含多裂紋(群)鋼筋混凝土梁的自由振動(dòng)研究

陳得良， 汪亞運(yùn)， 吝國(guó)勝， 邱澤彬， 雷 偉

(1. 橋梁工程湖南省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 長(zhǎng)沙 410004； 2. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院， 長(zhǎng)沙 410004；3. 中建三局集團(tuán)有限公司工程總承包公司， 武漢 430061)

鋼筋混凝土梁作為重要的承力構(gòu)件,具有廣泛的工程應(yīng)用，其在制造和服役過(guò)程中，極易產(chǎn)生裂紋(群)。由于鋼筋混凝土梁為典型的非均勻材料(相對(duì)均勻的混凝土+單向鋼筋)，在出現(xiàn)裂紋后，因縱向鋼筋的約束效應(yīng)，其動(dòng)力學(xué)特性將不同于不考慮縱向鋼筋約束的均勻混凝土裂紋梁模型。

近年來(lái)隨著混凝土梁結(jié)構(gòu)在土木工程的廣泛應(yīng)用以及結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的需要，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)含裂紋混凝土結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。王丹生等[1]利用結(jié)構(gòu)振動(dòng)波傳播理論及等效彎曲彈簧模型，探討了裂紋深度和位置對(duì)鋼筋混凝土梁各階固有頻率的影響。Hamed等[2]在考慮混凝土和預(yù)應(yīng)力混凝土材料非線性行為的基礎(chǔ)上討論了裂紋幾何參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率的影響，研究表明裂紋的存在將會(huì)降低預(yù)應(yīng)力梁的自由振動(dòng)頻率。Huszár[3]基于線性剛度和非線性剛度模型對(duì)具裂紋鋼筋/預(yù)應(yīng)力混凝土梁的自由振動(dòng)頻率進(jìn)行研究，探討了預(yù)應(yīng)力、自重等參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響。羅青松[4]利用有限元法分析了預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土一階固有頻率與預(yù)應(yīng)力大小、布筋方式、裂縫深度以及裂縫位置的關(guān)系。易偉建等[5]用Hilbert-Huang變換時(shí)析得到了具裂紋鋼筋混土梁的非線性動(dòng)力特征,進(jìn)而識(shí)別了梁的非線性動(dòng)力特征，為通過(guò)梁的非線性動(dòng)力特征來(lái)識(shí)別裂紋提供了依據(jù)。Capozucca[6]則對(duì)具裂紋PRC/RC梁的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了試驗(yàn)研究，并將相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果和理論分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，研究表明混凝土梁材料的非均勻性和非線性都對(duì)含裂紋混凝土梁的動(dòng)力學(xué)特性有重要影響。上述文獻(xiàn)中，對(duì)于含裂紋鋼筋混凝土梁和混凝土梁動(dòng)力學(xué)的研究主要以單裂紋梁為研究對(duì)象。對(duì)于多裂紋梁的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，李學(xué)平等[7]討論了混凝土梁存在多裂紋時(shí)，其裂紋數(shù)量、位置、深度對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響，但未考慮鋼筋約束效應(yīng)和裂紋區(qū)應(yīng)力集中的影響。

本文將基于文獻(xiàn)[8-9]提出的裂紋影響因子，采用Euler-Bernoulli梁理論，并利用Hamilton變分原理建立考慮鋼筋約束和裂紋區(qū)應(yīng)力集中雙效應(yīng)下含多裂紋鋼筋混凝土梁的動(dòng)力學(xué)方程。采用一種簡(jiǎn)單有效的Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)的數(shù)值方法，研究裂紋深度、裂紋數(shù)目以及裂紋群位置對(duì)鋼筋混凝土梁固有頻率的影響。

1 考慮鋼筋約束具多裂紋鋼筋混凝土梁的控制方程

考慮如圖1所示含n條裂紋鋼筋混凝土梁，設(shè)梁長(zhǎng)度為l，梁截面高度為2d，寬度為2b。在截面中性軸上下房分別布置截面面積為AS1和AS2的鋼筋，距中性軸的距離分別為Za1和Za2。第i條裂紋距離梁端的距離為xci，裂紋深度為ai。

圖1 含裂紋鋼筋混凝土梁模型

鋼筋混凝土梁由混凝土和鋼筋兩種材料組成。為便于分析，文中將兩種材料均視為均勻彈性材料，并引入如下假設(shè)：① 應(yīng)變沿截面高度線性變化；② 鋼筋和混凝土之間沒(méi)有相對(duì)滑移；③ 不考慮剪切效應(yīng)；④ 只考慮微小變形，且裂紋未閉合。

基于上述假設(shè)，利用Euler-Bernoulli梁理論，得到含裂紋梁混凝土部分和縱向鋼筋部分的幾何方程和物理方程為

(1)

式中：n為裂紋數(shù)量；u和w為梁在x和z方向的位移；j=C、S分別為混凝土和鋼筋；Ts為裂紋影響因子，對(duì)于混凝土部分，當(dāng)梁上不存在裂紋時(shí)Ts為0，存在裂紋時(shí)Ts=1。對(duì)于縱向鋼筋部分Ts始終為0。φi(x,t)為引入的裂紋影響因子函數(shù)，其具有應(yīng)力在裂紋尖端最大，沿梁軸向呈指數(shù)衰減的特征具體形式如下

φi(x,z)=

(2)

式中：d為梁半截面高度，xci、ai分別為第i條裂紋的位置和裂紋深度。無(wú)量綱常數(shù)(控制裂紋尖端應(yīng)力的衰減率，取值為1.276[10]。對(duì)于不超過(guò)中性軸的微小裂紋，忽略中性軸以上裂紋對(duì)應(yīng)力、應(yīng)變的影響。常數(shù)m為裂紋處應(yīng)力沿橫向線性變化的斜率；u(d-a-z)為Heaviside函數(shù)。

(3)

(4)

利用Hamilton能量變分原理，推導(dǎo)含裂紋鋼筋混凝土梁的動(dòng)力學(xué)控制方程?；炷梁弯摻畹膭?dòng)能表達(dá)式為

(5)

式(5)中第二項(xiàng)為高階小量，忽略不計(jì)，將式(1)代入式(5)并沿截面積分可得

(6)

式中：TC、TS分別為混凝土和鋼筋的動(dòng)能。ρC、ρS分別為混凝土和鋼筋的密度；Vj表示混凝土和鋼筋的體積。

混凝土梁和鋼筋的應(yīng)變能為

(7)

將式(1)代入式(7)并沿截面積分可得

(8)

式中：EC、ES分別為混凝土和鋼筋的彈性模量，且有

(9)

式中:zai(i=1,2)為鋼筋距中性軸的距離。

將式(6)和式(8)代入鋼筋混凝土梁的Hamilton能量變分方程

(10)

式中:T為系統(tǒng)的總動(dòng)能;U為系統(tǒng)的總應(yīng)變能;V為結(jié)構(gòu)總外力勢(shì)能(對(duì)于自由振動(dòng)V=0);δ為變分符號(hào);t為時(shí)間變量。T、U的表達(dá)式為

(11)

由此可以得到含裂紋鋼筋混凝土梁的自由振動(dòng)微分控制方程

(12)

文中主要考慮諧波振動(dòng)，將位移函數(shù)分離變量，即：w(x,t)=W(x)T(t)，T(t)=eiωt。引入無(wú)量綱坐標(biāo)ξ=x/l，則有：

(0≤ξ≤1)

(13)

式中:α1為含變量ξ的函數(shù);α2為常數(shù)。表達(dá)式為

α1=ECf(ξ)+ES[fS1(ξ)+fS2(ξ)]，α2=ρCAC+

ρS(AS1+AS2)

2 問(wèn)題求解

式(13)為含變系數(shù)高階微分方程，直接得到其解析解具有相當(dāng)難度。為避免直接求解該方程，本文將引入一種簡(jiǎn)單的方法來(lái)分析含裂紋鋼筋混凝土梁的自由振動(dòng)問(wèn)題。將W(ξ)以Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，有

(14)

式中：li為未知系數(shù)；N為級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)數(shù)。Ti(ξ)為T(mén)aylor級(jí)數(shù)展開(kāi)式，其遞推關(guān)系如下

對(duì)于簡(jiǎn)支梁，有邊界條件

將式(14)代入上述邊界條件，有：

(15)

由邊界條件能夠確定4個(gè)獨(dú)立的方程，未確定N個(gè)未知系數(shù)li還需N-4個(gè)獨(dú)立的方程。因此，將式(14)代入式(13)，則有

(16)

將式(16)兩邊同乘以ξt(t=0,1,…,N-5)，同時(shí)對(duì)ξ從0到1積分，得到N-4個(gè)獨(dú)立的方程

(17)

式中：

由邊界條件得到的式(15)和由控制方程得到的式(17)得到一個(gè)封閉的線性代數(shù)方程組，其矩陣表達(dá)式為

(F-ω2G)·{l}=0

(18)

式中：F=[fij]N×N;G=[gij]N×N;{l}=[li]N×1。

式(18)為含裂紋鋼筋混凝土梁自由振動(dòng)特征向量方程。因?yàn)榉匠檀嬖诜瞧椒步?，則方程的系數(shù)矩陣行列式為零，即

|F-ω2G|=0

(19)

從上述方程可知，當(dāng)α1和α2為已知函數(shù)和常數(shù)時(shí)，式(19)得到的是關(guān)于固有頻率的方程，因此可獲得該方程求得含裂紋梁的固有頻率。

3 數(shù)值算例

考慮圖1中裂紋梁模型。其梁長(zhǎng)l=2 m，半梁高d=0.1 m，半梁寬b=0.05 m。混凝土、鋼筋的彈性模量分別為EC=2.8×104MPa、ES=2.1×105MPa，混凝土、鋼筋的密度分別為ρC=2 450 kg/m3、ρS=7 850 kg/m3。中心軸上下方的鋼筋的截面半徑為r=0.005 m，鋼筋距中性軸的距離Za1=Za2=0.06 m。

3.1 有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該方法的有效性，本節(jié)對(duì)無(wú)裂紋素混凝土梁和無(wú)裂紋鋼筋混凝土梁的自振特性進(jìn)行分析。通過(guò)數(shù)值解和理論解的比較來(lái)驗(yàn)證文中方法的可行性和有效性。簡(jiǎn)支梁的固有頻率理論解可以通過(guò)式(20)確定，式中ωn為簡(jiǎn)支梁第n階固有頻率。

(20)

表1 混凝土梁前三階固有頻率

從表1可知，考慮縱向鋼筋約束時(shí)梁的固有頻率高于不考慮縱向鋼筋混凝土梁；無(wú)論考慮縱向鋼筋約與如否，當(dāng)Taylor展開(kāi)級(jí)數(shù)N=10時(shí)，得到第一階固有頻率數(shù)值解與理論值一致。當(dāng)展開(kāi)級(jí)數(shù)N=16時(shí)，得到的第二階和第三階固有頻率也與理論值一致。這表明，本文的算法，隨著展開(kāi)級(jí)數(shù)N的增大，能得到更準(zhǔn)確的固有頻率值，且接近理論頻率；對(duì)同一鋼筋混凝土梁結(jié)構(gòu)，當(dāng)計(jì)入縱向鋼筋約束效應(yīng)時(shí)，其得到的梁結(jié)構(gòu)固有頻率要大于不考慮縱向鋼筋約束效應(yīng)時(shí)的頻率值，與實(shí)際相符。上述分析表明，本文提出的數(shù)值方法具有精度高且快速收斂的優(yōu)點(diǎn)。

為進(jìn)一步了驗(yàn)證本文算法在計(jì)算含裂紋梁固有頻率的可行性，基于文獻(xiàn)[1]單裂紋均質(zhì)混凝土梁模型，利用本文算法得到其前三階頻率并與文獻(xiàn)[1]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其頻率比ωC/ωW，如圖2所示，其中ωC為利用本文算法得到頻率，ωW為文獻(xiàn)[1]結(jié)果，結(jié)果表明，在取N=10時(shí)，對(duì)于微小裂紋，其前三階頻率誤差在8.5%以?xún)?nèi)，且裂紋越小誤差越小。因此，引用裂紋影響因子函數(shù)來(lái)模擬裂紋對(duì)梁應(yīng)力應(yīng)變的影響是有效可行的。

圖2 前三階頻率比

3.2 裂紋數(shù)目對(duì)鋼筋混凝土梁固有頻率的影響

圖3給出了裂紋數(shù)目對(duì)鋼筋混凝土梁前三階固有頻率的影響，其裂紋均布于梁受拉下側(cè)。圖3中ω0.05/ω0為多裂紋鋼筋混凝土梁前三階固有頻率與無(wú)裂紋鋼筋混凝土梁比值，其中ω0.05為裂紋深度a為0.05時(shí)鋼筋混凝土梁的固有頻率，ω0為無(wú)裂紋時(shí)鋼筋混凝土梁固有頻率。

圖3 裂紋數(shù)量對(duì)固有頻率的影響

從圖3可知，隨著鋼筋混凝土梁上裂紋數(shù)量n不斷增加，鋼筋混凝土梁結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率都隨著裂紋數(shù)目的增加而減小，且隨著裂紋數(shù)目n增加其頻率減小的趨勢(shì)有所趨緩。

3.3 裂紋深度對(duì)多裂紋鋼筋混凝土梁固有頻率的影響

對(duì)于鋼筋約束效應(yīng)裂紋深度對(duì)混凝土梁固有頻率的影響，給出了裂紋深度a從0～0.07 m變化時(shí)含裂紋梁的第一階固有頻率，其各裂紋深度相等且均布于梁上。其中，表2為不計(jì)入鋼筋約束效應(yīng)時(shí)的結(jié)果，表3為計(jì)入鋼筋約束效應(yīng)的結(jié)果。

分析表2和表3中數(shù)據(jù)可知，隨著裂紋深度的增加裂紋梁的固有頻率隨之減小，且隨著裂紋數(shù)量的增加裂紋梁固有頻率隨之減小。隨著裂紋的延伸，固有頻率的減小幅度越來(lái)越小，其原因在于文中引用的裂紋影響因子函數(shù)只適應(yīng)于微小裂紋。對(duì)比表2和表3中數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，計(jì)入鋼筋約束效應(yīng)影響的裂紋梁的固有頻率要大于不計(jì)入鋼筋約束效應(yīng)影響的固有頻率；裂紋深度在0～0.07 m范圍變化時(shí)，計(jì)入鋼筋約束效應(yīng)影響的裂紋梁的頻率減小幅度要小于不計(jì)入鋼筋約束效應(yīng)影響的減小幅度。

表2 裂紋深度對(duì)固有頻率的影響(無(wú)鋼筋約束)

表3 裂紋深度對(duì)固有頻率的影響(有鋼筋約束)

3.4 裂紋群位置對(duì)固有頻率的影響

實(shí)際工程中，鋼筋混凝土梁結(jié)構(gòu)的裂紋往往不止一條，并常以裂紋群的形式存在。設(shè)一裂紋群含有3條裂紋，其裂紋間距為d1=l/12，裂紋深度均為a=0.05m，中間裂紋距離梁端距離為xc。裂紋群在不同位置時(shí)，有裂紋鋼筋混凝土梁和混凝土梁與無(wú)裂紋鋼筋混凝土梁和混凝土梁的前三階頻率比值分別列于表4，其中頻率比ωC/ωn，ωC為利用本文算法得到頻率，ωn為相應(yīng)混凝土梁的固有頻率。

表4 裂紋群位于不同位置時(shí)的頻率比

從表4中的數(shù)據(jù)可知，第一階固有頻率在裂紋位置為l/2附近時(shí)相對(duì)較小，第二階固有頻率在裂紋位置為l/4附近時(shí)相對(duì)較小，而第三階固有頻率在裂紋位置為l/6附近時(shí)相對(duì)較小。由此可知，當(dāng)裂紋群位于振型波峰或是波谷位置時(shí)，對(duì)應(yīng)頻率衰減幅度相對(duì)會(huì)比較大。對(duì)比前三階頻率比值可知，裂紋群位置對(duì)第一階固有頻率的影響相對(duì)第二階和第三階固有頻率要小。

3.5 多裂紋群位置對(duì)固有頻率的影響

對(duì)于多裂紋群位置對(duì)固有頻率的影響，本節(jié)中考慮鋼筋混凝土梁中存在兩裂紋群，其中每個(gè)裂紋群含有兩條裂紋，裂紋間距為l/48。假定裂紋群各裂紋的深度相同，其中一裂紋群位置不變，且位于梁左端l/6，二裂紋群位置變化，距一裂紋群間距為ld，含裂紋鋼筋混凝土梁前三階固有頻率比列于表5～表7，其中頻率比ωC/ωn，ωC為利用本文算法得到頻率，ωn為無(wú)裂紋鋼筋混凝土梁的固有頻率。

從表5～表7可知，隨著裂紋群間距的增加，鋼筋混凝土梁第一階固有頻率逐漸減?。坏诙A固有頻率和第三階固有頻率隨第二裂紋群位置變化的趨勢(shì)相近，呈現(xiàn)頻率先減小后增大再減小的趨勢(shì)，且裂紋群位置為對(duì)稱(chēng)布置時(shí)的頻率最??；隨著裂紋深度的增加，鋼筋混凝土梁的固有頻率隨之減小，此結(jié)果與前述計(jì)算結(jié)果一致。

表5 裂紋群位于不同位置時(shí)的第一階固有頻率比

表6 裂紋群位于不同位置時(shí)的第二階固有頻率

表7 裂紋群位于不同位置時(shí)的第三階固有頻率

4 結(jié) 論

(1) 本文考慮了鋼筋約束效應(yīng)的影響，通過(guò)引入裂紋影響因子函數(shù)來(lái)模擬裂紋對(duì)裂紋附近應(yīng)力、應(yīng)變的影響，運(yùn)用Hamilton能量原理建立了含多裂紋鋼筋混凝土梁的動(dòng)力學(xué)方程，并通過(guò)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)的數(shù)值方法求解該方程。通過(guò)和已有文獻(xiàn)結(jié)果比較，驗(yàn)證了本文思路的有效可行性。

(2) 裂紋深度和裂紋數(shù)目的變化將導(dǎo)致梁固有頻率的變化，且隨著裂紋深度的擴(kuò)展、裂紋數(shù)目的增加，含裂紋梁固有頻率隨之減小。

(3) 當(dāng)裂紋群位于梁振型波峰或是波谷時(shí)，對(duì)應(yīng)頻率的衰減幅度相對(duì)會(huì)較大。裂紋群位置對(duì)第一階固有頻率的影響相對(duì)第二階和第三階固有頻率要小。

(4) 對(duì)于含兩裂紋群鋼筋混凝土梁，其固有頻率隨裂紋群間距的增加而變化，其中第一階固有頻率的變化相比第二階和第三階固有頻率的頻率變化更具有規(guī)律性。