2019年高考全國I卷數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)分析與教學(xué)思考

廣東省廣州市教育研究院(510030) 曾辛金

2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷命題的主要依據(jù)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)、《2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱—數(shù)學(xué)(文、理科)》(以下簡稱《考試大綱》)和《2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(課標(biāo)卷)考試大綱的說明—數(shù)學(xué)(文、理科)》(以下簡稱《考試說明》).

2019年高考數(shù)學(xué)I卷試題突出學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科特色，注重理性思維能力考查，全面覆蓋基礎(chǔ)知識(shí)，增強(qiáng)綜合性、應(yīng)用性，適度創(chuàng)新，以反映我國社會(huì)主義建設(shè)的成果和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的真實(shí)情境為載體，貼近生活，聯(lián)系社會(huì)實(shí)際，重點(diǎn)考查考生分析問題、解決問題的能力.在數(shù)學(xué)教育、評(píng)價(jià)中落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).

一、2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷試題特點(diǎn)分析

(一)考查內(nèi)容分布

2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷試題考查的知識(shí)點(diǎn)涉及集合，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式，數(shù)列、推理與證明，算法，平面向量與三角，概率與統(tǒng)計(jì)，立體幾何，解析幾何，復(fù)數(shù)，計(jì)數(shù)原理(理科)等必考知識(shí)板塊，以及坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講等選考內(nèi)容，并滲透了數(shù)學(xué)文化的考查.具體考查情況見如下的表1、表2.

表1：2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷文科數(shù)學(xué)試卷考點(diǎn)分布

表2：2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷理科數(shù)學(xué)試卷考點(diǎn)分布

說明(1)2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷考查的覆蓋面廣，每個(gè)模塊的內(nèi)容都有涉及，且基本與教學(xué)課時(shí)的比例相當(dāng).除了考查了《考試說明》中界定的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)”(包括函數(shù)和導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、算法)外，還考查了集合、復(fù)數(shù)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并根據(jù)《考試大綱》修訂的要求，考查了數(shù)學(xué)文化.

(2)為了與新一輪課程改革對(duì)接，有些知識(shí)點(diǎn)的考查作了適應(yīng)的調(diào)整，如2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷文理科都沒有考查“三視圖”和“線性規(guī)劃”這兩個(gè)往年的常考問題； 必考解答題的順序作了一定的調(diào)整，如概率統(tǒng)計(jì)題，文科放在第17題，理科放在第21題；選考題的考查方向有所調(diào)整、難度有所加大.

(3)2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷文理科相同的題目明顯增多，除了兩道選做題文理科內(nèi)容與要求完全相同外，文理科相同的題目還有7 道(選擇題6 道，填空題1 道)，文理科立體幾何解答題第(1)問也相同，相同題目的分值達(dá)到51 分，占總分三分之一強(qiáng)，為新一輪高考數(shù)學(xué)不分文理科的改革繼續(xù)進(jìn)行積極的探索.

(二)試題特點(diǎn)分析

2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷文理科試卷遵循《考試大綱》和《考試說明》的各項(xiàng)要求，注重基礎(chǔ)、體現(xiàn)方法、突出思想、考查能力，考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和探究意識(shí)，注重能力立意，突出考查考生的邏輯推理能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和理性價(jià)值.文理科兩份試卷覆蓋中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容.試題科學(xué)、規(guī)范，設(shè)問新穎、靈活.將知識(shí)、能力和素養(yǎng)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，力爭體現(xiàn)“多考點(diǎn)思維，少考點(diǎn)運(yùn)算”的命題指導(dǎo)思想.試題彰顯“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”.

1.突出基礎(chǔ)知識(shí)，力求全面考查.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解與掌握是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求，也是評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容.評(píng)價(jià)要注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和思想方法的把握，避免片面強(qiáng)調(diào)機(jī)械記憶、模仿以及復(fù)雜技巧.

2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷文理科試題的設(shè)計(jì)立足于中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法.如文科試卷中的1-10 和13、14、17、18、19，理科試卷中的1-9 和13、14、17、18、19 等都是直接考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的試題.試卷還注重對(duì)高中所學(xué)內(nèi)容的全面考查，集合、復(fù)數(shù)、程序框圖、平面向量等內(nèi)容在選擇題、填空題中得到了有效的考查.試題有利于引導(dǎo)中學(xué)注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的教學(xué).

例1(文科10)雙曲線C := 1(a ＞0,b ＞0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C 的離心率為( )

A.2 sin 40°B.2 cos 40°C.D.

說明本題主要考查雙曲線漸近線方程、離心率的概念，以及同角三角函數(shù)的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，重在對(duì)概念的理解與數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).

例2(文理科13)曲線y = 3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為____.

說明本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，是考生耳熟能詳?shù)膯栴}，但尚若求導(dǎo)不過關(guān)將前功盡棄.

2.強(qiáng)化綜合訓(xùn)練，凸顯主干內(nèi)容.

《考試大綱》指出：對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，要求既全面又突出重點(diǎn).對(duì)于支撐學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體.注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，不刻意追求知識(shí)的覆蓋面.從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題，使對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度.

也就是說，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查有三方面的要求.一是在全面考查的基礎(chǔ)上，以較大的比例突出對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的考查，以此構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體；二是并不刻意追求考查的知識(shí)點(diǎn)的百分比，而是強(qiáng)化知識(shí)的縱向發(fā)展與橫向聯(lián)系，把握知識(shí)的綜合性；三是站在學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度，將試題設(shè)計(jì)的著眼點(diǎn)定格在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處.2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷文理科試題基本上體現(xiàn)了這三方面的要求.特別著眼在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題.

2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷文理科試題，對(duì)數(shù)列，三角函數(shù)，概率與統(tǒng)計(jì)，立體幾何，解析幾何，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等主干知識(shí)進(jìn)行了重點(diǎn)考查，必考題部分文理科均為115 分，占必考題部分分值的76.7%.

例3(文科18)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和，已知S9=-a5.

(1)若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n 的取值范圍.

說明本題主要考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，重在考查方程思想.本題第(2)問的設(shè)計(jì)不落熟套，不是簡單的數(shù)列求和，而是與不等式結(jié)合在一起，看似簡單的問題蘊(yùn)含著思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，給人耳目一新的感覺.

例4(理科20)已知函數(shù)f(x)=sin x-ln(1+x).f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(1)f′(x)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)f(x)有且僅有2 個(gè)零點(diǎn).

說明本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、極值、零點(diǎn)等基本概念.考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.解決零點(diǎn)問題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來說明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.本題一改往年以求解問題為主，兩問均以證明的形式出現(xiàn)，實(shí)屬少見，另外已知函數(shù)為三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的組合函數(shù)，也罕見出現(xiàn).

3.加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，體現(xiàn)“五育”并舉.

《考試大綱》指出：對(duì)應(yīng)用意識(shí)的考查主要采用解決應(yīng)用問題的形式.命題時(shí)要堅(jiān)持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，試題設(shè)計(jì)要切合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際和考生的年齡特點(diǎn)，并結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的難度符合考生的水平.

2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷文理科試題對(duì)應(yīng)用能力與數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了適當(dāng)考查，文理科第4題以著名的雕塑“斷臂維納斯”為例，探討人體黃金分割之美，將美育教育融入數(shù)學(xué)教育；文科第6題以學(xué)校對(duì)學(xué)生體質(zhì)狀況進(jìn)行調(diào)查為背景考查學(xué)生的系統(tǒng)抽樣知識(shí)，理科第15題以乒乓球比賽結(jié)果的預(yù)估和比賽場次的安排提出問題，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的體育教育；理科第6題以我國古代典籍《周易》中描述事物變化的“卦”為背景設(shè)置了排列組合問題，體現(xiàn)了中國古代的哲學(xué)思想；文科第17題以商場服務(wù)質(zhì)量管理為背景設(shè)計(jì)，體現(xiàn)對(duì)服務(wù)質(zhì)量的要求，倡導(dǎo)高質(zhì)量的勞動(dòng)成果.這些情境結(jié)合社會(huì)現(xiàn)實(shí)，問題背景貼近個(gè)人實(shí)際生活，反映了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣闊領(lǐng)域，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，在培養(yǎng)考生的應(yīng)用意識(shí)、提升考生解決實(shí)際問題的能力方面有著很好的引導(dǎo)作用，體現(xiàn)了新課程注重情感態(tài)度價(jià)值觀、過程、實(shí)踐與應(yīng)用的教學(xué)理念.

例5(文理科4)古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是( )

圖1

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

說明本題主要考查黃金分割比例的含義、應(yīng)用比例式列方程求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生閱讀理解能力和估算等能力，考查類比歸納與合情推理，體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，既滲透了數(shù)學(xué)文化，又融入了美育教育.題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)并不是高中教學(xué)內(nèi)容，但《考試大綱》明確指出：能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似運(yùn)算，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)的考查要求.

例6(理科6)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6 個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3 個(gè)陽爻的概率是( )

圖2

說明本題主要考查排列組合的概念與計(jì)算、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，本題只要理解了陽爻“——”和陰爻“——”的區(qū)別，轉(zhuǎn)化為重復(fù)元素的排列問題即可解答，讓考生在答題中了解我國的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.

4.適度創(chuàng)新嘗試，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

《考試大綱》指出：對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查是對(duì)高層次理性思維的考查.在考試中創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注重問題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性；精心設(shè)計(jì)考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的試題；也要有反映數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化的試題以及研究型、探索型、開放型等類型的試題.

以能力立意，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是多年來我國高考數(shù)學(xué)命題的基本指導(dǎo)思想.2019年全國高考數(shù)學(xué)I卷文理科試題在創(chuàng)新方面作了一定的嘗試，如理科第21題將概率統(tǒng)計(jì)問題與數(shù)列問題融為一體，選做題的形式一改往年的“固定模型”，考了平時(shí)復(fù)習(xí)認(rèn)為“偏門”“冷門”的題型，這一信號(hào)再次說明依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”的備考思路已成死路.

新一輪的課改即將實(shí)施，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析)等考查在數(shù)學(xué)I卷試題中得到充分體現(xiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算幾乎涉及到所有題目；文科第16、19題，理科第12、18題考查了直觀想象；文科第6、17題，理科第15、21題考查了數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模；文理科第4、20、21題，理科第6、21題考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等.

例7(理科21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分，甲藥得-1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α 和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X 的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4 分，pi(i =0,1,··· ,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i 時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0= 0，p8= 1，pi=api?1+bpi+cpi+1(i = 1,2,··· ,7)，其中a = P(X = -1)，b=P(X =0)，c=P(X =1).假設(shè)α=0.5，β =0.8.

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,··· ,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

說明本題主要考查隨機(jī)變量的概念、變量的分布列、等比數(shù)列的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，本題將概率統(tǒng)計(jì)問題與數(shù)列有機(jī)地結(jié)合在一起，用數(shù)列求解的數(shù)據(jù)說明“實(shí)驗(yàn)方案的合理性”，考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，體現(xiàn)了邏輯推理素養(yǎng)，凸顯了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)的考查要求，為“服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)”給予了較好的詮釋，讓靠“題海戰(zhàn)術(shù)、刷題取勝”的備考做法無果而終.

例8(文理科23)已知a,b,c 為正數(shù)，且滿足abc = 1.證明：

說明本題主要考查利用基本不等式進(jìn)行不等式的證明問題，考查學(xué)生對(duì)于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時(shí)需考慮取等號(hào)的條件能否成立.老師和學(xué)生在平時(shí)的備考中對(duì)不等式證明關(guān)注不夠.

2019年的選做題的命題方式與難度較往年有明顯差異，第22題難在“消參”，第23題難在“1”的活用與“三元均值不等式”的運(yùn)用，雖是“預(yù)料之外”，卻在“情理之中”.

2017年版《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出“命題時(shí)，應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問題，還應(yīng)包括開放性問題和探究性問題，…”，2019年全國課標(biāo)I卷試題在開放性問題和探究性問題方面也作了大膽的嘗試.如全國I卷文科第21題第(2)問就是開放性的探究問題；理科第11題是一道開放型的多選題.

例9(理科11)關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四個(gè)結(jié)論：

①f(x)是偶函數(shù)；

③f(x)在[-π,π]有4 個(gè)零點(diǎn)；

④f(x)的最大值為2.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )

A.① ② ④ B.② ④ C.① ④ D.① ③

說明本題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)與圖像，考查考生分類討論的數(shù)學(xué)思想.考生需要根據(jù)題目所給的函數(shù)，逐步判斷四個(gè)結(jié)論的真假，做出正確的選擇.本題通過組合式選擇構(gòu)成單選題，意在為未來可能命制的“多選題”做鋪墊.

二、幾點(diǎn)教學(xué)思考

高考數(shù)學(xué)試題是高考試題中的一個(gè)組成部分，在為高校選拔新生中具有較強(qiáng)的選拔功能.高考數(shù)學(xué)的考試宗旨是測試中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和方法，考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).近幾年來的全國卷高考數(shù)學(xué)試題，始終堅(jiān)持以《考試說明》作為高考命題的依據(jù)，從整體來說既有穩(wěn)定的風(fēng)格，又有新穎的創(chuàng)意，布局合理，考查全面，強(qiáng)化基礎(chǔ)，突出能力，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有良好的導(dǎo)向功能，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)改革有較好的推動(dòng)作用.通過對(duì)全國卷高考數(shù)學(xué)試題命題的研究與分析，提出如下幾點(diǎn)教學(xué)思考：

(一)了解內(nèi)容變化，緊扣《考試說明》.

《考試說明》是高考數(shù)學(xué)命題的“航標(biāo)”，對(duì)《考試說明》與《考試大綱》的比較研究很有必要.

1.必考部分考試范圍與要求

2019年考試__大綱__________內(nèi)容2019年考試說明內(nèi)容______________________________________________________考試說明對(duì)比考試大綱主要區(qū)別增加的內(nèi)容：1.函數(shù)分段不超過三段.2.會(huì)畫底數(shù)為2,3,10, 1 2, 1函數(shù)概念與基本初等函數(shù)3 的指數(shù)函數(shù)的圖像.3.會(huì)畫底數(shù)為2,10, 1 2 的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像.減少的內(nèi)容：根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠用二分法求相應(yīng)方程的_________________________________________________________________________________________________________近似解.立體幾何初步減少的內(nèi)容：1.會(huì)用中心投影的方法畫出簡單空間圖形的三視圖和直觀圖.__________________________________________________________________________________________2._會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖.平面解析幾何初步改變的內(nèi)容：空間兩點(diǎn)間的距離公式由“會(huì)推導(dǎo)”改為“會(huì)簡單應(yīng)__________________________________________________________________________________________________用”，加深了考查力度.統(tǒng)計(jì)增加的內(nèi)容：_____________________________________________________________________________________________線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶.概率減少的內(nèi)容：在計(jì)算古典概型中，刪去了“用列舉法”，對(duì)計(jì)算方____________________________________________________________________________________________________法的要求不作限制.數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入(理科)增加的內(nèi)容：能將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表示，并能將復(fù)平面上用點(diǎn)或向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)用代數(shù)形_________________________________________________________________________________________________________式表示.計(jì)數(shù)原理(理科)減少的內(nèi)容：_______________________________________________________________________________________________能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.概率與統(tǒng)計(jì)(理科)增加的內(nèi)容：會(huì)求某些取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列.減少的內(nèi)容：在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，刪去了“只要求2×2 列聯(lián)表”.改變的內(nèi)容：將“理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程”改為“了解超幾__________________________________________________________________________________________________何分布”，降低了要求.統(tǒng)計(jì)案例(文科)減少的內(nèi)容：在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，刪去了“只要求2×2 列聯(lián)表”.改變的內(nèi)容：對(duì)回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)都“通過典型案例”了解，_______________________________________________________________________________________________________降低了要求.推理與證明減少的內(nèi)容：刪去了“了解間接證明的一種基本方法—反證法”，____________________________________________________________________________________________________沒有改變考查要求.框圖(文科)改變的內(nèi)容：對(duì)程序框圖、流程圖、結(jié)構(gòu)圖都要求“通過具體實(shí)__________________________________________________________________________________________________例”了解，降低了要求.

2.選考部分考試范圍與要求

2019年考試_大綱內(nèi)________容2019年考試說明內(nèi)容___________________________________________________考試說明對(duì)比考試大綱主要區(qū)別坐標(biāo)系與參數(shù)方程減少的內(nèi)容：刪去了“通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義”和“了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別”；刪去了“了解平擺線、漸開線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程”和“了解其他擺線的生成過程，了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用，了解擺線在表示行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用”.改變的內(nèi)容：將“能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程”改為“能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和_________________________________________________________________________________________________橢圓的參數(shù)方程”.不等式選講減少的內(nèi)容：了解下列柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證明；會(huì)用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況；會(huì)用向量遞歸方法討論排序不等式；了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題；會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明伯努利不等式，了解當(dāng)n 為大于1 的實(shí)數(shù)時(shí)伯努利不等式也成立； 會(huì)用上述不等式證明一些簡單問題.能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值； 了解證明不等式的基本方法：…、反證法、_____________________________________________________________________________________________________放縮法.

通過上述比較，使得我們對(duì)備考內(nèi)容有了更加微觀的了解，備考的針對(duì)性更強(qiáng).

(二)明晰教材作用，切實(shí)抓好“雙基”.

高中數(shù)學(xué)教材的編寫是以《課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，其中的基礎(chǔ)知識(shí)和基本訓(xùn)練，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主體，因此，教師不但在平時(shí)的教學(xué)中要教好課本，用好課本，就是到了復(fù)習(xí)階段，也要以課本為主，充分發(fā)揮教材中知識(shí)形成過程和例題的典型作用.基本訓(xùn)練也要以課本的習(xí)題為主要素材，一定要克服“眼高手低”的毛病，在沒有扎實(shí)抓好基礎(chǔ)知識(shí)和基本訓(xùn)練之前就去攻難題、搞綜合提高，肯定不會(huì)有好的效果.即使解難度較大的壓軸題時(shí)，也要不斷聯(lián)系基礎(chǔ)知識(shí)和基本訓(xùn)練，充分體會(huì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的通性通法在解題中的作用，做到基礎(chǔ)知識(shí)和基本訓(xùn)練常抓不懈，因?yàn)閴狠S題也是由若干道基礎(chǔ)題綜合而成的.

在復(fù)習(xí)備考時(shí)，要以課本知識(shí)為本，對(duì)課本上的例題、知識(shí)點(diǎn)加以概括、提高和延伸，使之起到舉一反三，逐類旁通的效果.在復(fù)習(xí)時(shí)，要充分挖掘教材例、習(xí)題的功能，深刻理解教材實(shí)質(zhì)，挖掘教材內(nèi)涵，利用課本輻射整體，實(shí)現(xiàn)“由內(nèi)到外”的突破.在每年的高考數(shù)學(xué)試卷中都有部分試題源于教材，高于教材，特別是選擇題與填空題，絕大多數(shù)是教材上的例、習(xí)題改編的，在解答題中也不乏有教材上試題的影子(或直接用教材上的定理或公式).

例1(2013年全國課標(biāo)I卷理20 文21)已知圓M : (x+1)2+y2= 1，圓N : (x-1)2+y2= 9，動(dòng)圓P 與圓M 外切并且與圓N 內(nèi)切，圓心P 的軌跡為曲線C.

(1)求C 的方程；

(2)l 是與圓P，圓M 都相切的一條直線，l 與曲線C 交于A,B 兩點(diǎn)，當(dāng)圓P 的半徑最長時(shí)，求|AB|.

說明本題主要考查兩圓的位置關(guān)系、橢圓的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.本題源于教材(見2007 版人教A 版教材“選修2-1”第50 頁B 組第2題)，高于教材.這種直接以教材例習(xí)題為素材，以學(xué)生熟悉的內(nèi)容為考題的命題思路已頻繁出現(xiàn)在高考試卷中，需要在教學(xué)中不斷落實(shí).

(三)發(fā)展數(shù)學(xué)能力，著眼創(chuàng)新實(shí)踐.

高考作為高校選拔人才的考試，能力考查始終擺在重要的位置上.為了更好地突出高考的選拔作用，數(shù)學(xué)試題的命題強(qiáng)調(diào)“以能力立意”.以能力立意命題，是從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，對(duì)知識(shí)的考查傾向于理解和應(yīng)用，特別是知識(shí)的綜合性和靈活運(yùn)用.這要求考生能善于抓住問題的實(shí)質(zhì)，能對(duì)試題提供的信息進(jìn)行分檢、組合和加工，尋找解題途徑.這樣的問題，無現(xiàn)成的題型、模式或方法可套用，需要的是創(chuàng)造精神和創(chuàng)新意識(shí)，因此，在教學(xué)和復(fù)習(xí)的過程中，培養(yǎng)和逐步提高學(xué)生的創(chuàng)新能力就尤為重要.

圖3

例2(2017年全國課標(biāo)I卷理16)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F 為圓O 上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB 分 別 是以BC,CA,AB 為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB 為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F 重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC 的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為____.

說明本題主要考查圖形折疊、三棱錐體積、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.本題由立體幾何中的折疊問題演化而來，以三棱錐體積的最值為突破口，以導(dǎo)數(shù)為計(jì)算工具，既有綜合性又有一定的創(chuàng)新，需要掌握“空間問題平面化”等解題手段.

(四)注重解題研究，強(qiáng)調(diào)通性通法.

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程與數(shù)學(xué)解題緊密相關(guān)，而數(shù)學(xué)能力的提高在于解題的質(zhì)量而非解題的數(shù)量，因此要重在研究解題的方向和策略，要強(qiáng)調(diào)通性通法是學(xué)會(huì)解題的靈魂.要善于在解題過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，積累解題思維方法，不僅要“知其然”更要“知其所以然”.

解題的具體表現(xiàn)為：能否從題目的條件或結(jié)論中獲得確切的信息；能否從記憶系統(tǒng)中提取與題目有關(guān)的信息；能否將從兩方面提取的信息有機(jī)地對(duì)接；能否條理化地整理形成解題過程；能否對(duì)解題過程進(jìn)行有效的反思，這些都是數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)，其中具體地融化了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以及分析問題與解決問題的能力.

例3(2019年全國課標(biāo)I卷文20)已知函數(shù)f(x)=2 sin x-x cos x-x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若x ∈[0,π]時(shí)，f(x)≥ax，求a 的取值范圍.

說明本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.解決不等式成立問題常有三種常規(guī)方法：一是通過作差比較，然后判斷符號(hào)；二是通過分離參數(shù)，重新構(gòu)造函數(shù)；三是通過分離函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合.

(五)加強(qiáng)心理疏導(dǎo)，提高應(yīng)試能力.

培養(yǎng)與提高學(xué)生的心理素質(zhì)，做好學(xué)生的心理思想工作，是每個(gè)中學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)盡的義務(wù).高考是一場高厲害的考試，競爭特別激烈，在每個(gè)考生的心理上都有相當(dāng)?shù)目謶指?由于高考備考時(shí)間較長，容易出現(xiàn)過度疲勞，對(duì)高考的恐懼造成高度的思想緊張，不僅影響學(xué)習(xí)，時(shí)間長了，還會(huì)導(dǎo)致神經(jīng)衰弱，甚至造成更嚴(yán)重的后果.因此，作為教師不但要指導(dǎo)和輔導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真復(fù)習(xí)，而且還要多方面地關(guān)心學(xué)生的生活以及各種活動(dòng).深入研究學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，掌握學(xué)生的心理特點(diǎn)，做好相應(yīng)的調(diào)控工作，使得他們能以最佳的心理狀況去迎接高考，是每位教師的責(zé)任和義務(wù).

總之，高考數(shù)學(xué)備考是一個(gè)系統(tǒng)工程，涉及到方方面面，需要有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，最忌不顧實(shí)際水平和能力，一味追求做偏題、難題、怪題，一門心思講奇思妙想.在備考過程中，切忌好高騖遠(yuǎn)，應(yīng)正確地估量考生的實(shí)際水平，了解考生的數(shù)學(xué)成績，扎扎實(shí)實(shí)地從實(shí)際水平開始，方能得到有效的提高.高考數(shù)學(xué)試題有較強(qiáng)的區(qū)分度，能有效地檢測出考生的不同層次(包括不同的知識(shí)水平和不同的數(shù)學(xué)能力).體現(xiàn)在客觀題上，有從易到難的一個(gè)合適的坡度；體現(xiàn)在解答題上，多數(shù)的試題有幾個(gè)明顯的層次，入口寬，路子多，深入難.在復(fù)習(xí)備考中，應(yīng)該提倡按實(shí)際情況制定合適的復(fù)習(xí)計(jì)劃、方針，使所有考生都能在各自的基礎(chǔ)上得到最大限度的提高.