隨機(jī)時滯微分方程的隨機(jī)線性θ方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性

趙 梅 蘭光強(qiáng)

(北京化工大學(xué) 理學(xué)院， 北京 100029)

引 言

隨機(jī)時滯微分方程可用于刻畫有重要應(yīng)用并與時間相關(guān)，且依賴于過去狀態(tài)的過程。近年來，關(guān)于這類方程數(shù)值解穩(wěn)定性的研究取得了很大進(jìn)展。Higham[1]研究了線性隨機(jī)微分方程對應(yīng)的隨機(jī)θ方法的漸近穩(wěn)定性； Zong等[2]研究了非線性方程對應(yīng)的隨機(jī)θ方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性；Wu 等[3]得到了中立型隨機(jī)時滯微分方程相應(yīng)數(shù)值解的指數(shù)穩(wěn)定性；Lan等[4]得到了帶馬氏切換的中立型隨機(jī)時滯微分方程的數(shù)值解指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)不滿足線性增長條件時， Huang[5]通過研究隨機(jī)線性θ方法平凡解的漸近穩(wěn)定性，證明了特定條件下隨機(jī)線性θ(1/2≤θ≤1)方法的均方漸近穩(wěn)定性，但是并沒有給出收斂速度。

本文研究當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)高度非線性時隨機(jī)線性θ方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性，在給出隨機(jī)時滯微分方程的隨機(jī)線性θ方法和兩種穩(wěn)定性定義的基礎(chǔ)上，證明了給定條件下隨機(jī)線性θ方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性(從而幾乎處處指數(shù)穩(wěn)定)，完善了文獻(xiàn)[5]中的結(jié)論。

1 基本假設(shè)和定義

對于一個抽象的全集Ω，F(xiàn)是Ω的子集類，P表示概率測度，令(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一個完全概率空間，σ代數(shù)流{Ft}t≥0滿足基本條件(即單增、右連續(xù)且F0包含所有零測集)。定義期望E為Ω上隨機(jī)變量關(guān)于P的積分。W(t)是定義在概率空間上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。

考慮以下形式的隨機(jī)時滯微分方程

考慮隨機(jī)線性θ方法(SLT方法)，即劃分格子點(diǎn)0=t0

(1)

注意到當(dāng)θ>0時式(1)是隱式方法，為使式(1)有定義，通常需要使系數(shù)f滿足特定條件(如單邊Lipschitz條件)。

2 主要結(jié)果和證明

定理1假定式(1)有定義，若系數(shù)f、g滿足

2〈u,f(t,u,v)〉+|g(t,u,v)|2≤-C1|u|2+C2|v|2，C1>C2>0

(2)

證明：定理1的證明分5步進(jìn)行。

① 方程(1)可變換為

(3)

② 證明存在0

(4)

事實(shí)上，有

(5)

又由式(2)可得

移項(xiàng)后，式(4)得證。

③ 將式(4)代入式(3)，有

|Fn+1|2≤(1-CΔ)|Fn|2+C2Δδ|yn-m+1|2+C2Δ(1-δ)|yn-m|2+Mn

又由于對任意的A>1，都有

A(n+1)Δ|Fn+1|2-AnΔ|Fn|2≤A(n+1)Δ[(1-CΔ)|Fn|2+C2Δδ|yn-m+1|2+C2Δ(1-δ)|yn-m|2+Mn]-AnΔ|Fn|2≤A(n+1)Δ(1-CΔ-A-Δ)|Fn|2+A(n+1)ΔC2Δδ|yn-m+1|2+A(n+1)ΔC2Δ(1-δ)|yn-m|2+A(n+1)ΔMn≤R1A(n+1)Δ|Fn|2+R2A(n+1)Δ|yn-m+1|2Δ+R3A(n+1)Δ|yn-m|2Δ+A(n+1)ΔMn

(6)

式(6)中，R1=1-CΔ-A-Δ,R2=C2δ,R3=C2(1-δ)，R2+R3=C2。

對式(6)從n=0到n=k-1求和，得

(7)

注意到R1|Δ=0=0，且

R′1(Δ)=-C+A-ΔlnA

(8)

當(dāng)10時R1<0 。

(9)

所以有

(10)

將式(10)代入式(7)，有

整理得

(11)

式(11)中

(12)

(13)

將式(12)、(13)代入式(11)，有

合并系數(shù)得

(14)

式(14)中

(15)

④ 證明AkΔE|Fk|2有界。

考慮式(15)中k1+k2Aτ+Δ+k3Aτ+Δ的正負(fù)。

首先考慮R1(C1θ-Aτ+ΔC2θδ)的正負(fù)。

由01=e0可知，存在足夠小的Δ，使得C>C2Aτ+Δ，因此

eC-C2Aτ+Δ>A

(16)

在式(16)的條件下，有C-C2Aτ+Δ≥lnA，進(jìn)而C-C2Aτ+Δ≥A-ΔlnA。

(17)

對式(17)兩邊取期望得

由此得到了AkΔE|Fk|2的有界性。

整理式(9)得

故有

(18)

對式(18)兩邊乘AkΔ并取期望，得

記

則有AkΔE|yk|2≤b+q1A(k-m+1)ΔE|yk-m+1|2+q2A(k-m)ΔE|yk-m|2。

令ak=AkΔE|yk|2，有遞推式ak≤b+q1ak-m+1+q2ak-m，從而得到

(19)

式(19)中顯然式(19)最后一個不等式中a的下標(biāo)均小于等于0。

即

第⑤步證明完成。至此，得到了隨機(jī)線性θ方法數(shù)值解的均方指數(shù)穩(wěn)定性，定理1得證。證畢。

3 結(jié)束語

本文參考文獻(xiàn)[4]中θ-EM數(shù)值格式的方法，研究了隨機(jī)時滯微分方程隨機(jī)線性θ方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性。與文獻(xiàn)[5]相比，本文處理了更為復(fù)雜的滯后項(xiàng),并在相同條件下得到了隨機(jī)線性θ方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性(1/2<θ≤1)，從而幾乎處處指數(shù)穩(wěn)定，比文獻(xiàn)[5]中的結(jié)論更完善。