一道直線與橢圓題的解法展示及拓展探究

江蘇省海門中學(xué) (226100) 徐巧石

深化能力立意，突出能力與素質(zhì)的考查始終是高考數(shù)學(xué)的導(dǎo)向與主題.在考試中構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意問(wèn)題的多樣性，體現(xiàn)思維的發(fā)散性.2019屆高三蘇州期初考試中的直線與橢圓一題題干簡(jiǎn)潔明了，角度小，立意新，有深度，能夠激發(fā)學(xué)生的思維.本文就本人在此題評(píng)講中學(xué)生給出不同的解法進(jìn)行整理評(píng)析，最后對(duì)該題進(jìn)行一般性拓展探究.

圖1

一、題目

二、解法展示

解法一：由橢圓的對(duì)稱性可知直線MN的斜率一定存在，設(shè)其方程為y=kx+1．設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)．

評(píng)析：此法是學(xué)生容易想到的處理方式利用點(diǎn)在直線上轉(zhuǎn)化，但是需要解一個(gè)無(wú)理方程.學(xué)生如果有信心往下寫的話，發(fā)現(xiàn)此方程可以因式分解降次處理便迎刃而解.其實(shí)這種處理無(wú)理方程在江蘇高考中一直有所考察，2012年江蘇高考試題19題第一問(wèn)中官方提供的參考答案便是這種處理方法.在高三的復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生運(yùn)算信心的訓(xùn)練.

評(píng)析：此法觀察到點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，想到了橢圓中常用的二級(jí)結(jié)論，將兩直線斜率間的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為過(guò)同一點(diǎn)兩直線斜率間的乘積關(guān)系，將不對(duì)稱結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，解法一中遇到的問(wèn)題便可化解.在高三的復(fù)習(xí)中一些常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)需要給學(xué)生搭建起命題網(wǎng)絡(luò).

評(píng)析：此法將對(duì)稱運(yùn)用到了極致，完全不需要復(fù)雜的運(yùn)算，便可得到答案，十分巧妙.看似沒(méi)有用到直線與橢圓聯(lián)立，實(shí)際上在得到kAN=2kBM已經(jīng)利用M,N在橢圓上，又兩次運(yùn)用M,N在直線y=kx+1上，將直線與橢圓相交隱藏對(duì)稱的結(jié)構(gòu)中.

轉(zhuǎn)化與化歸思想一直是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考察的思想方法，對(duì)于題干的等價(jià)表述也體現(xiàn)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，若學(xué)生能夠?qū)︻}干從不同的角度重新構(gòu)圖，有可能得到其它的方法.例如：

等價(jià)表述1：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作斜率為k1直線AM與橢圓E交于M點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作斜率為k2的直線與橢圓E交于N點(diǎn)，若k1=2k2，且M,N,C(0,1)三點(diǎn)共線，求直線MN的斜率k(k>1).

評(píng)析：此法通過(guò)轉(zhuǎn)化M,N產(chǎn)生的方式，利用M,N,C三點(diǎn)共線得到直線MN的方程.處理1,2利用k=kCN=kCM=kMN整體代換求出斜率k；處理3對(duì)于處理的問(wèn)題要有目標(biāo)意識(shí)，利用分式的合比定理整體取得，技巧性較高，對(duì)于數(shù)據(jù)的處理有較高的要求.

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，其中邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式.若該問(wèn)題中去掉三點(diǎn)共線，由k1=2k2能確定直線MN的斜率嗎？為什么加上一個(gè)C點(diǎn)后就可以確定直線MN？k1=2k2這一條件確定了直線MN的什么量？經(jīng)過(guò)這幾個(gè)追問(wèn)可以推知直線MN過(guò)定點(diǎn).由對(duì)稱性可知定點(diǎn)應(yīng)在x軸上.所以題目可以先分解為:

如圖1，過(guò)點(diǎn)A作斜率為k1直線AM與橢圓E交于M點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作斜率為k2的直線與橢圓E交于N點(diǎn)，若k1=2k2，證明直線MN過(guò)定點(diǎn).

評(píng)析：此法通過(guò)邏輯推理推得直線MN過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)一步揭示了本題的命題背景.實(shí)際上此題背景是2010年江蘇高考試題的一個(gè)結(jié)論.

評(píng)析：此法通過(guò)直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上，得到k的值.此種表述方式在2016年江蘇高考17題中得以體現(xiàn).實(shí)際上題干的三種不同表述是從三個(gè)不同的角度產(chǎn)生點(diǎn)M,N.在平常的教學(xué)過(guò)程中要讓學(xué)生能夠從不同的角度看待問(wèn)題，新的角度可能產(chǎn)生意想不到的收獲.當(dāng)然，學(xué)過(guò)競(jìng)賽的學(xué)生還想到運(yùn)用了二次曲線系去解決上述問(wèn)題，由于二次曲線系不在高考的考查范圍，所以不再做詳細(xì)的解答.

三、拓展探究

將上述解法三一般化可得如下命題：

該命題的逆命題也成立：

由解法四將原題一般化可得：

由解法六可得：

由解法六中聯(lián)想到2010年江蘇省高考題可得：

命題4的逆命題也成立，因?qū)⒚}3中的條件kAM=μkBN(μ>0)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化可得：

上述命題中若將長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A,B改為短軸頂點(diǎn)，同樣有相應(yīng)的結(jié)論；若將橢圓改為雙曲線類比亦可得相應(yīng)的結(jié)論，限于篇幅，不在一一贅述.