適用于北斗混合星座的相對定位隨機(jī)模型建模策略*

伍劭實(shí)，趙修斌，龐春雷，張 良，劉亞東

(1. 空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院， 陜西 西安 710077； 2. 中國人民解放軍95853部隊， 北京 100076)

精確建立隨機(jī)模型是全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)精密測量與定位的先決條件[1]，其在精密相對定位中通常具有兩個方面重要作用：一是提高模糊度浮點(diǎn)解的精度，進(jìn)而提高模糊度固定成功率，提高相對定位的可靠性；二是提高基線解的精度[2-3]。當(dāng)前，國內(nèi)外學(xué)者對隨機(jī)建模進(jìn)行了廣泛而深入的研究，主要集中在基于仰角和基于載噪比的模型[4-5]。文獻(xiàn)[6]提出了衛(wèi)星仰角模型，認(rèn)為GPS衛(wèi)星觀測量噪聲與衛(wèi)星仰角相關(guān)，隨后，文獻(xiàn)[7-10]在此基礎(chǔ)上引入了觀測量相關(guān)性和時間相關(guān)性，使得根據(jù)GPS衛(wèi)星仰角建立的隨機(jī)模型更加準(zhǔn)確。載噪比模型最先在文獻(xiàn)[11]中被提出。基于此，文獻(xiàn)[12-13]分別提出了Sigma-ε模型和Sigma-Δ模型，前者提高了低仰角GPS衛(wèi)星的定位精度，后者在此基礎(chǔ)上考慮了GPS衛(wèi)星信號通過障礙物發(fā)生衍射帶來的定位誤差影響。文獻(xiàn)[14]進(jìn)一步考慮了空間物理相關(guān)性，并由此提出了sigma-C模型，使得此類基于載噪比的模型更加準(zhǔn)確。由此可以看出，關(guān)于隨機(jī)模型的研究主要是針對GPS展開，對于北斗的隨機(jī)模型研究還相對較少的。當(dāng)前，我國自主建設(shè)發(fā)展的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)正在向第三代全球?qū)Ш较到y(tǒng)過渡，針對北斗的隨機(jī)模型研究也逐漸增多。為準(zhǔn)確合理地確定觀測量隨機(jī)模型，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多行之有效的方差分量估計方法，如Helmert方差分量估計、最小范數(shù)二次無偏估計、最優(yōu)不變二次無偏估計、最小二乘方差分量估計(Least-Squares Variance Component Estimation, LS-VCE)等。其中LS-VCE基于最小二乘準(zhǔn)則，具有簡單、靈活等優(yōu)點(diǎn)[15]。文獻(xiàn)[3]采用LS-VCE，針對北斗三頻信號的隨機(jī)特性進(jìn)行了系統(tǒng)深入的研究，發(fā)現(xiàn)采用仰角模型時，地球靜止軌道(Geostationary Earth Orbit, GEO)衛(wèi)星的擬合誤差要大于傾斜地球同步軌道(Inclined Geosynchronous Satellite Orbit, IGSO)和中地球軌道(Medium Earth Orbit, MEO)衛(wèi)星。

當(dāng)前，北斗隨機(jī)模型的研究主要借鑒了GPS的方法，然而北斗和GPS具有諸多不同，特別是在衛(wèi)星軌道設(shè)計上，北斗由三軌道星座混合而成，不同軌道衛(wèi)星的觀測噪聲具有明顯差異[4，16]。因此，針對單一星座的GPS采用的單一衛(wèi)星仰角或載噪比模型，可能無法很好地適用于北斗系統(tǒng)?；诖耍岢隽艘环N適用于北斗的隨機(jī)模型建模策略，即混合隨機(jī)建模。

1 單差模型及殘差

為了得到不同軌道衛(wèi)星的測量噪聲特性，需利用單差模型計算殘差。假設(shè)基準(zhǔn)站接收機(jī)r和移動站接收機(jī)m同時觀測n顆衛(wèi)星，則短基線單頻單歷元單差相對定位模型為：

(1)

δt′=δt+λa1

(2)

則式(1)可寫為：

(3)

利用雙差模型，可提前準(zhǔn)確確定雙差模糊度和基線向量b，則式(3)中僅剩下鐘差項δt′和dt，并可被精確估計，由此可得單差觀測量殘差為：

(4)

2 LS-VCE觀測量方差-協(xié)方差陣

確定觀測量方差-協(xié)方差陣未知分量的過程即為方差分量估計[3]。采用LS-VCE進(jìn)行觀測量的方差-協(xié)方差陣估計。

假設(shè)線性觀測模型為：

(5)

其中：y為觀測向量；A為列滿秩系數(shù)矩陣；x為待估參量；Qyy為觀測量y的方差-協(xié)方差陣；Qk為協(xié)因數(shù)陣，其中k=1，2，… ，p；Q0為Qyy中已知的部分；σk為方差分量；E[ ]和D[ ]分別為期望和方差算子。

由文獻(xiàn)[15]可知，方差分量的最小二乘解為：

(6)

(7)

(8)

式(7)和式(8)可用來有效估計觀測量的協(xié)方差陣，但由此會帶來可估性的問題，即Qyy無法通過式(7)和式(8)一次性獲得，需要進(jìn)行迭代估計[3]。本文采用一種簡化的LS-VCE方法估計觀測量的協(xié)方差陣。由文獻(xiàn)[15]可知，若y為0均值隨機(jī)向量，則其方差-協(xié)方差陣為：

(9)

結(jié)合式(4)，在各參量都被精確估計的前提下，若單差觀測量殘差滿足0均值隨機(jī)分布的條件，則可通過殘差的協(xié)方差陣來近似得到單差觀測量的協(xié)方差陣。以某一天24 h北斗實(shí)測B1觀測量單差殘差直方圖為例，如圖1所示，北斗觀測量單差殘差近似滿足0均值正態(tài)分布，因此可通過式(9)近似估計單差觀測值得協(xié)方差陣，將其作為觀測模型的隨機(jī)模型。

(a) 單差載波相位觀測量殘差直方圖(a) Histogram of single-differencing phase observation residuals

(b) 單差偽距觀測量殘差直方圖(b) Histogram of single-differencing code observation residuals圖1 北斗B1頻點(diǎn)觀測量殘差直方圖Fig.1 Histogram of observation residuals on BDS B1

3 構(gòu)建隨機(jī)模型

通過式(4)和式(9)估計得到單差觀測量的協(xié)方差陣后，即可利用特定模型對其進(jìn)行擬合。當(dāng)前常用的模型為衛(wèi)星仰角模型和載噪比模型。

3.1 衛(wèi)星仰角模型

衛(wèi)星仰角模型反映了衛(wèi)星觀測量標(biāo)準(zhǔn)差與衛(wèi)星仰角的關(guān)系，常用的是指數(shù)模型[6]和三角函數(shù)模型[17]，分別表示為：

σ=a1+a2·e-θ/θ0

(10)

(11)

其中：σ表示單差觀測量標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)表示相位觀測量標(biāo)準(zhǔn)差時單位為mm，當(dāng)表示偽距觀測量標(biāo)準(zhǔn)差時單位為m；a1和a2為需要擬合的模型參數(shù)；θ為衛(wèi)星仰角；θ0為仰角誤差標(biāo)度值[6]。根據(jù)式(10)或式(11)可以建立雙差觀測模型的隨機(jī)模型：

(12)

3.2 載噪比模型

載噪比模型反映了衛(wèi)星觀測量標(biāo)準(zhǔn)差與衛(wèi)星信號載噪比的關(guān)系，其表達(dá)式[11]為：

(13)

式中：σ2為非差觀測量方差，m2；b1為需要擬合的模型參數(shù)；C/N為所接收衛(wèi)星信號的載噪比。

根據(jù)式(13)可以建立雙差觀測模型的隨機(jī)模型：

(14)

基于仰角或載噪比的模型在GPS隨機(jī)模型研究中發(fā)揮了重要作用，也取得了不少研究成果。然而與單一星座的GPS不同，北斗由三軌道星座混合而成，因此在建立隨機(jī)模型的過程中，不能完全照搬GPS中的方法，而是應(yīng)該尋找適合于北斗特點(diǎn)的隨機(jī)建模方法。

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 試驗(yàn)條件

采用一對接收機(jī)和一對天線，兩天線固定于樓頂，基線長為2.17 m，數(shù)據(jù)長度為13.5 h，采樣率為1 Hz，衛(wèi)星截止角設(shè)為15°。試驗(yàn)前先利用長期觀測數(shù)據(jù)擬合混合模型的各個參數(shù)，如表1所示。然后根據(jù)混合模型確定觀測模量隨機(jī)模型，對采集的北斗靜態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行逐歷元相對定位解算。盡管采用多頻或多系統(tǒng)能顯著提高模糊度解算效果[18-19]，但考慮到單頻單歷元是最為苛刻的條件，因而在單頻單歷元條件下驗(yàn)證所提混合模型的性能，試驗(yàn)中B1和B2頻點(diǎn)所用衛(wèi)星一致。

表1 混合模型參數(shù)

由于采用單歷元解算，因此未考慮觀測量的時間相關(guān)性。試驗(yàn)中所用四種隨機(jī)模型分別為簡化等權(quán)隨機(jī)模型(假設(shè)同一頻率上不同衛(wèi)星的相位或偽距測量標(biāo)準(zhǔn)差為常量，取最小測量單元的1%作為觀測量標(biāo)準(zhǔn)差，例如對于B1載波相位，觀測量標(biāo)準(zhǔn)差為1.92 mm，模型一)、單一仰角模型(模型二)、單一載噪比模型(模型三)和所提混合模型(新模型)。

4.2 試驗(yàn)過程與分析

圖2以B1頻點(diǎn)為例，給出了簡化等權(quán)模型和新模型情況下三顆代表不同類型的衛(wèi)星(PRN4(GEO)、PRN9(IGSO)、PRN14(MEO))相位和偽距單差殘差對比結(jié)果。由圖2可知，新模型能在一定程度上抑制觀測量的噪聲，因而有利于雙差模糊度的解算及基線解精度的提高。

為統(tǒng)計模糊度成功率，首先利用靜態(tài)基線向量這一已知條件，確定B1和B2單頻雙差模糊度，將其作為參考值。然后分別利用四種隨機(jī)模型，解算可視衛(wèi)星數(shù)分別為5(1IGSO+4GEO)、6(1IGSO+5GEO)、7(1MEO+1IGSO+5GEO或2IGSO+5GEO)、8(1MEO+2IGSO+5GEO或3IGSO+5GEO)情況下的B1和B2單頻雙差模糊度，將其與提前確定的模糊度參考值進(jìn)行比較，計算以上不同情況下的單頻雙差模糊度成功率(模糊度正確固定歷元數(shù)與總歷元數(shù)之比)，結(jié)果如表2所示。由表2可知，除了B2頻率5顆衛(wèi)星情況下所提混合模型模糊度成功率略低于模型二(單一仰角模型)，其余情況下所提模型的模糊度成功率均最高；盡管隨著衛(wèi)星數(shù)的增加，四種模型下的模糊度成功率均大幅提升，但模型一(簡化等權(quán)模型)相比于其他三個模型的提升幅度最小，尤其是7顆星的情況，此時模型一的模糊度成功率低于27%，而其他三種模型下成功率已達(dá)到85%以上，說明隨機(jī)建模與否對于模糊度解算的影響不容忽視。

(a) 相位單差殘差(a) Phase single residuals

(b) 偽距單差殘差(b) Pseudo-distance single difference residuals圖2 不同類型的北斗衛(wèi)星利用簡化模型和新模型得到的B1單差殘差Fig.2 Single-difference residual of different BDS satellites on B1 with the simplified and the new stochastic model

接下來統(tǒng)計模糊度正確固定的前提下可視衛(wèi)星數(shù)分別為5、6、7、8時，采用四種模型計算得到的基線解精度，結(jié)果如圖3和圖4所示。由圖3和圖4可知，采用后三個隨機(jī)模型所得基線解精度相差不大，但相比于模型一精度更高。盡管在基線解精度方面新模型性能并非最優(yōu)，甚至有時略低于模型二和模型三(比如B2的7顆星情況)，但其仍然保持著較好特性，同時結(jié)合表2中模糊度成功率結(jié)果，說明新模型的綜合性能最優(yōu)。

表2 四種模型下得到的單頻雙差模糊度解算成功率

圖3 B1頻率上基線分量標(biāo)準(zhǔn)差Fig.3 Standard deviations of baseline components on B1

圖4 B2頻率上基線分量標(biāo)準(zhǔn)差Fig.4 Standard deviations of baseline components on B2

5 結(jié)論

與傳統(tǒng)采用單一模型建立隨機(jī)模型的方法不同，混合建模策略針對不同軌道的北斗衛(wèi)星分別建立隨機(jī)模型：對于GEO衛(wèi)星，采用載噪比模型；對于IGSO和MEO衛(wèi)星，均采用仰角模型。實(shí)測數(shù)據(jù)結(jié)果表明；采用所提混合模型，模糊度解算成功率最高，同時在基線解精度上也具有較好特性，綜合性能最優(yōu)。因而相比于傳統(tǒng)簡化模型和單一的仰角或載噪比模型，混合模型更適用于北斗系統(tǒng)。