在問(wèn)題解決中培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力

所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地、概括地表述研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的認(rèn)知能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，因此在教學(xué)過(guò)程中教師要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋應(yīng)用的過(guò)程，從而開(kāi)發(fā)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。下面我就以《植樹(shù)問(wèn)題》為例，談一談如何在問(wèn)題解決教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力。

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題，構(gòu)建文本模型

在課的開(kāi)始，很多教師都會(huì)創(chuàng)設(shè)一定的情境，對(duì)所學(xué)新知進(jìn)行適當(dāng)?shù)匿亯|，從“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)尋找新舊知識(shí)的聯(lián)接點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)。但是有些教師卻將情境局面局限于知識(shí)技能的獲取，為學(xué)生搭建的是暗示性、狹隘性、過(guò)渡性的“橋”，以便讓學(xué)生輕松便捷地獲得知識(shí)，這樣的方式難以讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的探索過(guò)程，束縛了學(xué)生的思維，抑制了學(xué)生的創(chuàng)造性。在建模思想指導(dǎo)下的情境創(chuàng)設(shè)，要確保數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究空間，還學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的權(quán)利，讓學(xué)生經(jīng)歷充分的探索過(guò)程，獲取豐富、積極的體驗(yàn)。

在教學(xué)《植樹(shù)問(wèn)題》一課的開(kāi)始，我先出示了某公園春季植樹(shù)規(guī)劃圖，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察情境圖，尋找數(shù)學(xué)信息，再根據(jù)數(shù)學(xué)信息，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，構(gòu)建文本模型。（即：公園里有三條小路，分別長(zhǎng)20米、25米和40米，要在這三條小路上從頭到尾植樹(shù)，每隔5米植一棵，這三條小路分別可以植幾棵樹(shù)呢？）這一情境的創(chuàng)設(shè)完全來(lái)源于生活，簡(jiǎn)單直白的描述，沒(méi)有為學(xué)生提供任何鋪墊性的知識(shí)，為學(xué)生自主探究植樹(shù)問(wèn)題提供了充分的探究空間，從而完成了數(shù)學(xué)建模第一步，而從“問(wèn)題情境” 向 “數(shù)學(xué)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化。

二、借助解題策略，分析數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生在總結(jié)他的學(xué)習(xí)經(jīng)歷時(shí)指出：對(duì)書本中的某些原理、定律、公式，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候不僅應(yīng)該記住它的結(jié)論、懂得它的道理，而且還應(yīng)該設(shè)想一下人家是怎樣想出來(lái)的，怎樣一步一步提煉出來(lái)的。只有經(jīng)歷這樣的探索過(guò)程，數(shù)學(xué)的思想、方法才能沉積、凝聚，從而使知識(shí)具有更大的智慧價(jià)值。因此，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)素材、探究發(fā)現(xiàn)進(jìn)行歸納提升，用簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型。

在解決 “每條小路分別植幾棵樹(shù)”的問(wèn)題前，我先讓學(xué)生猜一猜分別可以植幾棵樹(shù)呢？來(lái)驗(yàn)證大家的猜想，然后讓學(xué)生自主選擇擺一擺、畫一畫、或算一算等策略來(lái)表征問(wèn)題，理清數(shù)量關(guān)系，再交流解題方法和表征策略。在學(xué)生匯報(bào)后，再用列表的方法呈現(xiàn)學(xué)生的結(jié)果：

接著通過(guò)觀察表格發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而明確解題思路。（即：用全長(zhǎng)除以間隔長(zhǎng)度得到的是間隔數(shù)，在兩端都中的情況下棵樹(shù)比間隔數(shù)多1，因此，間隔數(shù)+1才等于棵樹(shù)。）最后，用點(diǎn)段圖表示兩端植樹(shù)的情況“ ”借助直觀的點(diǎn)線圖進(jìn)一步理解棵樹(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系，這樣提煉出植樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)，構(gòu)建植樹(shù)問(wèn)題模型，從而完成數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵一步，從“數(shù)學(xué)問(wèn)題”向“數(shù)學(xué)模型”的轉(zhuǎn)化。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)價(jià)值

在問(wèn)題解決教學(xué)中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)過(guò)自主探究，合作交流，建構(gòu)起數(shù)學(xué)的模型，這種數(shù)學(xué)模型需要在數(shù)學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行解釋與應(yīng)用，以進(jìn)一步理解模型的內(nèi)涵，科學(xué)合理地運(yùn)用模型解決問(wèn)題，并在實(shí)踐運(yùn)用中進(jìn)一步拓展和提煉模型。

教學(xué)中，在建構(gòu)了“植樹(shù)問(wèn)題”兩端都種情況的模型后，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)生活中的哪類現(xiàn)象也屬于植樹(shù)問(wèn)題，通過(guò)在學(xué)生大量舉例的基礎(chǔ)上，進(jìn)而出示 “一端裝路燈”、“兩樓之間插彩旗”的生活問(wèn)題。兩道練習(xí)題不是在簡(jiǎn)單的運(yùn)用前面的模型，而是在此模型的基礎(chǔ)上又拓展出一端植樹(shù)和兩端都不植情況的模型。（即一端植樹(shù)時(shí)，棵樹(shù)=間隔數(shù)；兩端都不植時(shí)，棵樹(shù)=間隔數(shù)-1）這樣就實(shí)現(xiàn)了從“數(shù)學(xué)模型”向“生活問(wèn)題”的拓展應(yīng)用。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)建和掌握數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)教育中傳授知識(shí)、培養(yǎng)能力的一條重要途徑。在課堂上學(xué)生再也不是“聽(tīng)眾”和“觀眾”，而是模型的發(fā)現(xiàn)者和運(yùn)用者。教師要讓“問(wèn)題解決的過(guò)程”成為“數(shù)學(xué)建模的過(guò)程”，讓學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中提升建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力。

作者簡(jiǎn)介：

張雪英（1976.9），女，漢，北京市通州區(qū)，高級(jí)教師，大學(xué)本科，北京市通州區(qū)貢院小學(xué)，小學(xué)數(shù)學(xué)教育，101100。