跨越斷層，化零為整；數(shù)形結合，建構模型
——《解決兩積之和的問題》教學設計與思考

□ 駱 樂

【課前思考】

現(xiàn)行人教版教材中三年級和五年級都編排了較多“解決問題”的內容，但四年級只安排了兩個基本的數(shù)量關系教學內容（單價×數(shù)量=總價，速度×時間=路程）。而在五年級教學《簡易方程》時，首先要求學生分析數(shù)量關系，然后根據(jù)數(shù)量關系列出方程，學生在解決稍復雜的問題時對一些數(shù)量關系就會分辨不清。追溯到四年級，我們發(fā)現(xiàn)在教學完這兩個基本的數(shù)量關系之后，教材并沒有安排相關內容進行鞏固拓展，導致到了五年級學習方程時部分學生缺乏相關的經(jīng)驗積累。

兩積之和結構的問題是小學階段比重較大的問題，有很多經(jīng)典問題就是以它為原型進行變式的（如雞兔同籠等），但是兩積之和問題在教材中并沒有正式、獨立的教學例題，只有一些零散的習題，學生碰到或許能解決，但卻不能感受這些問題之間存在的聯(lián)系。

基于這樣的思考，我們設計了一節(jié)解決兩積之和問題的課例。通過教學，讓學生發(fā)現(xiàn)特征，提煉兩積之和的模型，嘗試借助模型去解決各種變式，同時在學習過程中感受用形去理解、表達題意和解決問題的好處，逐步滲透幾何直觀意識，培養(yǎng)幾何直觀能力，同時為后繼的方程教學打下堅實的基礎。

【教學目標】

1.讓學生從不同情境中提煉兩積之和問題的特征，掌握解決兩積之和問題的方法。

2.經(jīng)歷觀察、比較、歸納的過程，感受數(shù)與形之間的聯(lián)系，提升解決變式問題的能力。

3.在合作交流過程中，培養(yǎng)合作能力、歸納能力和幾何直觀能力。

【教學重點】能從不同的問題情境中發(fā)現(xiàn)兩積之和的特征，掌握解決問題的方法。

【教學難點】引導學生溝通數(shù)與形之間的聯(lián)系，借助形理解、解決各種變式問題。

【教學過程】

一、復習導入

1.列式解答

依次出示問題，學生口答，并說說是怎么思考的？

a.一副乒乓板20元，買5副需要多少元？

b.王叔叔開車從甲地到乙地，每小時行80千米，6小時到達。甲、乙兩地相距多少千米？

c.工程隊修路，每天修30米，10天修完，這條公路有多長？

2.整理數(shù)量關系

單價×數(shù)量=總價、速度×時間=路程、每天修的米數(shù)×天數(shù)=總長。

（設計意圖：通過口答一步計算的問題，幫助學生回顧已經(jīng)學過的簡單數(shù)量關系，為后續(xù)教學做好鋪墊。）

二、兩積之和教學

1.出示問題，嘗試解決

師（出示上圖中題目）：你們能解決嗎？請在練習紙上完成。

（學生完成后集體進行校對）

師：在解決問題的時候你們是怎么想的呢？

生：我選第（1）題，蘋果每千克4元，買5千克，用5×4=20（元）求出蘋果的總價錢，梨每千克2元，買了3千克，用2×3=6（元）求出梨的總價錢，再相加就可以了。

生：我選第（4）題，先求紅色長方形的面積是5×4=20（米2），黃色長方形的面積是3×2=6（米2），然后把兩個加起來就是總面積。

……

根據(jù)學生回答，引出四個數(shù)量關系式：

蘋果的價錢+梨的價錢=總價錢；師傅做的個數(shù)+徒弟做的個數(shù)=總個數(shù)；小明的路程+小紅的路程=總路程；紅長方形面積+黃長方形面積=總面積。

2.對比交流，提煉特征

師：仔細觀察這四道題，在解決方法上它們有沒有什么相同的地方？

（學生討論后反饋）

生：都是先算兩部分，再把這兩部分加起來。

生：都是先算乘法，再算加法。

師：是的，雖然題目不同，但都是先分別求兩部分的積，再相加求和。這就是我們今天要學習的兩積之和問題。

3.溝通數(shù)與形之間的聯(lián)系

師：除了解決方法是相同的，題與題之間還有相類似的地方嗎？

生：我覺得第（1）（4）兩題的算式是一樣的。

師：除了算式一樣，還有沒有其他聯(lián)系？

生：我覺得這道價格題能用這幅圖表示，紅色長方形面積相當于蘋果的總價，黃色長方形面積就相當于梨的總價。

師追問：明明是長方形的面積呀，怎么能表示蘋果和梨的總價呢？

生：圖中的4可以表示蘋果的單價4元，5表示蘋果的數(shù)量5千克，2代表梨的單價，3代表梨的數(shù)量3千克。

課件動態(tài)演示理解：

經(jīng)過這個學生的啟發(fā)，很多學生打開了思路：第（2）題能用第（3）題的圖來表示，第（2）題能用第（4）題的圖來表示……

師小結：同學們很善于觀察思考，不僅發(fā)現(xiàn)這四道題有著相同的結構，還發(fā)現(xiàn)了文字與圖形之間隱含的聯(lián)系。接下去我們繼續(xù)用你們的發(fā)現(xiàn)來解決問題。

（設計意圖：通過四個不同情境問題的解決，讓學生感悟解決方法上的共性，提煉兩積之和問題的特征。同時引導學生進行數(shù)與形之間的溝通，深入感悟兩積之和的模型。）

三、深化兩積之和的模型

1.自主編題

師：剛才通過解決問題，我們知道第（1）題中李紅共需要付26元，現(xiàn)在有五個信息了，你能將其中一個信息改成問題，重新編出一道題目嗎？

出示編題要求（如上圖）。先請一學生上來在電子白板上示范編。接著全班學生自主編題。

2.反饋編題

師：同學們很會動腦筋，編出了不同的題目，我們一起再來回顧一下。

3.對比溝通

師：觀察一下，跟前面這些題相比，解決方法上有什么不同呢？

生：前面是先乘再加，后面是用總數(shù)減去其中一個部分得出結果。

生：前面是兩部分相加，后面是用總數(shù)先減再除。

師：是的，其實還是利用這個關系，但當“和”已知時，要倒過來，用和減其中一個積，再利用之前學習的數(shù)量關系來解決題目中的問題。

（設計意圖：通過對價格問題的逆向編題活動，不斷讓學生在條件與問題之間、數(shù)與形之間展開變式，滲透數(shù)形結合思想；同時對比正向和逆向題目的異同，讓學生更深層次地感悟兩積之和的模型，提升解決問題的能力。）

四、拓展兩積之和的模型

1.出示變式題

師：現(xiàn)在老師要把題目再變一變了，有兩個問題，多了一個信息。這個問題能解決嗎？還能用圖來幫助我們分析嗎？

（四人小組討論，記錄方法）

2.交流方法

生：我加了一條輔助線（如上圖），下面這個長方形表示的就是假設蘋果的單價和梨一樣，那8千克的水果只需要2×8=16元，而實際用了26元，說明蘋果實際要多付26-16=10元，這是因為蘋果實際每千克比梨貴4-2=2元，所以蘋果有10÷2=5千克，梨就是8-5=3千克。

師：當蘋果和梨的數(shù)量都不知道時，無法計算兩部分的積，但像你們這樣一分，就能知道下面這部分的積，然后就能求出上面這部分的積，這樣就能求出蘋果的重量和梨的重量。

3.小結提升

師：這樣的問題你們以前有沒有碰到過？

生：這是雞兔同籠問題，我課外學習過，但是我沒有用圖形來解決。

生：我以前都是背公式的，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)用圖形來解決更方便。

師：看來這幅圖的作用可真大！

師：其實這個問題還有另外一種思考方法。

出示：

師：留給同學們課后思考!

（設計意圖：借助圖形解決復雜的兩積之和問題，提高學生運用數(shù)形結合思想分析并解決復雜問題的能力，促進思維能力的發(fā)展。）

【教學反思】

一、不同情境找相同，感悟題組特征

教學前，筆者通過分析3～5年級的教材，提煉出了四種典型問題（價格問題、工作問題、路程問題、面積問題）作為例題進行教學，通過讓學生自主解決和對比溝通，發(fā)現(xiàn)共性，從而提煉出兩積之和的結構特征。讓學生感悟到這些不同的問題竟然都是同一類問題，幫助學生跨越斷層，化零散的知識點為整體的知識面。

二、正逆改編對比，凸顯模型本質

整節(jié)課的素材選取分為三個梯度，第一個梯度是正向的四道典型例題，第二個梯度是學生自主創(chuàng)編的四道逆向題，第三梯度是有兩個未知量的拓展題。這三組素材層層遞進，從簡單的結構拓展變換成更復雜的結構。從不同的角度和寬度，豐富學生對兩積之和這一模型的認知，讓學生感悟到題型繁雜，千變萬化，但萬變不離其宗，都是兩積之和的模型或變式。

三、溝通數(shù)形聯(lián)系，深化模型理解

這四道題目的呈現(xiàn)有文字也有圖形，意在讓學生發(fā)現(xiàn)解決方法是相同之后，再次引導學生不斷去尋找數(shù)與形之間以及形與形之間的聯(lián)系，在不斷求聯(lián)的過程中，滲透數(shù)形結合思想。

在拓展練習中，引導學生嘗試借助面積圖去分析較難的問題，并給予充分思考和交流的時間，使學生深刻感受到借助圖形來解決問題是非常不錯的一種方法。事實上，學生通過這樣的學習不僅感受到數(shù)與形之間的聯(lián)系，更能借助形去理解難度更大的問題，能夠主動去建構之前所學的一些內容和本課所學內容之間的聯(lián)系。