哥德巴赫猜想證明

楊胡生

【摘要】本文對根據(jù)增殖算法得到的素數(shù)分布規(guī)律進行了深入的探討，并在此基礎上創(chuàng)建了素數(shù)周期循環(huán)分布表，計算出兩個相鄰素數(shù)的最大間隙不超過420，找出了105個位缺帶對稱群，并用位缺帶全方位多重對稱性證明了哥德巴赫猜想.

【關(guān)鍵詞】增殖算法;位缺帶;對稱性;哥德巴赫

哥德巴赫猜想：任何大于4的偶數(shù)都可以用2個素數(shù)之和表示.

題意的要求有兩點必須滿足，其一是偶數(shù)滿足充分大，直至無窮，其二是滿足偶數(shù)的連續(xù)性，缺一不可.為此用下列步驟證明：

一、確定先決條件

必須是應用增殖算法得到的素數(shù)周期循環(huán)分布規(guī)律進行證明.

引理1：h=（3+2x）p.

引理2：p=Py+210m.

引理3：2C=（Pa+Δ）+（Pb-Δ）=Pa+Pb.

二、證明素數(shù)的稀疏程度

素數(shù)隨著數(shù)值的增大分布的越來越稀疏，如果稀疏程度達到任意大甚至無窮的時候，連素數(shù)都不存在還何談證明哥德巴赫猜想呢！那么素數(shù)為什么會越來越稀疏？稀疏到什么程度？究其原因是素因子形成的合數(shù)占據(jù)的位缺會越來越多，所以產(chǎn)生的素數(shù)的機會就越來越少，但是，素因子越大其占據(jù)位缺的能力卻越來越小，那么大素因子形成的合數(shù)能不能占滿位缺帶呢？如果占滿了位缺帶那還能有素數(shù)產(chǎn)生和生存的空間嗎？這就是下面我們要證明的問題.

素因子越大其產(chǎn)生的合數(shù)占據(jù)位缺的能力越低，那么究竟低到什么程度，請看下面的計算：

首先要選取參數(shù)，一是選取一個素數(shù)，二是選取與該素數(shù)相應的自然數(shù)段，令自然數(shù)段為n，素因子為P;，因為素因子增殖到P;^2后才能占據(jù)位缺，所以得到下列公式：

Zs=[（n-P;^2）/2P;x16/35]/[（n-P;^2）/210]

=210/P;x8/35.（1）

定理1素因子每周占據(jù)的位缺數(shù)與素因子的大小成反比.

Zs——每一周期素因子的個數(shù).

根據(jù)公式（1），我們給出5個素數(shù)：99809，5051117，20021689，60072223，80054497，以它們?yōu)樗匾蜃?，計算每一個形成的合數(shù)每一周期平均占據(jù)的位缺數(shù)：

素因子99809形成的合數(shù)每周平均占據(jù)的位缺數(shù)：

從以上計算可以證明素因子越大占據(jù)位缺的能力越弱，這一點從公式（1）也可以得到證明，210對一個大素因子是一個很小的常數(shù)，所以其比值最后趨近于0，它不占據(jù)位缺，所以永遠會有新的更大的素數(shù)產(chǎn)生，這也證明了素數(shù)是無窮的.

三、證明素數(shù)的最大間隔

將48個模位缺數(shù)連乘得到模位缺合數(shù)M：

M=∏48i=1Si，（2）

其中：S1=1，S2=11，S3=13，…，S47=199，S48=209.

現(xiàn)在就把這48個數(shù)乘起來：

M=1×11×13×17×19×…×193×197×199×209

=22241009528609813382518389239606×

10^77×114286782181.

乘積的前段是48個位缺數(shù)中去掉121、143、169、187、209等5個數(shù)后其余43個位缺數(shù)的乘積，這個乘積可以被43個位缺數(shù)中的任何一個整除，如果用這43個數(shù)接連去除其結(jié)果肯定是“0”.當然，這43個數(shù)都是素數(shù)，都是前段乘積的素因子，前段乘積就是它們的合數(shù).

后段的5個數(shù)占據(jù)了5個位缺，它們的乘積是114286782181，當然它也是一個合數(shù)，顯然是121、143、169、187、209的合數(shù)，它們每一個都不是素數(shù)，都是合數(shù)：

121是11^2，

143=11×13，

169=13^2，

187=11×17，

209=11×19.

所以這5個數(shù)都不是后段乘積的素因子，現(xiàn)在一個重要的問題擺在了面前：“后段乘積（114286782181）是否能被其他5個素因子除盡？”

我們試除一下用11×13×17×19的積去除它，如果得到的商剛好是素數(shù)那么就說明這5個位缺可以被占滿，否則就說明還存在位缺.

114286782181/11/13/17/19=2474329.

2474329/11=224939，

2474329/13=190333，

計算結(jié)果2474329是合數(shù)，它沒有資格占據(jù)位缺，所以有2個位缺存在.

為了測試后段乘積能不能被除盡我們選取與121、143、169、187、209這5個數(shù)相近的素數(shù)來做素因子，用它們來除后段乘積，例如，選取113、149、157、179、199，這5個都是素數(shù)，現(xiàn)在試除一下：

114286782181/113=不能整除.

114286782181/149=不能整除.

114286782181/157=不能整除.

114286782181/179=不能整除.

114286782181/199=不能整除.

事實證明用121、143、169、187、209以外的任意合數(shù)都不能整除114286782181，如果用以上5個合數(shù)的因子試除又當如何呢？請看：

114286782181/11^5=709631.

709631/13^3=323.

323/17=19.

后段乘積實際有11，13，17，19等4個素因子，那么后段乘積還剩1個位缺，這也就證明了每一個周期的位缺永遠不會被占滿，當然每一個周期都有素數(shù)產(chǎn)生，從而證明每一個周期至少有1～2個素數(shù)，并有素數(shù)定理：

1<每一周期素數(shù)個數(shù)，且P;+1-P;<420.（3）

定理2相鄰兩個素數(shù)的最大距離不超過420（2個周期）.

以上定理是依據(jù)以下猜想得出，即：

猜想：相同個奇合數(shù)之積不能被相同個素數(shù)分解.

∏∞i=1hi≠∏∞i=1pi.當且僅當pi≥11.（4）

素數(shù)越來越稀疏的說法有缺陷，按照這種說法素數(shù)不是稀疏到趨近0嗎？其實不然，素數(shù)的稀疏是有極限的，其極限是每一個周期不少于1～2個.

位缺帶空間為什么永遠填不滿，其原因有三點：

其一，每一個素因子都要形成無窮多的合數(shù)，每一個合數(shù)不是占據(jù)合數(shù)帶就是占據(jù)位缺帶，但是，它們都是活躍分子，這一次占據(jù)一個位置下一次就換另外一個位置，再下一次又換一個新位置，同時在這一個周期占據(jù)了這些位置，下一個周期一定更換另外一些位置，永無止境地變換，為產(chǎn)生位缺（素數(shù)）創(chuàng)造了條件.

其二，位缺帶是永無止境無限延長的輻射帶，相比之下素因子越大其占據(jù)位缺的能力越來越弱，即使想要占據(jù)更多的位缺帶終因鞭長莫及而無能為力，加之于大素數(shù)的稀疏，其合成的合數(shù)也就越來越少，這也是位缺帶不能被占滿的原因之一.

其三，在充分大的每一個周期內(nèi)只能有1～2個位缺，這1～2個位缺是不會被填滿的，永遠保持相對平穩(wěn)的狀態(tài)，就是每周期的素數(shù)不少于1～2個.

四、建立位缺帶對稱群并證明哥德巴赫猜想

素數(shù)周期循環(huán)分布表是輻射至無窮的開放性數(shù)陣圖，是開放的無窮的自然正整數(shù)的矩陣，一切自然數(shù)都可以在其中得到表示，該矩陣有105列，當以任意列為對稱軸都可以找到一批對稱的位缺帶，形成各自的對稱群，共有8類對稱群，分為105種分支對稱群;當以210為模時每一個偶數(shù)的中心數(shù)的同余數(shù)都與一個對稱群相對應，則全部偶數(shù)就與105個對稱群相對應，并可以用該對稱群表示.對稱群分類如下：

1類（中心對稱群）：有24對對稱位缺帶.

2類（根3類）：有27種分支對稱群，其中26種分支對稱群中各有15對對稱位缺帶，另外1種分支對稱群有18對對稱位缺帶.

3類（根3-5類）：有6種分支對稱群，且這一分支對稱群中有20對對稱位缺帶.

4類（根3-7類）：有1種分支對稱群，每一種分支對稱群中各有18對對稱位缺帶.

5類（根5類）：有12種分支對稱群，每一種分支對稱群中各有10對對稱位缺帶.

6類（根5-7類）：有2種分支對稱群，每一種分支對稱群中各有12對對稱位缺帶.

7類（根7類）：有8種分支對稱群，每一種分支對稱群中各有9對對稱位缺帶.

8類（模位缺類）：有48種分支對稱群，每一種分支對稱群中各有7對對稱位缺帶.

以上8類對稱群105種分支對稱群涵蓋了全部自然數(shù)，每一種對稱群中都有無窮多的等價的數(shù)對存在，任意連續(xù)的大偶數(shù)每一個都可以用相當數(shù)量的等價的數(shù)對來表示，如果這些等價的數(shù)對有一部分是素數(shù)對則就可以證明哥德巴赫猜想成立，下面我們?nèi)∧Ｎ蝗鳖悓ΨQ群中的11-116分支對稱群進行討論：

My所在的直線是該對稱群的對稱軸，直線旁標注的數(shù)字是中心數(shù)

My兩側(cè)的直線是左右對稱的位缺帶，過每一個中心數(shù)都有一條直線進行旋轉(zhuǎn)并與每一條位缺帶相交，其交點上有黑點則表示該黑點是一個素數(shù)，否則是合數(shù).

底部橫向的數(shù)字表示0周期的模位缺數(shù).

圖中的計算關(guān)系如下：令對稱中心左側(cè)交點上的數(shù)=a，

對稱中心右側(cè)交點上的數(shù)=b，

對稱位缺帶上對稱的兩點到對稱中心的距離=Δ，于是有：

R=2My=（a+Δ）+（b-Δ）=a+b.（5）

如果a與b皆為素數(shù)則哥德巴赫猜想被證明成立.

上面的圖形僅僅是一幅無限拓展的圖形的最初的一段，其實每一條位缺帶都可以無限延長到無窮，并反映出包含在該對稱群中所有與偶數(shù)等價的素數(shù)對，現(xiàn)在僅就其中的偶數(shù)之一找出對稱的素數(shù)對，例如，令R=862，My=431，則：431≡11（mod210）.

在0與4周期對稱的素數(shù)對有：23+839=41+821=53+809=59+803=101+761=179+683=862等共有6對素數(shù)對.

在1與3周期對稱的素數(shù)對有：263+599=269+593=293+569=862等共有3對素數(shù)對.

在2周期內(nèi)對稱的素數(shù)對有：419+443=401+461=383+479=359+503=353+509=862等共有5對素數(shù)對.

在對稱軸上對稱的素數(shù)對有11+851=862共有1對.

以上共有15對素數(shù)對滿足等式要求，每一對素數(shù)對都是等價的，都可以替代其余每一個素數(shù)對.

在11-116對稱群中可以得到以My=11+210m為中心的偶數(shù)R的無限多的素數(shù)對，且隨著R值的增大其素數(shù)對也越來越多，即使R→∞都有小于R-210內(nèi)的素數(shù)與0周期的模位缺數(shù)組成素數(shù)對，即使當模位缺數(shù)不是素數(shù)（如121，143，169，187，209）時也可以由其他素數(shù)對替代，所以證明任意大于4的偶數(shù)都可以用2個素數(shù)之和表示.

以上是僅就位缺帶對稱群中的11-116分支對稱群進行了討論，同理，該計算方法適用于所有的位缺帶對稱群，且105個分支對稱群包含了無窮多的素數(shù)對，我們把這種現(xiàn)象稱為“位缺帶全方位多重對稱性”，所以任何大偶數(shù)盡可以充分大都可以在位缺帶對稱群中找到答案，即：

R=2My=a+b=（a+Δ）+（b-Δ）

∵若b∈{R-1，R-2，R-3，…，R-210}，且ba，

∴則b=|R-a|，則可將（5）改為：

R=2My=a+b=（a+Δ）+（|R-a|-Δ），且Δ→∞.（6）

或簡化為：

R=2My=a+b=a+|R-a|.（6-1）

式中a={3，5，7，S1，S2，S3，…，S47，S48}.

定理3當R≥6使得對中心數(shù)My=R2在位缺帶對稱群中存在任意多素數(shù)對a，b，且必有一對是a+|R-a|構(gòu)成的素數(shù)對，則R=2My=a+b=a+|R-a|成立.

（6-1）式是證明哥德巴赫猜想的殺手锏.

例求R=80188522的素數(shù)對.

解求80188522的中心數(shù)My，My=80188522/2=40096261.

求40096261以210為模的同余數(shù)，40096261/210=190925余11.

應用11-116分支對稱群求素數(shù)對a與b：

在0周期有素數(shù)（也是模位缺數(shù)）即a=23、41、53、59、83、89、101，

根據(jù)（6-1）式R=a+|R-a|=23+（80188522-23）=23+80188499=80188522.

根據(jù)公式（5）可以求出構(gòu)成偶數(shù)80188522的素數(shù)對在380000對以上.

同本例，可以求出構(gòu)成任意大偶數(shù)的所有素數(shù)對，并證明哥德巴赫猜想成立.

注：有關(guān)每一個周期至少有1～2個素數(shù)的論述將在筆者的《相鄰素數(shù)的最大間隔》一文中給出另外的證明.