例談三角形中的最值問題解法途徑

江蘇省海門中學(xué) (226100)

楊智慧

例題在ΔABC中，若sinC=2cosAcosB，求μ=cos2A+cos2B的最值.

在三角形背景下的最值問題解法途徑：對約束條件的轉(zhuǎn)化，以及對目標(biāo)函數(shù)的變形處理，化歸到易處理的目標(biāo)函數(shù).在三角形下兩條路線可尋，一條為選取恰當(dāng)?shù)淖兞看鷶?shù)換元，利用導(dǎo)數(shù)、均值不等式等進行處理；另一條為保留角元，利用三角恒等變換公式重構(gòu)約束條件與目標(biāo)函數(shù)，化為三角函數(shù)求解最值問題.本文利用四種解法處理一道三角形中的最值問題，以便讀者參考.

一、構(gòu)建代數(shù)函數(shù)求解

令x=tanA，y=tanB，則x+y=2，x>0，y>0，其中y=2-x>0，所以x∈(0，2).

方法二：(平均值換元構(gòu)建代數(shù)函數(shù))令tanA=1-t，tanB=1+t，其中t∈(-1，1),則目標(biāo)函數(shù)

二、保留角元構(gòu)建三角函數(shù)模型

解法四：利用三角恒等變換公式——升降冪公式就、輔助角公式及和差化積公式(積化和差公式)對約束條件及目標(biāo)函數(shù)作合理變形，化歸至單名單角的三角函數(shù)式.對約束條件sinC=2cosAcosB整合，由cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB可化簡到cos(A-B)=sinC+cosC，對目標(biāo)函數(shù)μ=cos2A+cos2B=(cosA+cosB)2-2cosAcosB