淺談數(shù)學(xué)文化視角下的命題研究與教學(xué)建議

黃雪林

摘?要：教育部頒發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)文化是指“數(shù)學(xué)的思想、精神、語言，方法，觀點(diǎn)及其形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活，科學(xué)技術(shù)，社會(huì)發(fā)展和與數(shù)學(xué)相關(guān)的人類活動(dòng)中的貢獻(xiàn)和意義?！?。數(shù)學(xué)文化對(duì)數(shù)學(xué)教育的重要作用已經(jīng)引起了廣大一線數(shù)學(xué)教師和學(xué)者專家們的關(guān)注。本文就研究2008～2018十余年的高考數(shù)學(xué)文化題的命題背景分析為切點(diǎn)淺談數(shù)學(xué)文化視角下的命題研究和教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);命題研究

我國(guó)在20世紀(jì)30年代就已經(jīng)出現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的研究觀點(diǎn)，北京大學(xué)教授孫小禮在《數(shù)學(xué)與文化》中指出“數(shù)學(xué)的出現(xiàn)及發(fā)展，是現(xiàn)代文化獲得形成的主要力量”?！捌胀ǜ咧姓n程綱要”明確指出“數(shù)學(xué)文化應(yīng)納入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地將相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容結(jié)合起來，將數(shù)學(xué)文化滲透到日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展。理解數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)，社會(huì)發(fā)展中的作用，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)生的科學(xué)精神，應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng);將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)有利于開放學(xué)生的視野，提高數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)?！币詳?shù)學(xué)文化視角命制的數(shù)學(xué)題滲透了數(shù)學(xué)文化;關(guān)注社會(huì)發(fā)展，注重引導(dǎo)考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題，筆者相就數(shù)學(xué)文化視角下談?wù)劽}研究與教學(xué)建議。

一、 數(shù)學(xué)文化命題的特征分析

筆者對(duì)2008年至2018年十余年的高考試卷進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其中全國(guó)卷從2013年開始出現(xiàn)單獨(dú)以數(shù)學(xué)文化視角命制的試題，在2015年全國(guó)Ⅰ卷和全國(guó)卷Ⅱ的文、理試卷都出現(xiàn)了以數(shù)學(xué)文化背景命制的試題，數(shù)學(xué)文化視角的數(shù)學(xué)試題引起重視并在之后的每一年的全國(guó)卷中都有出現(xiàn)。為了更直觀從數(shù)學(xué)文化視角研究全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)文、理試卷中的相關(guān)背景下的試題筆者列表如下（表1）：

從上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果中可以看出以數(shù)學(xué)文化視角命題的試題在全國(guó)卷的文、理科試卷中出現(xiàn)的頻次較為均衡，但是在地方卷中就更為偏愛理科卷了。從知識(shí)點(diǎn)的分布來看，數(shù)學(xué)文化視角命制的題目較多的涉及立體幾何（尤其是體積和表面積的計(jì)算）、平面解析幾何（阿波羅尼斯圓以及東西方的歷史名人的重要數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)史上著名的幾何證明題為主）、算法程序框圖（秦九韶算法和更相減損術(shù)等傳承我國(guó)數(shù)學(xué)文化的素材）、數(shù)列（斐波那契數(shù)列等）、函數(shù)（狄利克雷函數(shù)等）。其中幾何圖形的體積計(jì)算，平面圖形與概率結(jié)合面積計(jì)算，算法程序框圖和數(shù)列的命題比重也較其他知識(shí)點(diǎn)要大。命題形式基本以選擇題和填空題出現(xiàn)，在解答題中數(shù)學(xué)文化視角的試題較少涉及，并且表現(xiàn)形式也不如選擇題和填空題出現(xiàn)的顯而易見，一般會(huì)以較為含蓄的形式出現(xiàn)。

（一） 數(shù)學(xué)文化題的素材來源分析

十余年的數(shù)據(jù)分析為我們對(duì)數(shù)學(xué)文化視角的試題題目進(jìn)行素材來源分析提供了便利的條件，筆者從數(shù)學(xué)文化背景分析數(shù)學(xué)文化題主要素材來源分為：

1. 源自數(shù)學(xué)名題的數(shù)學(xué)文化試題

以數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)真題名題為背景的試題基本都是具有數(shù)學(xué)問題的原型的，命題基于對(duì)原型本身進(jìn)行一定的改編，主要改編方式以下三種形式為主：再現(xiàn)數(shù)學(xué)名題、對(duì)條件或目標(biāo)進(jìn)行改編、將結(jié)論或方法進(jìn)行遷移。其中以我國(guó)數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)名題很大一部分是取自《九章算術(shù)》《數(shù)學(xué)九章》《張邱建算經(jīng)》等我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著中的真題名題，基于數(shù)學(xué)文化多元化特征外國(guó)古代數(shù)學(xué)文化也備受命題者青睞，同樣也以數(shù)學(xué)名題再現(xiàn)的形式出現(xiàn)為主，重現(xiàn)了古代數(shù)學(xué)家重要成果的發(fā)現(xiàn)思維過程。

【2018年浙江卷11】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五;雞母一，值錢三;雞雛三，值錢一。凡百錢，買雞百，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為x，y，z，則x+y+z=1005x+3y+13z=100，當(dāng)z=81時(shí)，x=????，y=????。

分析：這是一道取自《張邱建算經(jīng)》中的原題，采用的是文言文的形式并且還用方程把文言文進(jìn)行了數(shù)學(xué)翻譯，題目的命制屬于直接再現(xiàn)原題并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行改編相結(jié)合的方式。為學(xué)生提供了的文言文形式的數(shù)學(xué)名題的同時(shí)又解除了閱讀障礙，充分的考察了學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。

【2018年上海卷15】《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬。設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖1，若陽馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是（??）

A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

【蘇州市2018～2019學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷高二數(shù)學(xué)9 】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年。例如：“塹堵”指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱;“陽馬”指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐。如圖2，在“塹堵”ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，若“陽馬”B-A1ACC1的體積為20cm3，則“塹堵”ABC-A1B1C1的體積為???cm3。

分析：這兩道題都是以《九章算術(shù)》中的陽馬、塹堵幾何體為命題背景，是屬于典型的對(duì)條件或目標(biāo)的改編，包含了對(duì)已知條件的改編、所求目標(biāo)的改編、同時(shí)改編條件和目標(biāo)。這兩題的背景設(shè)計(jì)相似問題設(shè)計(jì)方向卻是完全不同，2018年上海卷15題涉及的考點(diǎn)是空間點(diǎn)、線、面的關(guān)系，蘇州市2018～2019學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷高二數(shù)學(xué)9題考查的是空間幾何體的體積的求解。在弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化的同時(shí)，考察了學(xué)生的空間想象能力，開拓了學(xué)生的視野，踐行了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2. 源自文化事物的數(shù)學(xué)文化試題

選擇源于文化符號(hào)、文化物品等文化事物的數(shù)學(xué)文化視角命制的試題，一般以展現(xiàn)數(shù)學(xué)美學(xué)為主題方向。數(shù)學(xué)美所體現(xiàn)的美學(xué)維度是精神空間上美，區(qū)別于自然美和藝術(shù)美，數(shù)學(xué)美學(xué)體現(xiàn)為抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性及冷峻而含蓄性的理性美。

數(shù)學(xué)美學(xué)主要表現(xiàn)為幾何圖形的結(jié)構(gòu)美、數(shù)學(xué)符號(hào)語言的簡(jiǎn)潔美還有數(shù)學(xué)邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)美。數(shù)學(xué)美的特征為和諧性和奇異性。數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)（趙爽弦圖）、希波拉克底研究的幾何圖形、傳統(tǒng)太極圖中的陰陽魚等等，都是著眼于數(shù)學(xué)文化美學(xué)的滲透。實(shí)現(xiàn)對(duì)研究對(duì)象的理解抽象出數(shù)學(xué)問題，真正學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維來思考世界，用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)世界。

【2017年全國(guó)卷Ⅰ理2文4】如圖3，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（??）

A. 14

B.π8

C. 12

D.π4

【2018年全國(guó)卷Ⅰ理10】如圖4來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC。△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ。在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3則（??）

A. p1=p2

B. p1=p3

C. p2=p3

D. p1=p2+p3

【2018年湖北省普通高中（全國(guó)卷Ⅰ）高考仿真模擬數(shù)學(xué)理科卷（四）4】我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖5），圖6是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，其中ABCD正方形內(nèi)部即為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形AFB，BCG，CDH，DAE組成，其中BF=3，AF=4分別延長(zhǎng)FA，GB，HC，ED到A′，B′，C′，D′使AA′=FA，BB′=GB，CC′=HC，DD′=ED，連接A′B，B′C，C′D，D′A，我們將圖中陰影所在的四個(gè)三角形ABA′，三角形BCB′，三角形CDC′，三角形DAD′，稱為“風(fēng)葉”，若在風(fēng)車內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自“風(fēng)葉”的概率為（??）

A. 2449

B. 2549

C. 3964

D. 2564

分析：這三個(gè)題目都是典型的將數(shù)學(xué)美學(xué)與三角函數(shù)中倍角關(guān)系、弧長(zhǎng)和面積知識(shí)的考查、幾何概型中的計(jì)算問題（尤其是希波克拉底定理的理解）都能夠在滲透數(shù)學(xué)美學(xué)的過程中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這些和諧、對(duì)稱的圖形中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，以現(xiàn)實(shí)生活中樸實(shí)的事例結(jié)合古典數(shù)學(xué)為背景考查數(shù)學(xué)文化相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生在深層次理解數(shù)學(xué)文化并能夠在今后的學(xué)習(xí)和生活中去發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造和研究，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活的本質(zhì)。

3. 源自與現(xiàn)代科學(xué)或生產(chǎn)生活有關(guān)系的數(shù)學(xué)文化背景試題

馬克思曾指出，任何一門學(xué)科是否成熟，只要看這門學(xué)科中數(shù)學(xué)應(yīng)用的程度。數(shù)學(xué)科學(xué)在社會(huì)科學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中承擔(dān)著非常重要的作用。數(shù)學(xué)文化視角下的試題承擔(dān)起讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)與時(shí)代進(jìn)步的緊密關(guān)系的重要使命。

【2017～2018年遼寧省沈陽市郊聯(lián)體高二上期末數(shù)學(xué)試卷（理科）12】2016年1月14日，國(guó)防科工局宣布，嫦娥四號(hào)任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實(shí)施。如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行。若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子：①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a1a1c2其中正確式子的序號(hào)是（??）

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

【2018年全國(guó)Ⅱ卷理8】我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23。在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（??）

A. 112

B. 114

C. 115

D. 118

分析：弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)代科學(xué)或生產(chǎn)生活有關(guān)系素材的試題主要體現(xiàn)為兩點(diǎn)：一是挖掘現(xiàn)代科學(xué)或生產(chǎn)生活與數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合點(diǎn);二是將數(shù)學(xué)落實(shí)到增強(qiáng)數(shù)學(xué)問題的生活化，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用貼近學(xué)生的生活實(shí)際，實(shí)現(xiàn)感受“數(shù)學(xué)來源于生活”的學(xué)習(xí)理念。

二、 數(shù)學(xué)文化在教學(xué)實(shí)踐中的教學(xué)建議

張奠宙教授曾指出，“數(shù)學(xué)文化不是處在課堂之外，其必須要進(jìn)入課堂之中”。數(shù)學(xué)文化具有比數(shù)學(xué)知識(shí)體系更為豐富的內(nèi)涵，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高度概括。如何在課堂教學(xué)活動(dòng)中，教師通過合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，并在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)文化，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中形成一種數(shù)學(xué)文化意識(shí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)文化之間的有效結(jié)合。

（一） 以數(shù)學(xué)史為依托，創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入課堂實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的滲透

數(shù)學(xué)史是人類文明發(fā)展進(jìn)程中關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程的全記錄，是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)最為有效的載體。筆者認(rèn)為教師能夠在教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中對(duì)數(shù)學(xué)史料進(jìn)行一定的加工，在尊重歷史的前提下靈活的用學(xué)生喜歡的形式，比如播放數(shù)學(xué)史的科普視頻、數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)短而又有趣的數(shù)學(xué)演講，課堂情境引入數(shù)學(xué)家的小故事等形式根據(jù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理的選擇，在選用的數(shù)學(xué)史內(nèi)容時(shí)教師一定要緊密聯(lián)系教學(xué)內(nèi)容，甚至可以將數(shù)學(xué)史上的內(nèi)容與現(xiàn)代信息技術(shù)結(jié)合，增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂趣味性的同時(shí)也能夠?qū)崿F(xiàn)更為有效的數(shù)學(xué)文化滲透和踐行數(shù)學(xué)源于生活的數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化教育的真正目的。

（二） 以數(shù)學(xué)題材為媒介，結(jié)合例題習(xí)題實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化滲透

數(shù)學(xué)文化如何在日常學(xué)習(xí)過程中高頻次的出現(xiàn)？選擇部分有趣且極具數(shù)學(xué)文化特色的數(shù)學(xué)例題和習(xí)題是非常有效的重現(xiàn)形式，既促使課堂內(nèi)容層次豐富又能夠較好地開發(fā)學(xué)生的從數(shù)學(xué)問題中形成數(shù)學(xué)思維的能力。如果教師敢于大膽地為學(xué)生提供以著名的數(shù)學(xué)問題為藍(lán)本開發(fā)的數(shù)學(xué)試題，由學(xué)生自己來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題、改編數(shù)學(xué)問題的嘗試，筆者相信這樣的經(jīng)歷一定能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化有更為深入的了解，也能極大的增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

（三） 通過數(shù)學(xué)公理，概念和教學(xué)本質(zhì)滲透數(shù)學(xué)文化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化應(yīng)用于數(shù)學(xué)實(shí)踐

在實(shí)際的數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中，如果教師只停留在對(duì)數(shù)學(xué)概念和公式的解釋上，學(xué)生只能被動(dòng)地接受教師輸入的知識(shí)、機(jī)械的記憶、重復(fù)的應(yīng)用公式、性質(zhì)和定理，很難達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)思維的高度理解，而且談?wù)搶W(xué)習(xí)的熱情更加困難。如果教師可以使用數(shù)學(xué)文化來創(chuàng)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題情境，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)現(xiàn)象中沿著數(shù)學(xué)家們的發(fā)現(xiàn)探索之路實(shí)現(xiàn)學(xué)生自我的數(shù)學(xué)公理、概念、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和歸納。我想這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)不但能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更能激活學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性。真正讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)本身是源自生活實(shí)際，并把這種學(xué)習(xí)精神一直陪伴到今后的學(xué)習(xí)和生活中去。

三、 結(jié)束語

數(shù)學(xué)文化與教學(xué)實(shí)踐有效的結(jié)合，為教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)、數(shù)學(xué)思維的形成、學(xué)生主體性地位的作用、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣等方面都是總之有效的。然而數(shù)學(xué)文化本身的綜合性非常強(qiáng)，需要我們的教師能夠提升對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)知，從多方面多角度的對(duì)數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了解，加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的知識(shí)儲(chǔ)備，在課堂教學(xué)活動(dòng)中通過數(shù)學(xué)文化的滲透綻放數(shù)學(xué)之美！

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