弱不可約嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣的表征及應(yīng)用

邢 峰

1 引言與定義

利用矩陣的對角占優(yōu)性給出非奇異H-矩陣的判定是許多學(xué)者關(guān)注的問題，文獻(xiàn)[2]-[4]給出了利用Ostrowski定理及連對角占優(yōu)性判定非奇異H-矩陣的最新成果，文獻(xiàn)[1]又利用按環(huán)路α-連對角占優(yōu)矩陣的理論，給出了若干判定非奇異H-矩陣的條件，本文繼文獻(xiàn)[1]之后，也是利用按環(huán)路α-連對角占優(yōu)矩陣的理論，給出若干實(shí)用的判定非奇異H-矩陣的新條件，改進(jìn)了以往的某些結(jié)果，并用實(shí)例說明其有效性。

設(shè)A=(aij)∈Cn×n是n階復(fù)矩陣，N={1,2,…,n}，記

本文用Γ(A)表示A的方向圖,用V(A)表示Γ(A)的頂點(diǎn)集合，用C(A)表示Γ(A)中所有非平凡環(huán)路的集合，并且約定，若Γ(A)的某個(gè)頂點(diǎn)i在環(huán)路v中，則記i∈v

本文對任意固定α∈[0,1]還記

VC(A)={i∈V(A)|i∈v∈C(A)}

定義1[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若V(A)=VC(A)，則稱A為弱不可約矩陣，記作A∈WI

定義2[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n∩WI，若對某α∈[0,1]有C(A)=JC(A)，則稱為弱不可約嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣，記作：A∈WDα

定義3[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若|aii|>Pi(?i∈N),則稱A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，記作A∈D;若存在正對角矩陣X,使AX∈D,則稱A為非奇異H-矩陣。記作A∈H。.

當(dāng)A=(aij)∈Cn×n時(shí)，記

則有C(A)=N1∪N2∪N3∪N4∪N5∪N6

為書寫方便，本文特約定

則知αi>1;βi>1;xj>1;yj>1。

2 基本結(jié)果

引理1[1]設(shè)A=(aij)n×n∈WDα,則A∈H。

定理1 設(shè)A=(aij)n×n∩WI，則A∈WDα的充分必要條件為N6=φ,且?vi∈N1，?vj∈N2有

logαiβiβi+logxjyjyj<1 ，

(1)

證明 充分性，由(1)式得 logxjyjyj<1-logαiβiβi，

因?yàn)棣羒>1，βi>1，則αiβi>βi，由此知0

則知存在充分小的正數(shù)ε，使0

logxjyjyj<1-(logαiβiβi+ε)，

(2)

令α=logαiβiβi+ε，知0<α<1，且有

α>logαiβiβi，

(3)

再由(2)式又有 logxjyjyj<1-α

綜上，再由N6=φ知A∈WDα。

必要性，若A∈WDα，則易見N6=φ，且由?vi∈N1

由此得

logαiβiβi

(4)

由此得

logxjyjyj

(5)

把(4)和(5)式兩端分別相加即得(1)式。

推論1 設(shè)A=(aij)n×n∩WI，則A∈WDα的充分必要條件為N6=φ,且?vi∈N1，?vj∈N2有 logαiβiαi+logxjyjxj<1

證明 因?yàn)?vi∈N1，?vj∈N2有以下等式成立

logαiβiαi+logαiβiβi=1 logxjyjxj+logxjyjyj=1

則知logαiβiαi+logxjyjxj<1的充分必要條件為logαiβiβi+logxjyjyj<1

則根據(jù)定理1知結(jié)論成立。

定理2 設(shè)A=(aij)n×n∩WI，N6=φ,若?vi∈N1，?vj∈N2有

logαiβiβi+logxjyjyj<1，則A∈H.

證明 由定理1的充分性知A∈WDα，再由引理1知A∈H.

推論2 設(shè)A=(aij)n×n∩WI，N6=φ,若?vi∈N1，?vj∈N2有 logαiβiαi+logxjyjxj<1 則A∈H。

證明 由推論1知A∈WDα，再由引理1知A∈H。

定理3 設(shè)A=(aij)n×n∩WI，若N1∪N6=φ,則A∈H。

證明 若N2≠φ,因?yàn)?vj∈N2，有xj>1;yj>1

則xjyj>xj，故0

(xjyj)α<(xjyj)logxjyjxj=xj

綜上知A∈WDα。

若N2=φ，則知C(A)=N3∪N4∪N5,自然有A∈WDα，則A∈H。

定理4 設(shè)A=(aij)n×n∩WI，若N2∪N6=φ,則A∈H。

證明 若N1≠φ,因?yàn)?vi∈N1，有αi>1;βi>1，則αiβi>βi，故0(αiβi)logαiβiβi=βi

綜上知A∈WDα.。

若N1=φ，則知C(A)=N3∪N4∪N5,自然有A∈WDα，則A∈H。

3 數(shù)值實(shí)例

這里|a11|=3，|a22|=2.5，|a33|=2；P1=3，P2=2.5，P3=1.5；R1=3,R2=1.5,R3=2.5

綜上知A∈WDα，則由引理1知A∈H。

但文獻(xiàn)[1-5]中的一些主要定理卻不能判定A是非奇異H-矩陣。