廣義逐步混合截尾下Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布的可靠性分析

肖金安,賀興時,王 燕

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

壽命試驗是研究產(chǎn)品的可靠性的一種必要手段。為了節(jié)省試驗時間和試驗成本,研究人員一般采用截尾壽命試驗。初期的截尾壽命試驗分為定時截尾壽命試驗(Ⅰ型截尾壽命試驗)和定數(shù)截尾壽命試驗(Ⅱ型截尾壽命試驗)[1]2種。后續(xù)出現(xiàn)了在試驗過程中移走部分試驗樣品的逐步截尾方案。為了滿足越來越多的高可靠、長壽命產(chǎn)品的試驗需求,Childs[2]率先提出了逐步混合截尾方案。在此基礎(chǔ)上,Cho[3]提出一種名為廣義逐步混合截尾的新截尾方案。該方案不僅可以在最少的試驗時間內(nèi)結(jié)束試驗,且有足夠數(shù)量的失效樣本[4-5]。

Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布(Marshall-Olkin extended exponential,MOEED)是可靠性試驗中一類重要的壽命分布[6]。國內(nèi)外學(xué)者對該分布的性質(zhì)進行了大量研究。Singh[7]應(yīng)用極大似然估計、最大間距估計、最小二乘法和加權(quán)最小二乘法討論了該分布的參數(shù)估計和區(qū)間估計,其中極大似然估計和最大間距估計效果較好。基于Ⅱ型混合截尾方案,Abhimanyu[8]研究了MOEED中未知參數(shù)的貝葉斯估計和極大似然估計,貝葉斯估計的效果較好且最大后驗密度區(qū)間更短。Sanku[9]獲得了逐步Ⅱ型截尾場合下MOEED的未知參數(shù)估計和區(qū)間估計,利用單樣本和雙樣本方法給出了預(yù)測,發(fā)現(xiàn)貝葉斯估計效果較優(yōu)。王燕[10]討論了該分布在逐步Ⅱ型截尾競爭失效產(chǎn)品下的參數(shù)估計問題,得出Bootstrap區(qū)間的覆蓋率比漸進置信區(qū)間更優(yōu)。綜上所述,廣義逐步混合截尾方案具有可控的終止時間及可控的失效數(shù),文中考慮對非單調(diào)失效率函數(shù)的MOEED,在廣義逐步混合截尾場合下研究其參數(shù)估計。

1 似然函數(shù)

Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)[11-12]分別為

(1)

(2)

由式(2)可知,相應(yīng)的生存函數(shù)為

(3)

式中:α為形狀參數(shù)；λ為尺度參數(shù)。

根據(jù)試驗過程可知,廣義逐步混合截尾試驗的停止時間為max{Tr,min{Tm,T0}},能夠保證獲得最少的失效數(shù)。當(dāng)T0

(a) 情形Ⅰ

(b) 情形Ⅱ

(c) 情形Ⅲ圖 1 獲得失效數(shù)據(jù)的3種情形Fig.1 Three conditions of acquiring failure data

情形ⅠT1

情形ⅡT1

情形ⅢT1

由上述基于廣義混合截尾下得到的截尾試驗樣本,得到似然函數(shù)為

(4)

統(tǒng)一計算公式為

[1-F(tr)]w1[1-F(t0)]w2

(5)

(6)

2 極大似然估計

2.1 參數(shù)估計

把式(1)和(2)分別帶入式(6)可得

分別求關(guān)于α，λ的偏導(dǎo)數(shù),得

(7)

(8)

因無法直接求得上述估計的準(zhǔn)確值, 使用 Newton-Raphson 迭代方法[13-14]計算上述未知參數(shù)值。

2.2 漸進區(qū)間估計

由于極大似然估計的漸近正態(tài)性[15],由此得到未知參數(shù)的漸進置信區(qū)間。通過式(6),獲得Fisher信息矩陣

式中

式中Zδ/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的(δ/2)上側(cè)分位數(shù)。

3 貝葉斯估計

3.1 聯(lián)合后驗分布函數(shù)

使用2個獨立的伽馬先驗分布g(a,b)和g(c,d)分別估計α,λ,其中超參數(shù)a,b,c,d均已知。分別表示為

g1(α)∝αa-1exp(-bα);α>0,a,b>0

g2(λ)∝λc-1exp(-dλ);λ>0,c,d>0

綜上可得α,λ的聯(lián)合后驗分布簡化為

(9)

式中

3.2 Metropolis-Hastings抽樣算法

由于無法獲得貝葉斯估計的顯式表達式,采用Metropolis-Hastings方法[17-18]獲得式(9)中未知參數(shù)的點估計和最大后驗密度可信區(qū)間(HPD)。α，λ的條件分布函數(shù)分別為

(10)

(11)

式中

Q(α,λ)=αw1+w2/{[1-(1-α)exp(-λtr)]w1·

[1-(1-α)exp(-λt0)]w2}

P(α,λ)=(exp(-λtr))w1(exp(-λt0))w2/

{[1-(1-α)exp(-λtr)]w1·

[1-(1-α)exp(-λt0)]w2}

利用Metropolis-Hastings方法采樣的步驟如下:

步驟1 選定α，λ的最大似然估計為初始值,記為(α(0),λ(0))。

步驟2 設(shè)定l=1。

步驟4 重復(fù)步驟3,直到l=M,然后得到隨機樣本(α(1),α(2),…,α(M))和(λ(1),λ(2),…,λ(M))。

步驟6 對步驟4的α(t),λ(t)進行排序,得到α,λ的1-γ可信區(qū)間近似為

(α(1),α(M[1-γ]+1)),…,(α(Mγ),α(M));

(λ(1),λ(M[1-γ]+1)),…,(λ(Mγ),λ(M))

式中[x]表示不大于x的最大整數(shù)；α,λ的HPD分別是上述長度最短的區(qū)間。

4 數(shù)值模擬

使用文獻[19]提供的方法產(chǎn)生服從MOEED的失效數(shù)據(jù)。選定參數(shù)值為(α,λ)=(2,2)和(α,λ)=(2.5,1.5),超參數(shù)均為(a,b,c,d)=(5,5,8,7)。基于不同的(n,m,r,T),有以下3種截尾方案:

方案1R1=R2=…=Rm-1=0,Rm=n-m;

方案2R1=R2=…=Rm-1=1,Rm=n-2m+1;

方案3R1=…=Rm-1=Rm=0,R1=n-m。

從表1～4可以發(fā)現(xiàn),貝葉斯估計值比極大似然估計更好,均方誤差也更小。同時貝葉斯估計的95%置信區(qū)間長度比漸進置信區(qū)間更短,效果更好。當(dāng)待測樣品數(shù)一定時,隨著失效數(shù)的增多,估計值的均方誤差和可信區(qū)間長度都變得更小。當(dāng)失效樣品一定,待測樣品增加時,估計效果較差。

表 1 (α,λ)=(2.5,1.5)時,參數(shù)的MLEs、MSEs和ILs

表 2 (α,λ)=(2.5,1.5)時,參數(shù)的BEs、MSEs和ILs

表 3 (α,λ)=(2,2)時,參數(shù)的MLEs、MSEs和ILs

表 4 (α,λ)=(2,2)時,參數(shù)的BEs、MSEs和ILs

5 結(jié) 語

研究了在廣義逐步混合截尾場合下MOEED的參數(shù)估計。建立似然方程,采用牛頓迭代法,給出了未知參數(shù)的最大似然估計值和漸近置信區(qū)間。采用伽馬分布的先驗分布推導(dǎo)出了MOEED未知參數(shù)的滿條件密度函數(shù)和貝葉斯估計,采用馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法給出了MOEED的貝葉斯估計值和最大后驗密度可信區(qū)間。仿真結(jié)果表明,貝葉斯估計比極大似然估計所得結(jié)果更好。