【解析】根據(jù)題意，畫出直觀圖，如圖6，由SA⊥平面ABC和AB⊥BC，把棱錐S-ABC補成長方體，如圖7，此時三棱錐S-ABC與補成的長方體有相同的外接球，所以外接球的直徑2R=SC=2，外接球的表面積為4πR2=4π.

五、構(gòu)造長方體在解答題的應(yīng)用

例6.（2016年全國1卷文科數(shù)學(xué)第18題）如圖所示，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E.聯(lián)結(jié)PE并延長交AB于點 G.

（1）求證：G是AB的中點；

（2）作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F（寫出作法及理由），且求出三棱錐 P-DEF的體積。

【解析】由正三棱錐的性質(zhì)和該三棱錐的側(cè)面是直角三角形，可構(gòu)建立方體模型，如圖8，利于學(xué)生觀察圖象中直線、平面的關(guān)系，直觀，思路易打開且清晰。

對于第一問，頂點P在平面ABC內(nèi)的投影為點D→PD⊥平面ABC→PD⊥AB；頂點D在平面PAB內(nèi)的投影為點E→DE⊥平面PAB→DE⊥AB；

對于第二問，由于構(gòu)建了立方體的模型，易知，BP⊥面PAC，只需要找BP的平行線，在平面ABP內(nèi)，過點E，作EF//PB，即可。

對于長方體，立體感強，學(xué)生熟悉，以長方體模型為媒介，能夠直接觀察并容易理解空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系；解決空間立體幾何問題時，要關(guān)注整體圖形的理解，發(fā)展學(xué)生空間的思維，數(shù)據(jù)的處理、邏輯推理、抽象思維、空間想象、數(shù)值計算等能力；領(lǐng)會、感悟化歸的思想、歸納類比的思想、數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)解題中的運用，培養(yǎng)探究精神。

構(gòu)造法實質(zhì)上是結(jié)合題目條件構(gòu)造符合原題的直觀空間幾何模型，然后利用模型直觀地解決問題，這樣減少由于抽象而考慮不全面而導(dǎo)致解題錯誤。正如法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說：“在數(shù)學(xué)世界里，發(fā)現(xiàn)真理的主要方法是歸納總結(jié)和模擬實驗?！痹诮忸}中要培養(yǎng)學(xué)生的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能夠找出題型的特點和關(guān)鍵點，能從變化莫測的題型中追蹤溯源，透析出本質(zhì)，歸結(jié)到最基本的知識，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的表現(xiàn)。

參考文獻：

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